經(jīng)濟數(shù)學(xué)（高等職業(yè)）全套教學(xué)課件

經(jīng)濟數(shù)學(xué)全套可編輯PPT課件函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與微分模塊1模塊2模塊3積分及其應(yīng)用模塊4矩陣與線性方程組模塊5概率論與數(shù)理統(tǒng)計/全課導(dǎo)航/函數(shù)與極限模塊1模塊1——函數(shù)與極限極限概念是研究變量在某一過程中的變化趨勢時引出的。它是微積分學(xué)的重要基本概念之一，也是研究經(jīng)濟現(xiàn)象的重要工具。微積分學(xué)中諸如導(dǎo)數(shù)、定積分等概念都是用極限表述的。本章將在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)和討論函數(shù)與極限等有關(guān)內(nèi)容。模塊1——函數(shù)與極限預(yù)期學(xué)習(xí)成果請根據(jù)如圖所示的思維導(dǎo)圖，明確本章的預(yù)期學(xué)習(xí)成果。/項目導(dǎo)航/函數(shù)常用的經(jīng)濟函數(shù)極限的概念極限的運算1.11.2

1.31.4復(fù)利與貼現(xiàn)1.5

函數(shù)的連續(xù)性1.6

1.1函數(shù)1.1.1——函數(shù)的概念在很多實際問題中，常常會涉及兩個變量。如果這兩個變量是相互聯(lián)系、相互制約的，則說明在兩個變量之間存在著某種對應(yīng)關(guān)系。引例1

設(shè)某商品的價格為常數(shù)P，則銷量與收入之間存在對應(yīng)關(guān)系。引例2

設(shè)存款金額為常數(shù)，年利率為常數(shù)，每年計息一次，則年末的本利之和與存款期限之間存在對應(yīng)關(guān)系。1.1.1——函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義定義1

設(shè)為兩個變量，D是一個非空實數(shù)的集合．如果對于D中的每一個數(shù)x，按照某個對應(yīng)法則，都有唯一確定的值與之相對應(yīng)，那么稱是的函數(shù)，記作，。其中，稱為自變量，稱為因變量，集合D稱為函數(shù)的定義域，與值相對應(yīng)的的值稱為函數(shù)值，當(dāng)取遍D中的一切數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值的全體組成的集合稱為函數(shù)的值域，記作，即。1.1.1——函數(shù)的概念要點說明（1）表示函數(shù)的記號是可以任意選取的，常用的記號有等，對應(yīng)的函數(shù)可記作，，。（2）函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的兩個要素，兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的兩個要素相同，即兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則分別相同時，才相同。1.1.1——函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義例1下列各對函數(shù)中，（

）不是同一個函數(shù)。A．與

B．與C．與

D．與解因為A，B，C三對函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別對應(yīng)相同，所以這三對函數(shù)分別是同一個函數(shù)；而D選項中的一對函數(shù)只是對應(yīng)法則相同，定義域并不相同，故答案為D。D1.1.1——函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義例2若求，，。解

，，。1.1.1——函數(shù)的概念2．函數(shù)定義域在研究函數(shù)時，一定要考慮它的定義域。函數(shù)的定義域可由函數(shù)表達式來確定，即要使函數(shù)表達式有意義，具體如下。（1）在分式中，分母不能為零；（2）在根式中，負(fù)數(shù)不能開偶次方根；（3）在對數(shù)式中，真數(shù)要大于零；（4）如果函數(shù)表達式中含有分式、根式或?qū)?shù)式中的兩種或三種，則應(yīng)取各部分定義域的交集。1.1.1——函數(shù)的概念2．函數(shù)定義域例3

求下列函數(shù)的定義域。（1）

；（2）。解

（1）在函數(shù)中，因為即所以函數(shù)的定義域為

。1.1.1——函數(shù)的概念2．函數(shù)定義域例3

求下列函數(shù)的定義域。（1）；（2）。解（2）在函數(shù)中，因為，即

，解得或，所以函數(shù)的定義域為。對于由實際問題得到的函數(shù)，其定義域除了要考慮使函數(shù)表達式有意義以外，還要考慮自變量本身的實際意義。一般來說，經(jīng)濟變量往往取正值。1.1.1——函數(shù)的概念3．函數(shù)的常用表示方法函數(shù)常用解析法表示。解析法是用解析式表示函數(shù)的方法，也稱為公式法。例如，，，等。除解析法之外，函數(shù)還常用表格法、圖像法表示。1.1.1——函數(shù)的概念4．分段函數(shù)用解析法表示函數(shù)時，有時用一個式子表示，如；有時用多個式子表示,如

像這樣，把定義域分成若干部分，在不同部分用不同的解析式來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。1.1.1——函數(shù)的概念要點說明（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不是多個函數(shù)。例如，分段函數(shù)是一個函數(shù)，不是三個函數(shù)，其定義域是。（2）分段函數(shù)只是一個形式上的概念，即寫成分段的形式，就是分段函數(shù)，否則就不是。例如，和，前者是分段函數(shù)，而后者卻不是，但二者是同一函數(shù)。

分段函數(shù)常見于一些實際問題中。求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)把自變量的值代入相應(yīng)取值范圍的解析式進行計算。1.1.1——函數(shù)的概念4．分段函數(shù)例4某地出租車計費標(biāo)準(zhǔn)：乘車?yán)锍滩怀^3千米，收費10元；乘車?yán)锍坛^3千米不超過15千米的部分，每千米2元；乘車?yán)锍坛^15千米的部分，每千米3元。求乘車費用與乘車?yán)锍讨g的關(guān)系，并求乘車?yán)锍?0千米時的費用。解設(shè)乘車費用為元，乘車?yán)锍虨榍祝瑒t依題意可得因此，乘車?yán)锍?0千米時的費用為(元)。1.1.2——函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的單調(diào)性如果在區(qū)間內(nèi)函數(shù)隨著的增大而增大，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；如果在區(qū)間內(nèi)函數(shù)隨著的增大而減小，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為區(qū)間內(nèi)的單調(diào)函數(shù),區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。沿軸正向，單調(diào)增加函數(shù)的圖像是上升的曲線，單調(diào)減少函數(shù)的圖像是下降的曲線。單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。1.1.2——函數(shù)的性質(zhì)2．函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，如果對于任一，恒有

成立，則稱為偶函數(shù)；如果對于任一，恒有成立，

則稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。例如，函數(shù)，是偶函數(shù)；，是奇函數(shù)；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。1.1.2——函數(shù)的性質(zhì)3．函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)有定義，如果存在一個正數(shù)，使得任一所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，則稱函數(shù)在I內(nèi)有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)在I內(nèi)無界。例如，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界；函數(shù)在內(nèi)無界，在內(nèi)無界。1.1.2——函數(shù)的性質(zhì)4．函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上有定義，若存在常數(shù)，使得對于任意的，恒有，則稱是以為周期的周期函數(shù)。通常，周期函數(shù)的周期是指它們的最小正周期。例如，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；常函數(shù)也是周期函數(shù)，任意正數(shù)都是它的周期，它沒有最小正周期。1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)下面六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。（1）常函數(shù)：(為常數(shù))；（2）冪函數(shù)：(為常數(shù))；（3）指數(shù)函數(shù)：(為常數(shù)，，)；（4）對數(shù)函數(shù)：(為常數(shù)，，)；（5）三角函數(shù)：，，，，，；（6）反三角函數(shù)：，，，。1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)如表所示。類別函數(shù)定義域與值域圖像性質(zhì)常

函

數(shù)周期函數(shù)、有界、偶函數(shù)，其中

既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)冪

函

數(shù)奇函數(shù)、單調(diào)增加1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)類別函數(shù)定義域與值域圖像性質(zhì)冪

函

數(shù)偶函數(shù)、在內(nèi)單調(diào)減少、在內(nèi)單調(diào)增加奇函數(shù)、單調(diào)增加（續(xù)表）基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)如表所示。1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)類別函數(shù)定義域與值域圖像性質(zhì)冪

函

數(shù)單調(diào)增加奇函數(shù)、單調(diào)減少（續(xù)表）基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)如表所示。類別函數(shù)定義域與值域圖像性質(zhì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)增加單調(diào)減少1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)（續(xù)表）基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)如表所示。類別函數(shù)定義域與值域圖像性質(zhì)對數(shù)函數(shù)

單調(diào)增加

單調(diào)減少1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)（續(xù)表）基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)如表所示。類別函數(shù)定義域與值域圖像性質(zhì)三角函數(shù)有界、奇函數(shù)、周期為有界、偶函數(shù)、周期為1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)（續(xù)表）基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)如表所示。類別函數(shù)定義域與值域圖像性質(zhì)三角函數(shù)奇函數(shù)、周期為奇函數(shù)、周期為1．基本初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)（續(xù)表）基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)如表所示。2．復(fù)合函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)在數(shù)學(xué)問題中，常見的函數(shù)往往比較復(fù)雜。例如，，顯然，它不是基本初等函數(shù)。但它可以看作是由兩個基本初等函數(shù)與構(gòu)成的。同樣，在經(jīng)濟活動中，經(jīng)常會遇到這樣的問題：公司的銷售利潤是銷售量Q的函數(shù)，而銷售量Q又是銷售價格P的函數(shù)，銷售價格P通過銷售量Q而影響銷售利潤，從而銷售利潤可以看成銷售價格P的函數(shù)。以上兩種函數(shù)都可以稱為復(fù)合函數(shù)。2．復(fù)合函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)定義2

設(shè)是的函數(shù)，而是的函數(shù)。如果函數(shù)的值域與函數(shù)的定義域的交集不為空集，那么通過變量成為的的函數(shù)，稱為由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作，其中，稱為內(nèi)函數(shù)，稱為外函數(shù)，稱為中間變量。例如，設(shè)，，以代替中的，得，則稱函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。要點說明1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)的中間變量可以是一個，也可以是多個。（2）一般而言，常見復(fù)合函數(shù)由簡單函數(shù)復(fù)合而成。所謂簡單函數(shù)是指基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算所得到的函數(shù)。（3）并不是任何兩個函數(shù)都可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。例如，與就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因為后者值域與前者定義域的交集為空集。2．復(fù)合函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)例5寫出下列各對函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。（1），；

（2），；

（3），。解（1）將代入得所求的復(fù)合函數(shù)是。（2）將代入得所求的復(fù)合函數(shù)是。（3）將代入得所求的復(fù)合函數(shù)是。2．復(fù)合函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)例6指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。（1）；（2）；（3）。解（1）由，復(fù)合而成。（2）由，，復(fù)合而成。（3）由，，復(fù)合而成。3．初等函數(shù)1.1.3——復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合所形成的函數(shù)稱為初等函數(shù)，初等函數(shù)總能用一個解析式表示。例如，，，，

等都是初等函數(shù)，而分段函數(shù)不是初等函數(shù)。課堂訓(xùn)練某廠生產(chǎn)產(chǎn)品1000噸，將其定價為190元/噸，當(dāng)銷售量不超過750噸時，按原價銷售；當(dāng)銷售量超過750噸時，超過750噸的部分按原價的9.5折銷售。試將銷售收入表示成銷售量的函數(shù)。課堂小結(jié)函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1.2常用的經(jīng)濟函數(shù)1.2常用的經(jīng)濟函數(shù)利用數(shù)學(xué)方法來研究經(jīng)濟問題時，往往要先找出經(jīng)濟變量之間的函數(shù)關(guān)系。下面簡單介紹一些常用的經(jīng)濟函數(shù)。1．需求函數(shù)1.2.1——需求函數(shù)和供給函數(shù)商品的需求量與商品的價格密切相關(guān)。如果不考慮其他因素（如消費者收入、代用品價格等）對商品需求量的影響，通常商品的價格越低，需求量就越大；商品的價格越高，需求量就越小。1．需求函數(shù)1.2.1——需求函數(shù)和供給函數(shù)設(shè)表示價格，表示需求量，那么需求量可以看成價格的函數(shù)，記作，稱為需求函數(shù)。一般來說，當(dāng)價格上漲時，需求量就會減少，因此需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)。需求函數(shù)的反函數(shù)，稱為價格函數(shù)，記作，它同樣也能反映需求量與價格的關(guān)系。常見的需求函數(shù)有以下幾種類型。線性函數(shù)型

。冪函數(shù)型

。指數(shù)函數(shù)型

。1．需求函數(shù)1.2.1——需求函數(shù)和供給函數(shù)例1某商品的價格為500元/件時，每月能賣出10件。它的價格每降低10元，其需求量就會增加2件，求該商品的線性需求函數(shù)。解設(shè)商品的線性需求函數(shù)為，由題意得解得。于是所求線性需求函數(shù)為。2．供給函數(shù)1.2.1——需求函數(shù)和供給函數(shù)商品的供給量也是價格的函數(shù)。設(shè)表示價格，表示供給量，那么供給量可以看成價格的函數(shù)，記作，稱為供給函數(shù)。一般來說，當(dāng)價格上漲時，供給量就會增加，因此供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)。常見的供給函數(shù)有以下幾種類型。線性函數(shù)型

。冪函數(shù)型

。指數(shù)函數(shù)型

。2．供給函數(shù)1.2.1——需求函數(shù)和供給函數(shù)例2當(dāng)某商品的收購價為4.6元/千克時，收購站每月能收購5000千克。收購價每降低0.1元，收購量就減少500千克，求該商品的線性供給函數(shù)。解設(shè)商品的線性供給函數(shù)為，由題意得

解得。于是所求線性供給函數(shù)為。3．均衡價格1.2.1——需求函數(shù)和供給函數(shù)均衡價格是指市場上使某種商品的需求量和供給量相等的價格，一般用表示，即是方程的根。當(dāng)市場價格高于均衡價格時，隨著供給量的增加和需求量的減少，會產(chǎn)生“供過于求”現(xiàn)象，必然使價格下降；當(dāng)市場價格低于均衡價格時，隨著供給量的減少和需求量的增加，會產(chǎn)生“供不應(yīng)求”現(xiàn)象，從而使價格上升。因此，商品的價格會圍繞商品的均衡價格上下波動。商品價格的市場調(diào)節(jié)就是這樣實現(xiàn)的。3．均衡價格1.2.1——需求函數(shù)和供給函數(shù)例3某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為，，求該商品的均衡價格。解

由可得，解得。因此，均衡價格。在生產(chǎn)和產(chǎn)品的經(jīng)營活動中，人們總希望盡可能降低成本，提高收入和利潤，而成本、收入和利潤都與產(chǎn)量（或銷量）密切相關(guān)，它們都可以看作的函數(shù)，分別稱為成本函數(shù)、收入（或收益）函數(shù)和利潤函數(shù)，分別記作，和。1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)1．成本函數(shù)產(chǎn)品的總成本（或成本）是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需要的全部資源投入（如勞動力、原材料、能源、廠房和設(shè)備等）的費用總額，它是產(chǎn)量的函數(shù)，記作或它由固定成本與可變成本兩部分組成，即。固定成本

是指總成本中不隨產(chǎn)量變化的部分，包括廠房、設(shè)備、運輸工具等固定資產(chǎn)的折舊，以及管理者、生產(chǎn)者的固定工資等。顯然，固定成本就是產(chǎn)量為零時的成本?？勺兂杀?/p>

是指總成本中隨產(chǎn)量的變化而變化的部分，包括能源與原材料的費用、生產(chǎn)者的計件工資等。1．成本函數(shù)一般地，在一定生產(chǎn)條件下，總成本是的單調(diào)增加函數(shù)?？偝杀静荒苷f明企業(yè)經(jīng)營的好壞，為了評價企業(yè)的經(jīng)營狀況，需要計算產(chǎn)品的平均成本，即生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品消耗的成本，用表示。生產(chǎn)件產(chǎn)品的平均成本為，其中為平均可變成本，記作，即。1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)1．成本函數(shù)例4已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)為，求當(dāng)時的成本及平均成本。解

由可得。因為，所以。1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)2．收入函數(shù)和利潤函數(shù)總收入是生產(chǎn)者銷售一定量的產(chǎn)品所得到的全部收入。一般地，總收入是銷量（或產(chǎn)量）的函數(shù)，稱為收入函數(shù)或收益函數(shù)，記作或。設(shè)為價格，為銷量，則收入函數(shù)為，其中是價格函數(shù)。平均收入為。1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)2．收入函數(shù)和利潤函數(shù)在核算利潤時，通常只計算已售產(chǎn)品的成本，即利潤是銷量的函數(shù)。利潤函數(shù)等于總收入與總成本之差，記作或，即。平均利潤為1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)2．收入函數(shù)和利潤函數(shù)例5

已知某產(chǎn)品的價格函數(shù)為(元/單位)，固定成本為50元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加2元，求產(chǎn)量為10單位時的總利潤。解根據(jù)題意可知成本函數(shù)為。當(dāng)時，有。又因當(dāng)時，價格為，所以，總收入為，利潤為。故產(chǎn)量為10時，總利潤為10元。1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)3．盈虧平衡點當(dāng)時，企業(yè)盈虧相抵，此時的銷量稱為盈虧平衡點。如果只存在一個，則當(dāng)時企業(yè)盈利，當(dāng)時企業(yè)虧損。1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)3．盈虧平衡點例6某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為40000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知產(chǎn)品最大銷量為400單位，總收入

(元)，求利潤函數(shù)與盈虧平衡點。解根據(jù)題意可知成本函數(shù)為，利潤函數(shù)為令，即，得到盈虧平衡點(單位)，(單位)

。1.2.2—成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)課堂訓(xùn)練

1．某手表廠生產(chǎn)一只手表的可變成本為15元，每天的固定成本為2000元。如果每只手表的出廠價為20元，則該廠每天至少應(yīng)生產(chǎn)多少只手表才能盈虧相抵？2．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為100萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品增加成本0.5萬元，求平均成本函數(shù)和產(chǎn)量為100件時的平均成本。課堂小結(jié)常用的經(jīng)濟函數(shù)需求函數(shù)和供給函數(shù)成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)1.3極限的概念1.3.1——數(shù)列極限的概念1．兩個引例引例1戰(zhàn)國時期的思想家和哲學(xué)家莊子在其著作《莊子?雜篇?天下》中有如下記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！边@句話的意思是說，一根一尺長的木棒，每天截去它的一半，永遠也截不完。1.3.1——數(shù)列極限的概念1．兩個引例若按照以上的方式截取木棒，每天剩余的木棒長度可以構(gòu)成一個數(shù)列：，，，，，，。隨著的增大，與0越來越接近；當(dāng)無限增大時，無限接近于0。這個0就稱為當(dāng)時的極限。1.3.1——數(shù)列極限的概念1．兩個引例引例2記圓的周長為，圓內(nèi)接正邊形的周長為。當(dāng)無限增大，即圓內(nèi)接正邊形的邊數(shù)無限增加時，圓內(nèi)接正邊形的周長無限接近于圓的周長，這稱為當(dāng)時的極限為，記作。1.3.1——數(shù)列極限的概念2．?dāng)?shù)列的極限定義3對于數(shù)列，如果當(dāng)無限增大時，無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱為數(shù)列的極限，記作，此時，也稱數(shù)列

收斂，即數(shù)列收斂于；否則，就稱數(shù)列發(fā)散。1.3.1——數(shù)列極限的概念2．?dāng)?shù)列的極限例1考察下列數(shù)列的變化趨勢，判斷它們是收斂還是發(fā)散。若收斂，寫出其極限。（1）；（2）；（3）；（4）(為常數(shù))；（5）；（6）。1.3.1——數(shù)列極限的概念2．?dāng)?shù)列的極限123450解在表中列出數(shù)列的有限項，分析各項隨增大而變化的特點，考察當(dāng)越來越大時，即時，各數(shù)列的變化趨勢。1.3.1——數(shù)列極限的概念2．?dāng)?shù)列的極限12345481632發(fā)散11發(fā)散2（續(xù)表）1.3.1——數(shù)列極限的概念2．?dāng)?shù)列的極限由表可知：（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）沒有極限，是發(fā)散的；（6）沒有極限，是發(fā)散的。指點迷津增加、改變或刪除數(shù)列的有限項，不改變數(shù)列的斂散性。1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限為方便起見，先來介紹幾個記號。（1）沿數(shù)軸正方向取正值并且無限增大，記作，讀作趨向于正無窮。（2）沿數(shù)軸反方向取負(fù)值并且無限增大，記作，讀作趨向于負(fù)無窮。（3）既取正值，又取負(fù)值，并且無限增大時，記作，讀作趨向于無窮。也就是說，包括和兩種情況。1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限例2觀察如圖1至圖4所示的所有函數(shù)圖像，分析當(dāng)，，時各函數(shù)的變化趨勢。圖1圖2圖3

圖41.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限分析從圖1至圖4中可以觀察出，當(dāng)，，時，函數(shù)，

，,和的變化情況各不相同，具體情況如表所示。

函數(shù)無限接近于0無限接近于0無限接近于0無限增大無限接近于0沒有趨勢無限接近于0無限增大沒有趨勢沒有趨勢（在

和1

之間來回波動）沒有趨勢（在

和1

之間來回波動）沒有趨勢（在

和1

之間來回波動）無限增大無限增大無限增大1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限對于當(dāng)（含，）時，函數(shù)有明確變化趨勢，并且趨向于一個確定常數(shù)的情形，給出下面的定義。1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限定義4如果當(dāng)?shù)慕^對值無限增大，即時，函數(shù)無限接近于常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)趨向于無窮大時的極限，記作。1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限類似可以給出當(dāng)或時函數(shù)無限接近于常數(shù)的定義，分別記作，。顯然(含和)，，。而對于像和這樣的函數(shù)，因為當(dāng)（含和）時，函數(shù)不能無限接近于一個確定的常數(shù)，所以稱極限不存在（或沒有極限）。1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限由定義可得出下面的結(jié)論：

。也就是說，若與中至少有一個不存在或者兩者都存在但不相等，則不存在。1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限例3

求。解

函數(shù)的圖像如圖所示。當(dāng)時，無限變小，函數(shù)值趨向于1，即；當(dāng)時，仍無限變小，函數(shù)值同樣趨向于1，即；因此有。1.3.2——當(dāng)時函數(shù)的極限平面直角坐標(biāo)系中的一條條函數(shù)圖像的變化就像人生一樣，有的函數(shù)在零點時（出生時）函數(shù)值很小，但是隨著自變量（時間）的增加，函數(shù)值逐漸趨近于無窮大；有的函數(shù)在零點時（出生時）函數(shù)值很大，但是隨著自變量（時間）的增加，函數(shù)值在一定范圍內(nèi)發(fā)生波動。因此，人生是沒有固定極限的，它是一個不斷挑戰(zhàn)、超越自我、奮勇向前的過程，而不是約定俗成、一成不變的。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限先介紹幾個記號。（1）從的左側(cè)無限接近于，記作，讀作趨向于左側(cè)，此時。（2）從的右側(cè)無限接近于，記作，讀作趨向于右側(cè)，此時。（3），讀作趨向于，也就是說，包括和兩種情況，即從

左右兩側(cè)無限接近于。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限引例觀察當(dāng)（含和）時，函數(shù)的變化趨勢，函數(shù)圖像如圖所示；函數(shù)取值如下表所示。2.92.992.9993.0013.013.11.971.9971.99972.00032.0032.03由左圖不難看出，當(dāng)及時，函數(shù)的值都無限接近于2。也就是說，當(dāng)時，函數(shù)的值無限接近于2。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限定義5如果當(dāng)無限接近于，即時，函數(shù)無限接近于常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作。類似可以給出當(dāng)或時函數(shù)無限接近于常數(shù)的定義，這兩個極限分別稱為左極限、右極限，記作，。顯然，，，。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限由定義可得出下面的結(jié)論：

。也就是說，若的左、右極限中至少有一個不存在，或左、右極限存在但不相等，則不存在。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限例4考察(為常數(shù))當(dāng)時的極限。解

當(dāng)時，的值恒等于，因此。例5考察函數(shù)和當(dāng)時的極限。解

由函數(shù)和的圖像（見P26~32表）可以得；。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限例6考察當(dāng)時，函數(shù)的極限。解

函數(shù)的圖像如圖所示，盡管該函數(shù)在處沒有定義，但當(dāng)時，函數(shù)值無限接近于常數(shù)，因此。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限例7設(shè)試判斷是否存在。解分別求在時的左、右極限，得，。因為左、右極限各自存在并且相等，所以存在，且。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限例8討論當(dāng)時，函數(shù)是否存在極限。解

函數(shù)圖像如圖所示，則，。由于，因此不存在。1.3.3——當(dāng)時函數(shù)的極限指點迷津當(dāng)時，函數(shù)的極限是否存在，以及當(dāng)極限存在時極限值是多少，與函數(shù)在點處是否有定義，以及定義域是什么無關(guān)。1.3.4——無窮小量與無窮大量1．無窮小量定義6如果當(dāng)時，函數(shù)的絕對值無限減小，即函數(shù)的極限是零，則稱函數(shù)為當(dāng)時的無窮小量，簡稱無窮小，記作。1.3.4——無窮小量與無窮大量1．無窮小量例如，，，因此當(dāng)時，函數(shù)，都是無窮小量。在定義6中，自變量的變化趨勢可以被及的其他變化趨勢所替代。例如，函數(shù)是當(dāng)時的無窮小量，函數(shù)是當(dāng)時的無窮小量，是當(dāng)時的無窮小量。特別地，常數(shù)0是無窮小量，并且是在自變量的任何變化趨勢下的無窮小量。1.3.4——無窮小量與無窮大量1．無窮小量性質(zhì)1

有限個無窮小量的代數(shù)和、乘積均為無窮小量。性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。特別地，常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。例9求。解因為，且，所以由性質(zhì)2可得。1.3.4——無窮小量與無窮大量2．無窮大量定義7如果當(dāng)時，函數(shù)的絕對值無限增大，即函數(shù)的極限是無窮大，則稱函數(shù)為當(dāng)時的無窮大量，簡稱無窮大，記作。1.3.4——無窮小量與無窮大量2．無窮大量定義7中，自變量的變化趨勢可以被及的其他變化趨勢所替代。例如，當(dāng)時，函數(shù)是無窮大量；當(dāng)時，函數(shù)是無窮大量；當(dāng)時，函數(shù)是無窮大量。1.3.4——無窮小量與無窮大量注意這里“借用”極限的符號來表示無窮大量，但并不表示函數(shù)極限存在，無窮大量其實是一種函數(shù)極限不存在的情況。習(xí)慣上，“函數(shù)是無窮大量”也稱為“函數(shù)的極限為無窮大”。例如，也稱為“當(dāng)時，的極限為無窮大”。1.3.4——無窮小量與無窮大量2．無窮大量在自變量的同一變化趨勢中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且存在，則為無窮大量。例如，當(dāng)時，是無窮小量，為無窮大量。課堂訓(xùn)練求下列極限。（1）；（2）。課堂小結(jié)極限的概念數(shù)列極限的概念當(dāng)時函數(shù)的極限當(dāng)時函數(shù)的極限無窮小量與無窮大量1.4極限的運算1.4極限的運算用函數(shù)極限的定義求極限只適用于非常簡單的函數(shù)。本節(jié)將討論求極限的最基本方法，利用這些方法，可以求出一些比較復(fù)雜的函數(shù)極限。1.4.1——極限的四則運算需要說明的是，定理要求每個參與運算的函數(shù)必須存在極限，且在函數(shù)商的極限運算法則中，分母的極限不能為零。定理1若，，則（1）；（2）；特別地，(為常數(shù))；

(為正整數(shù))；（3）()。1.4.2——極限的求解方法1．直接代入法在求多項式函數(shù)(是常數(shù))在的極限時，可直接用代替函數(shù)中的，即。若均為多項式函數(shù)，且，則有。1.4.2——極限的求解方法1．直接代入法例1求。解。

例2求。

解因為分母的極限，所以可應(yīng)用定理1（3）。又因為分子的極限，所以。2．倒數(shù)法倒數(shù)法適用于求，其中，但，記作“”型。具體計算步驟：先由直接代入法求得極限，再由無窮大與無窮小的關(guān)系得。1.4.2——極限的求解方法2．倒數(shù)法1.4.2——極限的求解方法例3

求。解此題屬于“”型，因為，所以由無窮大與無窮小的關(guān)系可知。3．分解因式法1.4.2——極限的求解方法分解因式法適用于求，其中且，記作“”型。具體計算步驟：先將分子或分母分解因式，約去共同的零因子，再用直接代入法求解。例4求。解

因為此題屬于“”型，所以將分子、分母先分解因式，約去共同的零因子，再用直接代入法求解，即。3．分解因式法1.4.2——極限的求解方法分解因式法適用于求，其中且，記作“”型。具體計算步驟：先將分子或分母分解因式，約去共同的零因子，再用直接代入法求解。例5

求。解

。4．公式法1.4.2——極限的求解方法公式法適用于求，此時分子、分母都趨于，記作“”型。具體計算步驟：先將分子、分母同除以的最高次方，使其轉(zhuǎn)化成無窮小

來求解，結(jié)果為4．公式法1.4.2——極限的求解方法例6

求。

解

因為此題屬于“”型，所以分子、分母同除以，得。4．公式法1.4.2——極限的求解方法例7

。解因為此題屬于“”型，又因為分子的最高次方為2，分母的最高次方為3，所以由公式法的結(jié)論可得