2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第10節(jié)實際問題的函數(shù)建模教學(xué)案文北師大版

PAGE1-第十節(jié)實際問題的函數(shù)建模[最新考綱]1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合詳細實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍運用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用．(對應(yīng)學(xué)生用書第35頁)1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)．(3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性遞增遞增遞增增長速度越來越快越來越慢因n而異圖像的改變隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值改變而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)學(xué)問，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．eq\o([常用結(jié)論])形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減．(2)當(dāng)x＞0時，x＝eq\r(a)時取最小值2eq\r(a)，當(dāng)x＜0時，x＝－eq\r(a)時取最大值－2eq\r(a).一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x與函數(shù)y＝x2的圖像有且只有兩個公共點． ()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快． ()(3)不存在x0，使ax0＜xeq\o\al(n,0)＜logax0. ()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．某工廠一年中各月份的收入、支出狀況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是()(注：結(jié)余＝收入－支出)A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1B．結(jié)余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的改變率與4至5月份的收入的改變率相同D．前6個月的平均收入為40萬元D[由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的改變率與4至5月份的收入的改變率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為eq\f(1,6)×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(萬元)，故D錯誤．]2．在某個物理試驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[依據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以解除A；依據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以解除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿意題意，故選D.]3．生產(chǎn)肯定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價為20萬元，為獲得更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件．18[利潤L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時，L(x)有最大值．]4．用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為________．3[設(shè)隔墻的長度為x(0＜x＜6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x＝3時，y最大．](對應(yīng)學(xué)生用書第36頁)⊙考點1用函數(shù)圖像刻畫改變過程推斷函數(shù)圖像與實際問題中兩變量改變過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)依據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像．(2)驗證法：當(dāng)依據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則依據(jù)實際問題中兩變量的改變特點，結(jié)合圖像的改變趨勢，驗證是否吻合，從中解除不符合實際的狀況，選擇出符合實際狀況的答案．1.(2024·遵義模擬)如圖，有始終角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12)．不考慮樹的粗細，現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖像大致是()ABCDB[設(shè)AD的長為xm，則CD的長為(16－x)m，則矩形ABCD的面積為x(16－x)m2.因為要將點P圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12.當(dāng)0＜a≤8時，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時，u＝64；當(dāng)8＜a＜12時，u＝a(16－a)．畫出函數(shù)圖像可得其形態(tài)與B選項接近，故選B.]2．有一個盛水的容器，由懸在它的上空的一條水管勻稱地注水，最終把容器注滿，在注水過程中時間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示．若圖中PQ為一線段，則與之對應(yīng)的容器的形態(tài)是()ABCDB[由函數(shù)圖像可推斷出該容器必定有不同規(guī)則的形態(tài)，且函數(shù)圖像的改變先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細．再由PQ為線段，知這一段是勻稱改變的，所以容器上端必是直的一段，故解除A，C，D，選B.]3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率狀況．下列敘述中正確的是()A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D[依據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對．]精確駕馭常見函數(shù)模型圖像的改變趨勢是解決此類問題的關(guān)鍵．⊙考點2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題求解所給函數(shù)模型解決實際問題的三個關(guān)注點(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)依據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實際問題．小王高校畢業(yè)后，確定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流淌成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(萬元)．在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(萬元)．每件產(chǎn)品售價為5元．通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流淌成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？[解](1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當(dāng)0＜x＜8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3；當(dāng)x≥8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0＜x＜8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)當(dāng)0＜x＜8時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9.此時，當(dāng)x＝6時，L(x)取得最大值L(6)＝9萬元，當(dāng)x≥8時，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，此時，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時，L(x)取得最大值15萬元．因為9＜15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．解決實際問題時，應(yīng)留意自變量的取值范圍，如本例中x∈(0，＋∞)．一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底部一個微小的小孔漸漸地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)覺容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有起先時的八分之一．16[當(dāng)t＝0時，y＝a，當(dāng)t＝8時，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有起先時的八分之一時，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16min.]⊙考點3構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟構(gòu)造二次函數(shù)、分段函數(shù)模型國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則賜予實惠：每多1人，機票每張削減10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止．每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元．(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？[解](1)設(shè)每團人數(shù)為x，由題意得0＜x≤75(x∈N*)，飛機票價格為y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,900－10x－30，30＜x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,1200－10x，30＜x≤75.))(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,1200x－10x2－15000，30＜x≤75，))即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,－10x－602＋21000，30＜x≤75.))因為S＝900x－15000在區(qū)間(0,30]上為增函數(shù)，故當(dāng)x＝30時，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以當(dāng)x＝60時，S取得最大值21000.故當(dāng)x＝60時，旅行社可獲得最大利潤．解題過程——謹防兩種失誤(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性等解決，但肯定要親密留意函數(shù)的定義域，否則極易出錯．(2)求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求出每一段上的最值，然后比較大小得解．構(gòu)造y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)模型某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該養(yǎng)殖場每天須要飼料200千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．求該養(yǎng)殖場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少．[解]設(shè)該養(yǎng)殖場x(x∈N*)天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y元．因為飼料的保管費與其他費用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天飼料的保管費與其他費用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．從而有y＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥2eq\r(\f(300,x)·3x)＋357＝417，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(300,x)＝3x，即x＝10時，y有最小值．故該養(yǎng)殖場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少．利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值時，要留意自變量的取值范圍及取得最值時等號成立的條件．構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%(2)十三屆全國人大一次會議《政府工作報告》指出：過去五年來，我國經(jīng)濟實力躍上新臺階．國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟比重從11.4%提高到15%左右，對世界經(jīng)濟增長貢獻率超過30%,2024年發(fā)展的預(yù)期目標是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右．假如從2024年起先，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2024年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為(提示：1.0653≈1.208)()A．93.8萬億元 B．99.9萬億元C．97萬億元 D．106.39萬億元(1)C(2)B[(1)設(shè)每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故選C.(2)由題意可知，2024年我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(萬億元)．故選B.](1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長速度越來越快的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先須要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖像求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)．1.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量削減eq\f(1,3)，至少應(yīng)過濾________次才能達到市場要求．(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)8[設(shè)至少過濾n次才能達到市場要求，則2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－eq\f(1,3)))eq\s\up14(n)≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(2,3)))eq\s\up14(n)≤eq\f(1,20)