《概率論與數理統(tǒng)計及其MATLAB實現(xiàn)（微課版）》 習題及答案 第4章

PAGEPAGE8習題4.11.設隨機變量的分布律如表4-15所示，表4-15-10121/81/21/81/4求【解】(1)(2)(3).2.隨機變量的概率分布為：已知，求常數【解】由于從而又因所以3.設隨機變量的分布律為X101Pp1p2p3且已知,求.【解】因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得4.氣體分子的速度服從麥克斯威爾（Maxwell）分布，其概率密度為其中為常數，求系數及的數學期望.【解】由于，則，得到.于是5.設隨機變量相互獨立，且求下列隨機變量的數學期望.(1)；(2).【解】(1)(2)（因為相互獨立）6.設隨機變量的聯(lián)合概率密度為試確定常數，并求.【解】因故..7.設是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為求.【解】(方法一)先求X與Y的數學期望由與的獨立性，得(方法二)利用隨機變量函數的數學期望公式.因與獨立，故聯(lián)合密度為于是8.設隨機變量的概率密度分別為求（1）;（2）.【解】從而(1)(2).習題4.21.袋中有12個零件，其中9個合格品，3個廢品.安裝機器時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設在取出合格品之前已取出的廢品數為隨機變量，求【解】設隨機變量表示在取得合格品以前已取出的廢品數，則的可能取值為0，1，2，3,并且由此可得2.設隨機變量的概率密度函數為求【解】3.設隨機變量的概率密度為求（1）系數;（2）數學期望;（3）方差.【解】(1)由，得.(2)(3)故4.設兩個隨機變量相互獨立，且，，，求,.【解】由于隨機變量相互獨立，則5.設是相互獨立的隨機變量，并且有,是不全為零的常數，求隨機變量服從的分布.【解】由于是相互獨立的隨機變量，并且均服從正態(tài)分布，即，則也服從正態(tài)分布.因為,,于是，.6.設是相互獨立的隨機變量，且有，，，記.（1）驗證=μ，；（2）驗證；（3）驗證.【證明】(1)由于是相互獨立的隨機變量，從而(2)因為，所以，.(3)因,故同樣，因,故.從而7.設隨機變量服從二維正態(tài)分布，聯(lián)合概率密度函數為求隨機變量的數學期望和方差.【解】；，所以.8.對于兩個隨機變量，若存在，證明：.這一不等式稱為柯西-許瓦茲（Couchy-Schwarz）不等式.【證明】令顯然可見此關于的二次式非負，故其判別式，即故習題4.31.設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數為計算.【解】，，，于是，.2.對隨機變量和，已知，,計算.【解】3.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為試驗證和是不相關的，但和不是相互獨立的.【解】.而,由此得,故與不相關.下面討論獨立性.當時，當時，.顯然,,所以，X和Y不是相互獨立的.4.設隨機變量的分布律為XY01011/81/81/81/801/81/81/81/8驗證和是不相關的，但和不是相互獨立的.【解】由聯(lián)合分布律易求得，及的分布律如下于是從而所以，和是不相關的.PAGE33又，從而和不是相互獨立的.5.（第三節(jié)）設二維隨機變量在以點為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求，.【解】如圖，，故的概率密度為,,從而,同理而所以.從而.6.設二維隨機變量的概率密度為求：（1）數學期望（2）方差（3）協(xié)方差【解】，，所以均不存在.7.設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數為求協(xié)方差和相關系數.【解】從而同理又故8.設是個隨機變量，證明并證明若.是個相互獨立的隨機變量，則【證明】若.是個相互獨立的隨機變量，則.習題4.41.計算二項分布的三階原點矩與三階中心距.【解】設，則2.計算均勻分布的階原點矩與階中心距.【解】設,則其概率密度函數為則3.隨機變量，求，其中為正整數.【解】的概率密度函數為，則.于是,為偶數時，；為奇數時，.4.設二維隨機變量的概率密度函數為求，其中為正整數.【解】5.設隨機變量服從正態(tài)分布,求和.【解】一般正態(tài)分布的分位數與標準正態(tài)分布的分位數之間滿足關系式所以6.自由度為2的分布的概率密度函數為.求其分布函數和分位數【解】其分布函數為當時，；當時，；于是所以該分布的分位數滿足解得.由此得到7.設隨機變量的概率密度函數關于點是對稱的，且數學期望存在，證明（1）（2）如果則【解】（1）由于的概率密度函數關于點是對稱的，從而于是所以.由于得到，所以（2）當時，由得到于是8.已知二維隨機變量的協(xié)方差矩陣為，試求隨機變量和的相關系數.【解】由已知，從而故習題4.51.設（X，Y）具有聯(lián)合概率分布:（X,Y）-201234500.020.010.050.010.020.040.0110.010.10.050.0200.010.0230.030.010.040.010.020.030.0150.040.080.050.020.070.07060.020.030.050.020.010.010.01利用MATLAB軟件求：E(X),E(Y),D(X),D(Y);(2);(3)Cov(X,Y)【解】clc;clear;closeall;Xvalue=[01356];Yvalue=[-2012345];Pvalue=[0.020.010.050.010.020.040.01;0.010.100.050.020.000.010.02;0.030.010.040.010.020.030.01;0.040.080.050.020.070.070.00;0.020.030.050.020.010.010.01;];EX=0;EY=0;EXY=0;DX=0;DY=0;E2=0;fori=1:5forj=1:7EX=EX+Xvalue(i)*Pvalue(i,j);EY=EY+Yvalue(j)*Pvalue(i,j);EXY=EXY+Xvalue(i)*Yvalue(j)*Pvalue(i,j);E2=E2+sin(Xvalue(i))*exp(cos(Yvalue(j)))*Pvalue(i,j);endendfori=1:5forj=1:7DX=DX+[Xvalue(i)-EX]^2*Pvalue(i,j);DY=DY+[Yvalue(j)-EY]^2*Pvalue(i,j);endendCOV_XY=EXY-EX*EY;[EXEYDXDYE2COV_XY]輸出結果：[EXEYDXDYE2COV_XY]=[3.21001.41004.90593.9419-0.0823-0.1061]2.設具有聯(lián)合概率密度函數為：利用MATLAB軟件求(1)(2)的數學期望.【解】clc;clear;closeall;symsxyfxy=2-x-y;fx=int(fxy,y,0,1);%X的邊緣概率密度fy=int(fxy,x,0,1);%Y的邊緣概率密度EX=int(x*fx,x,0,1)%X的數學期望EY=int(y*fy,y,0,1)%Y的數學期望DX=int((x-EX)^2*fx,x,0,1)%X的方差DY=int((y-EY)^2*fy,y,0,1)%Y的方差EXY=int(int(x*y*fxy,y,0,1),x,0,1)%XY的數學期望COV_XY=EXY-EX*EY%X與Y的協(xié)方差R_XY=COV_XY/sqrt(DX*DY)%X與Y的相關系數D_X_SUM_Y=DX+DY+2*COV_XY%X+Y的方差EZ=int(int(exp(x)*sin(y)*fxy,y,0,1),x,0,1)%XY的數學期望輸出結果：[EXEYDXDYEXYCOV_XYR_XYD_X_SUM_YEZ]=[5/125/1211/14411/1441/6-1/144-1/115/360.6026]第4章考研真題1.假設一設備開機后無故障工作的時間服從參數的指數分布.設備定時開機，出現(xiàn)故障時自動關機，而在無故障的情況下工作2小時便關機.試求該設備每次開機無故障工作的時間的分布函數.(2002研考)【解】設表示每次開機后無故障的工作時間，由題設知設備首次發(fā)生故障的等待時間，的概率密度函數為.依題意.對于,.對于，.對于,所以2.已知甲、乙兩箱中裝有同種產品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數的數學期望；（2）從乙箱中任取一件產品是次品的概率.（2003研考）【解】（1）的可能取值為的概率分布為,即，，.因此，(2)設表示事件“從乙箱中任取出一件產品是次品”，根據全概率公式有3.假設由自動線加工的某種零件的內徑（毫米）服從正態(tài)分布，內徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤（單位：元）與銷售零件的內徑有如下關系求平均直徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？（1994研考）【解】從而這里令得兩邊取對數有解得(毫米),由此可得，當u=10.9毫米時，平均利潤最大.4.設隨機變量的概率密度為對獨立地重復觀察4次，用表示觀察值大于的次數，求的數學期望.（2002研考）【解】令則.因為,所以,從而5.兩臺同樣的自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數為5的指數分布，首先開動其中一臺，當其發(fā)生故障時停用而另一臺自動開啟.試求兩臺記錄儀無故障工作的總時間的概率密度，數學期望及方差.（1997研考）【解】由題意知，因獨立，所以.當時，;當時，，故得由于服從參數為5的指數分布，從而因此，有.又因獨立，所以.6.設兩個隨機變量相互獨立，且都服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，求隨機變量的方差.（1998研考）【解】設，由于且X和Y相互獨立，故.因而，所以.7.某流水生產線上每個產品不合格的概率為，各產品合格與否相互獨立，當出現(xiàn)一個不合格產品時，即停機檢修.設開機后第一次停機時已生產的產品個數為，求和.（2000研考）【解】記,的概率分布為故又所以8.設隨機變量和的聯(lián)合分布在點為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布（如圖），試求隨機變量的方差.（2001研考）【解】由條件知和的聯(lián)合概率密度函數為的邊緣概率密度函數.從而或者時，時，即因此同理可得于是9.設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，隨機變量試求（1）和的聯(lián)合概率分布；（2）方差.（2002研考）【解】(1)的4個可能取值.,,,.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2)因,而及的概率分布相應為,.從而所以10.設隨機變量的概率密度為,(1)求及；（2）求,并問與是否不相關？（3）問與是否相互獨立，為什么？（1993研考）【解】(1)(2)所以與不相關.(3)為判斷與的獨立性，需依定義構造適當事件后作出判斷，為此，對定義域中的子區(qū)間上給出任意點，則有所以故由，得出與不相互獨立.11.已知隨機變量和分別服從正態(tài)分布和，且和的相關系數，設.（1）求的數學期望和方差；（2）求與的相關系數；（3）問與是否相互獨立，為什么？（1994研考）【解】(1)由于隨機變量和分別服從正態(tài)分布和，則;.而,所以(2)因所以(3)由，得與不相關.又因，所以X與Z相互獨立.12.將一枚硬幣重復擲次，以和表示正面向上和反面向上的次數.求和的相關系數.（2001研考）【解】由條件知，則有.再由,得到.所以故.13.設隨機變量和的聯(lián)合概率分布如表4-17所示，表4-17YX-101010.070.180.150.080.320.20求和的相關系數.(2002研考)【解】由已知，于是所以.從而14.對于任意兩事件和，則稱為事件和的相關系數.試證：（1）事件和獨立的充分必要條件是；（2）.（2003研考）【證明】（1）由的定義知，當且僅當.所以是和獨立的充分必要條件.(2)引入隨機變量和為由條件知，和都服從分布，即從而有,,,,由于,從而有,于是.所以，事件和的相關系數就是隨機變量和的相關系數.于是由二維隨機變量相關系數的基本性質可得.15.設隨機變量的概率密度為令，為二維隨機變量的分布函數，求：(1)的概率密度；(2);(3).(2006研考)【解】(1)的分布函數為.當時，，；當時，；當時，；當時，，.故的概率密度為(2),,,故.(3).16.設隨機變量相互獨立，且都存在，記，，則（）(A)(B)(C)(D)(2011研考)【解】由于，，則,從而.17．設二維隨機變量，則.(2011研考)【解】由于，則相互獨立，且從而18.設隨機變量與的概率分布分別為0101且求(1)二維隨機變量的概率分布；(2)的概率分布；(3)與的相關系數.(2011研考)【解】(1)由于從而由于得到由于得到于是(2)的取值為(3)19.將長度為1m的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關系數為（）.(2012研考)【解】用與分別表示兩段木棒的長度，則,即,從而兩段長度的相關系數20．已知隨機變量以及的分布律如下表所示，0121/21/31/60121/31/31/301247/121/301/12求：（1）；（2）與.(2012研考)【解】(1)由于得到由于得到由于得到由于得到所以(2)從而于是21.設連續(xù)型隨機變量與相互獨立，且方差均存在，與的概率密度分別為與，隨機變量的概率密度為，隨機變量，則()(A)，(B)，(C)，(D)，(2014研考)【解】由于與是連續(xù)型隨機變量，方差存在，因此由于從而而所以應該選(D).【說明】如果僅是從考試選擇題結果來看，也可以假設與是獨立同分布的，這樣與,有著相同的概率密度函數，從而，結果就比較明顯了.22.設隨機變量的概率分布為在給定的條件下，隨機變量服從均勻分布.（I）求的分布函數；（II）求.(2014研考)【解】（I）在及條件下的條件概率密度函分別為由全概率公式，的分布函數；當時，；當時，；當時，；當時，；所以，；（II）的概率密度函數為23.設二維隨機變量的概率分布如表4-18所示，其中為常數，且的數學期望，，記.表4-18-101-101a00.20.1b0.200.1c求：（1）的值；（2）的概率分布；（3）.(2014研考)【解】（1）的分布為的分布為于是得到（2）的取值為，（3）.24.設隨機變量不相關，且，則()(A)(B)(C)(D)(2015研考)【解】由于隨機變量不相關，則因此應選(C).25.隨機試驗有三種兩兩不相容的結果,,，且三種結果發(fā)生的概率均為.將試驗獨立重復做2次,表示2次試驗中結果發(fā)生的次數,表示2次試驗中結果發(fā)生的次數,求與的相關系數.(2016研考)【解】由于則由于,則于是也可以采用計算的聯(lián)合分布的辦法.由于則于是26.設隨機變量的分布函數為,其中為標準正態(tài)分布函數,則.(2017研考)【解】的概率密度函數為27.設隨機變量相互獨立,且的概率分布為的