【高分復(fù)習筆記】龍馭球《結(jié)構(gòu)力學Ⅰ》（第3版）筆記和課后習題（含考研真題）詳解（中冊）

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內(nèi)容簡介

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第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算

5.1復(fù)習筆記

5.2課后習題詳解

5.3名?？佳姓骖}詳解

第6章力法

6.1復(fù)習筆記

6.2課后習題詳解

63名?？佳姓骖}詳解

第7章位移法

71復(fù)習筆記

7.2課后習題詳解

7.3名?？佳姓骖}詳解

第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算

5.1復(fù)習筆記

一、應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移

1.推導(dǎo)位移計算一般公式的基本思路

推導(dǎo)過程的基本思路是“化整為零和積零為整。把結(jié)構(gòu)的整體變形分解為局部變形，應(yīng)先

用剛體體系的虛力原理導(dǎo)出局部變形時的位移公式，然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出整體變形時

的位移公式。

2.結(jié)構(gòu)位移計算概述

（1）計算結(jié)構(gòu)位移的目的

①驗算結(jié)構(gòu)的剛度；

②為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打下基礎(chǔ),

（2）產(chǎn)生位移的原因

①荷載作用；

②溫度變化和材料脹縮；

③支座沉降制造誤差。

3.應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移一一單位荷載法

例如，圖（a）中的靜定梁，支座A向上移動一個已知距離勺，現(xiàn)在擬求B點的豎

向位移A。

(a)

圖5?1?1

位移狀態(tài)已給定，力系則可根據(jù)我們的意圖來虛設(shè)。在擬求位移△的方向設(shè)置單位荷載,

_b_

根據(jù)平衡條件，可得支座A的反力斤燈=一二，圖5-1-1(b)中的墟設(shè)平衡力系在實際剛

Axl+C|F|U=0

體位移上作虛功，虛功方程為

b

可以求解出A~C1

在擬求的位移A方向虛設(shè)單位荷載，并利用平衡條件求出與5相應(yīng)的支座反力下燈。這個

解法稱為單位荷載法°

4.支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

歸納求解步驟如下：

(1)沿擬求位移A方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力下RA；

(2)令虛設(shè)力系在實際位移上作虛功，建立虛功方程

IM+EFKXCK=0

d=-y/⑼

(3)由虛力方程，解出擬求位移

二、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式一一單位荷載法

1.局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例

圖5?1?2(a)所示懸臂梁在B處兩個相鄰截面有相對轉(zhuǎn)角d試求A點的豎向位移

圖5?1-2

解：圖5-1-2(a)中的實際位移狀態(tài)可改用圖5-1-2(b)來表示。這里，在B處加餃，

把實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)。

為了求未知位移A,可虛設(shè)力系如圖5-1-2(c)所示。這里，在A點沿擬求位移△的方

向虛設(shè)單位荷載。此外.在較B處還必須虛設(shè)一對彎矩.根據(jù)平衡條件可求出力均數(shù)值

如下

M=1?a

令圖5?1?2(c)中的平衡力系在圖5-l?2(b)中的實際位移上作功，可寫出虛功方程如

1?A-M?0=0

下

A=Mf)

解得

由此看出，位移A與截面相對轉(zhuǎn)角。成正比，它們之間的比例系數(shù)正好就是虛設(shè)單位荷

載在該截面引起的彎矩

(11=(MK+八￡+FQM)人

2.局部變形時的位移計算公式

3.結(jié)構(gòu)位移計算一般公式

4.結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟一一單位荷載法

(1)在某點沿擬求位移A的方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載:

(2)在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力和支座反力人」:

(3)最后根據(jù)公式(5?1)可求出位移A。

5.廣義位移的計算一一虛設(shè)廣義單位荷載

（1）廣義單位荷載定義

對于公式（5?1）中的擬求位移A可以引申理解為廣義位移。在求廣義位移時，則需要根

據(jù)廣義位移的性質(zhì)虛設(shè)一個單位荷載，稱為廣義單位荷載。

（2）廣義位移和廣義單位荷載示例，如表5-1-1所示。

三、荷載作用下的位移計算

1.荷載引起的位移的計算公式

2.各類結(jié)構(gòu)的位移公式

（1）梁和剛架

乙EA(k=

（2）桁架

-EA

(3)桁架混合結(jié)構(gòu)

△=2〕整+2J融

(4)拱

3.截面平均切應(yīng)變力和系數(shù)k

(1)平均切應(yīng)變力

%二"制

(2)系數(shù)k

四、圖乘法

1.圖乘法及其應(yīng)用條件

(1)圖乘法公式

廿=部必也=即兀

(2)應(yīng)用條件

桿段應(yīng)是等截面直桿段，兩個圖形中至少有一個是直線，標距y。應(yīng)取自圖中直線。

(3)正負號規(guī)則

面積工與標距〕b在桿的同一邊時，乘積用'。取正號：H與立在桿的不同邊時取負號。

二次拋物線44加

(a)(b)

2.幾種常見圖形的面積和形心位置

頂點

⑴

圖5-1-3

3.應(yīng)用圖乘法時的幾個具體問題

（1）如果兩個圖形都是直線圖形，則標距比可取自其中任一個圖形；

（2）如果一個圖形是曲線，另一個圖形是由幾段直線組成的折線，則應(yīng)分段考慮；如果

直桿的EI不是常數(shù)，也可進行分段考慮，保證每段圖乘中桿的EI為常數(shù)即可；

（3）如果圖形比較復(fù)雜，則可將其分解為幾個簡單圖形，分項計算后再進行疊加。

五、溫度改變時的位移計算

A=\叫|Fds+

s上限回

1.位移計算公式

2.正負號規(guī)則

（1）軸力工丫以拉伸為正，。以升高為正；

（2）彎矩方和溫差加引起的彎曲為同一方向時（即當好和加使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變

形時），其乘積取正值，反之取負值。

六、變形體的虛功原理

1.變形體虛功原理

設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于其他原因產(chǎn)生符合約束條件的微小

連續(xù)變形，則外力在位移上所作外虛功W恒等于各個微段的應(yīng)力合力在變形上所作的內(nèi)

虛功Wlo

2.變形體虛功原理的表達式

w=叫

3.變形體虛功方程的應(yīng)用條件

（叭+pd.r=0

（I%+qdx=0

dM+￡2d%=0

（1）力系平衡條件

（2）變形協(xié)調(diào)條件

應(yīng)變位移關(guān)系式和幾何邊界條件合在一起稱為變形協(xié)調(diào)條件。

4.變形體虛功方程

（；%%+"R+rQ泗加）一（MM++產(chǎn)出心）+［（P〃+價皿

=j（+FQyGd.r）

5.虛力原理和虛位移原理

（1）虛力原理及其虛力方程

①虛力方程

任意虛設(shè)的平衡力系

IriiI,

zZJ（M7+/；￡+/；%）d§

IIIII

待檢杳的變形狀態(tài)

②虛力原理

在虛設(shè)力系滿足平衡方程并具有任意性的前提下，如果虛力方程成立，則待檢查的變形狀

態(tài)必滿足變形協(xié)調(diào)方程。反之，在上述前提下，如果已知該變形狀態(tài)滿足變形協(xié)調(diào)方程，

則虛力方程必成立。綜合起來，在上述前提下，虛力方程是變形防調(diào)方程的充分必耍條件。

（2）虛位移原理及其虛位移方程

任意虛設(shè)的協(xié)調(diào)變形狀態(tài)

IIIII

“'P心尸￡/。我.+&￡”廣；）（15

IIIII

待檢有的力系

①虛位移方程

②虛位移原理

在虛設(shè)變形狀態(tài)滿足變形協(xié)調(diào)方程并具有任意性的前提下，如果虛位移方程成立，則待檢

查的力系必滿足平衡方程。反之，在上述前提下，如果已知該力系滿足平衡方程，則虛位

移方程必成立。綜合起來，在上述前提下，虛位移方程是力系平衡方程的充分必要條件。

6.單位支座位移法

KH=EK；+八+FQM；I）（卜-1K加

七、互等定理

1.功的互等定理

在任一線性變形體系中，狀態(tài)I的外力在狀態(tài)n的位移上作的功也等于狀態(tài)II的外力在

狀態(tài)I的位移上作的功方1。

2.位移互等定理

在任一線性變形體系中，由荷載段所引起的與荷載心】相應(yīng)的位移影響系數(shù)百等于由荷載

52所引起的與荷載段相應(yīng)的位移影響系數(shù)毛。

3.反力互等定理

在任一線性變形體系中，由位移C所引起的與位移G相應(yīng)的反力影響系數(shù)勺等于由位移

c所引起的與位移q相應(yīng)的反力影響系數(shù)公。

4.位移反力互等定理

在任一線性變形體系中，由位移。所引起的與荷載段相應(yīng)的位移影響系數(shù)s,*在絕對值

上等于由荷載/所引起的與位移G相應(yīng)的反力影響系數(shù)但二者相差一個負號，即

S'l2=一心］

5.2課后習題詳解

5-1試用剛體體系虛力原理求圖5-2-1所示結(jié)構(gòu)D點的水平位移:

(a)設(shè)支座A向左移動1cmo

(b)設(shè)支座A下沉1cm。

(c)設(shè)支座B下沉1emo

圖521

解；(a)

虛設(shè)力狀態(tài)圖1

圖5-2-2

△/川x1-1x1=0A/川=lcn】（一）

虛設(shè)力的方向同位移方向相同，運用剛體虛功方程得

(b)

虛設(shè)力狀態(tài)圖2

圖5-2-3

州X1-1X了=。A/用=了（加（一）

根據(jù)比例關(guān)系，算出D的水平位移，列出剛體虛功方程

（C）

虛設(shè)力狀態(tài)圖3

圖5-2-4

J/)Hxl-1x(=0%=-+m(一)

列虛功方程

5-2設(shè)圖5-2-5所示支座A有給定位移Ax、4、A”試求K點的豎向位移加、水平位移

人和轉(zhuǎn)角9o

圖5-2-5

圖5-2-6

(1)求豎向位移Av

*1

圖5-2-7

IvXl-[dvx(-1)]—A0x3a=0

△Y=?A+3Q(f)

施加一個豎向力，虛設(shè)力狀態(tài)如圖5?2?7所示，對應(yīng)開始時的位移狀態(tài)，列虛功方程

(2)求水平位移

圖5-2-8

施加一個水平力，虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-8所示，列虛功方程

x1-4x1-兒X"=0

品=4+5（一）

AJ'

A

A/=-l

（3）求轉(zhuǎn)角6

圖5-2-9

虛設(shè)力狀態(tài)如圖5?2?9所示，列虛力方程

flxl-[A.X（-I）]=0

…兒（D

5-3設(shè)圖5-2-10所示三校拱支座B向右位移單位距離。試求C點的豎向位移山、水平位

移山和兩個半拱的相對轉(zhuǎn)角&。

c

圖5-2-10

解；(1)求豎向位移4

圖5211

在C點施加一個豎向虛力，結(jié)構(gòu)虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-11所示，支座位移和力的方向相反,

則列虛功方程

」小「得=0」得(.)

(2)求水平位移

1

c

圖5-2-12

dzX1-1XJ=o

施加水平方向的單位力,虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-12所示，列虛功方程

(3)求相對轉(zhuǎn)角△:

圖5-2-13

xI-1x-^=0d3=y([1)

兩端施加單位為偶，虛設(shè)力決態(tài)如圖5213所示，列虛功方程

5-4設(shè)圖5-2-14所示三校拱中的拉桿AB在D點裝有花籃螺絲。如果擰緊螺絲，使截面

口與D2彼此靠近的距離為入，試求C點的豎向位移A。

c

圖5214

解：兩截面相互靠近，可知AB上有相對的位移，可用虛功方程求解。

圖5-2-15

在C點施加一個豎向的虛設(shè)力，AB桿的軸力如圖5-2?15所示，列虛功方程

▲xl?入x.O

5-5設(shè)圖5-2-16所示柱AB由于材料收縮，產(chǎn)生應(yīng)變名。試求B點的水平位移

圖5-2-16

解.：虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-17所示。

圖5217

Ax1-邑x2〃x2=0A=4〃j(—)

則運用虛功原理，列方程

5-6設(shè)由于溫度升高，圖5-248所示桿AC伸長K=1mm,桿CB伸長ACB=1.2mm。

試求C點的豎向位移A。

D

圖5-2-18

解；在C點施加豎向虛設(shè)力，虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-19所示。

圖5-2-19

則C點的豎向位移A為

白二(1x；+1.2x1mm=1.Imm(v)

5-7試用積分法求圖5-2-20所示懸臂梁A端和跨中C點的豎向位移和轉(zhuǎn)角（忽略剪切變

形的影響）。

圖5-2-20

解：（a）①A端的豎向位移

在A端施加一個豎向虛設(shè)力，則梁上產(chǎn)生的彎矩為：1/="；外力均布荷載產(chǎn)生的彎矩為:

IL=笆

小=麻1）

所以位移為

②A端的轉(zhuǎn)角

在A端施加?個虛設(shè)彎矩，則梁上產(chǎn)生的彎矩為；方=1；外力均布荷載產(chǎn)生的彎矩為:

2

則位移為

狗（逆時針）

③C點的豎向位移

在C點施加一個豎向虛設(shè)力,，則在，梁上產(chǎn)生的彎矩：前=工（坐標原點放到C點）；均布

荷載產(chǎn)生的彎矩為「「一8十2+2\

一「修+小初二叱⑴

-1>￡7-38“7（▼

則位移為

④C點的轉(zhuǎn)角

在C點施加一個虛設(shè)彎矩，則在梁上的產(chǎn)生的彎矩為：”=1（坐標原點放到C點）；均

M=小+%&

布荷載產(chǎn)生的彎矩為；'-822'o

,巴迂+%）乂1?

口八822I.7q^_/、青口、

"二L------------Ei------------"1嘉7（逆時針）

則位移為

（b）因為外力集中荷載在C左邊不產(chǎn)生作用，因此為了方便起見，把坐標原點放到（:點。

?A點的豎向位移

1/=1+.v,l/p=Fvx

,則位移為

.)

!\

財=1,=%x

②A點的轉(zhuǎn)角

rTA'p.vd.v

IEl逆時針)

on/

,則位移為

.%=h\,x,M二x

③C點的豎向位移

(Lv

4V二I24￡/，I

,則位移為

=Fvx,M=\

點的轉(zhuǎn)角

rxx1耳尸,ML-、

ciPdx?。鏁r針）

d=I-ET

,則位移為

h-------------------------------H

(b)一

5-8試用積分法求圖5-2-21所示梁的跨中撓度（忽略剪切變形的影響）。

圖5-2-21

解?：（a）在跨中施加一個豎向虛設(shè)力，梁彎矩為：回、（左半邊彎矩）：外力荷載作

M尸如廠也

用下彎矩為：2-2,結(jié)構(gòu)左右對稱，因此求位移

)

El384A7

——T

（b）在跨中施加一個豎向虛設(shè)力，梁彎矩為：Ki="2^（只考慮左半邊）；外力荷載作

用下彎矩為：風一彳二結(jié)構(gòu)左右對稱，因此位移為

5-9試求圖5-2-22所示簡支梁中點C的豎向位移A,并將剪力和彎矩對位移的影響加以

G二3后，4二1.2,。二1

比較。設(shè)截面為矩形，h為截面高度，8/電

圖5-2-22

解：（1）求位移

在C點施加一個豎向虛設(shè)力，則產(chǎn)生彎矩只二；力軸力八?二°,剪力&T（只考慮

左半邊）；外力荷載在結(jié)構(gòu)上，產(chǎn)生彎矩”?=￥”一寫，軸力Fw=°,剪力

尸Qr—￥-q”，且結(jié)構(gòu)左右對稱。

①彎矩對位移的影響

冊//_0.154J

8cl=61

②剪力對位移的影響

015/

中-38427GA'

故總位移為

（2）比較剪力和彎矩對位移的影響

求二者比值

Ag0.15//5t//41I,52A7

A—CA-384以=GA尸

r=AFJL1

將題中所給的‘一8''I=-13弋入上式，則比值為2.56%,

可以看出剪力對位移的影響僅僅是彎矩的2?56%,因此在某些情況下可以不用考慮剪力

的影響。

5-10試求圖5-2-23所示結(jié)點C的豎向位移Ac,設(shè)各桿的EA相等。

D

圖5-2-24

在C點施加一個豎向的虛設(shè)力，則結(jié)構(gòu)各桿內(nèi)力反應(yīng)如圖5?2?24所示；外力作用下，各

桿的內(nèi)力反應(yīng)也如圖5-2-24所示。則C點豎向位移為

&=^|^xyx2(/x2+(-^FP)x(-^]X75</X2+(-fP)x(-I)x2</]

5-11試求圖5-2-25所示結(jié)構(gòu)結(jié)點C的水平位移Ac,設(shè)各桿的EA相等。

圖5-2-25

解：在C點施加一個水平虛設(shè)力。

結(jié)構(gòu)的虛設(shè)力狀態(tài)圖和荷載軸力匿，如圖5-2-26所示。

圖5-2-26

求位移得

.l=777丫見，*V?X怎+(-F)X(-1)X//=2、2+1)

ch：ivA/I

3.828/*〃/

EA

5-12試求圖5-2-27所示結(jié)構(gòu)結(jié)點C的水平位移Ac,設(shè)各桿的EA相等。

Q

圖5-2-27

實際荷載軸力圖

圖5-2-28

首先在C點施加一個水平虛設(shè)力，注意到桁架C點以上都為零桿，因此只考慮C點一下

結(jié)構(gòu)受力。虛設(shè)力狀態(tài)圖、荷載的軸力圖如圖5-2-28所示，則結(jié)點C的水平位移為

4,=￡匚（4+4+10+2互+2萬）〃.3

j&/lt.A

=23.65"

5-13試求圖5-2-29所示等截面圓弧曲桿A點的豎向位移Av和水平位移加。設(shè)圓弧AB

為'個圓周，半徑為R,EI為常數(shù)°

圖5229

解，（1）A點的豎向位移Av

百A點施加一個豎向的虛設(shè)力，虛設(shè)力狀態(tài)和外荷載作用下的應(yīng)力狀態(tài)，如圖5?2?30所

小0

虛設(shè)力狀態(tài)圖實際狀態(tài)圖

圖5-2-30

求解得到用人二-Asin。，/弘,人二-八代熱】仇則A點的豎向位移為

(-FpRsin。)(-Rsinff)0..s

&=L---------------EI-------x血”而(])

(2)A點的水平位移AH

虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-31所示：

圖5-2-31

圖中=?(/＜■凡，＜＞卬)，外力荷載同上，則A點的水平位移為

(-F,.Ksin0)[-(R-]

RdO=

El

5?14試求圖5?2?32所示曲梁B點的水平位移AB,已知曲梁軸線為拋物線，方程為

EI為常數(shù)，承受均布荷載q0計算時可只考慮彎曲變形,設(shè)拱比較平，可取ds=dx°

q

tH1HNN111HI口t

圖5-2-32

M=1Xy=y

解：在B點施加水平虛設(shè)力，則任意點的彎矩為

M產(chǎn)生當

外力荷載作用下，梁任意點的彎矩為

則B點的水平位移為

二i%

5-15試用圖乘法解習題5-7。

解：（a）外力荷載下的彎矩圖如圖5?2?33所示。

圖5-2-33

①A點的豎向位移

A點施加豎向虛設(shè)力，則彎矩圖如圖5-2.34所示。

圖5-2-34

“4Jxixg兄_3.

與Mp圖乘：I326,對應(yīng)的形心”=彳'，所以位移為

②A點的轉(zhuǎn)角

1

A點施加虛設(shè)單位彎矩，則彎矩圖如圖5-2-35所示。

圖5235

與瓦圖乘：4相同，對應(yīng)的形心為，I所以位移為

a'=i/X6X1=6A7(U)

③C點的豎向位移

祝圖

虛設(shè)力的彎矩圖如圖5-2-36所示。

圖5-2-36

對應(yīng)外力荷載的彎矩圖為如圖5-2-37所示。

圖5-2-37

圖乘時，把圖分解成兒-4兩個圖形，其中:

4A2"_32Xx2'xX逛8"酒-96

迎

32

陽=焉任/0+2*亨x力守x9亨xO卜?嚏x1

=黯⑴

C點豎直位移為

注：用到了兩個矩形圖乘的公式。

b

圖5-2-38

△=」—(2ac+2bd+ad-be)

6EI

上圖中兩個圖形的圖乘結(jié)果為

④C點的轉(zhuǎn)角

虛設(shè)力的彎矩圖如圖5-2-39所示。

1

A

圖5-2-39

圖乘結(jié)果為

(b)彎矩圖如圖5-2?40所示。0

圖5-2-40

分別與MP圖圖乘可得

品寺號停號+全卜第(I)

n11/%,K7/,、

^=E/X7X7XTX1=8E/(U)

11//

cEl222

14x1x^xl

6c=

El222

5-16試用圖乘法解習題5-8。

解：(a)作虛力彎矩圖和外荷載彎矩圖，如圖5-2-41所示。

圖5-2-41

M,圖分解為Ai+4兩個圖形，其中

9”(，/2)[”

2x

3r8-96

圖乘求其跨中撓度為

A/^-x—x—+^-x—1x2-^—(?)

dv"E/(32X3X4+96X8)X2^384E/U,

力圖M，圖

(b)作虛設(shè)力彎矩圖和外荷載彎矩圖，如圖5?2?42所示。

圖5-2-42

直接圖乘，得出跨中撓度

金4(景小齊?二哥I)

5-17試用圖乘法求圖5-2-43所示梁的最大撓度Uo

圖5-2-43

解二作出虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-44所示。

圖5-2-44

L''=E/（^444X6）x2+A71（6+4）X64x^|x2

冊⑴

對兩個圖進行圖乘即可求出梁的最大撓度

5-18試求圖5-2-45所示梁在截面C和E的撓度。己知E=2.0xlOsMPa,h=6560cm，,

h=12430cm4o

|30kN

卜2m十2m

圖5-2-45

解：（1）C點的撓度

虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖如圖5-2-46所示。

圖5-2-46

IT浮乂梟60+°^^*/*叫+冊[(L5+O.5)x4x；x6()]

80240]<Q,?、

二4-I.八「川（.）

EI】EI2

則可以求得c點的撓度為

（2）E點的撓度

虛設(shè)力彎矩圖如圖5-2-47所示，外荷載MP圖與（1）中相同。

2

萬圖

圖5-2-47

則E點的撓度為

=12XX6()X2+(1+2)X2XX6X2

￡/1(23)A[2°]4VS

=2.06cm(I)

5-19試求圖5-2-48所示梁C點撓度，已知FP=9000N,q=15000N/m,梁為18號工

字鋼，I=1660cm4,h=18cm,E=2.1xl0SMPao

F.................?...................

卜。9ml一l.5m十L5mT

圖5-2-48

8.lkN-m

必圖/『一、、

DA\C|16.875/fl

"圖

解：分別作虛設(shè)力和外荷載下的彎矩圖，如圖5?2?49所示。

圖5-2-49

將MP分解為只有均布荷載作用下的彎矩圖和只有FP作用下的彎矩圖，然后分別與虛設(shè)力

彎矩圖做圖乘，得C點撓度為

^1()-、(2XVX15X16.875xO.75yxO.75xl.5x8.1j

E1l\38

323on(I)

1660x2.1xIO

20kN/m140kN20kN/m|40kN

JW)

B攵C

4m4m??I2Tm?

5-20試求圖5-2-50所示梁C點撓度。已知EI=2xl08kN<m2o

圖5-2-50

解.：作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-51所示。

圖5-2-51

兩個圖進行圖乘，得到C點的撓度

x=r7^(2x4()x()-2x8()XI+80x0+40x1)-yx4x40x

6也/kl

4

+而(-2x80x1+2x120x2-80x2+120x1)

2)4(-|x2xl0xl

12()X2XXYX

4(■J

=l.()()cm(1)

片

E4J8

5-21試求圖5-2-52所示梁B端的撓度。

圖5-2-52

解：為了計算簡便，本題采用“修補法”。

先將AB整體看做一個剛度為EL的桿件，求出其端部位移

4117,2

品“萬x/x/x一八r/藺

再端部的長度為a的一部分就行修補，把這一段看成一個剛度為(Eb-Eh)的桿件，求端

部位移

/_L__L

\El2EhMP,

%A=MA+AA般3以

將兩個位移相加，得到B點的撓度

5-22試求圖5-2-53所示剛架A點和D點的豎向位移。己知梁的慣性矩為21,柱的慣性

矩為I。

圖5-2-53

解：注意梁和柱的剛度不同，因此圖乘的時候要分開計算。

（1）A點的豎向位移

作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-54所示6

圖5-2-54

△L5(/X4XMX：X4)+=(8?x3x4)=甯(1)

兩個圖進行圖乘，得到A點的豎向位移

(2)D點的豎向位移

作虛設(shè)力的彎矩圖如下圖5-2-55所示，-Mp圖與(1)相同。

圖5-2-55

A：=為xyx2x2x/-1-x27+-?-x8”)+:x3x8(/x2

I2.1小I）

一痛x于x-x鏟X29x2

16153.6%?、

=田=~^（1）

兩個圖就亍圖建得到D點的豎向位移

5-23試求圖5-2-56所示三較剛架E點的水平位移和截面B的轉(zhuǎn)角。設(shè)各桿EI為常數(shù)。

圖5-2-56

解：（1）E點的水平位移

作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5?2?57所示。

3c^rrTrnTH、?

ET

B

r

i

T

T

r

圖

\7M圖

圖5-2-57

A,=±(9gx6x!xyx3jx4+前yx6x4.5q"5)=~：："(—?)

對兩年圖進行圖乘，得到E點防水平位移

(2)B點的轉(zhuǎn)角

虛設(shè)力如圖5-2-58所示，外荷載的彎矩圖如圖與(1)中相同。

圖5-2-58

對兩個圖進行圖乘，得到B點的轉(zhuǎn)角

5-24試求圖5?2?59所示結(jié)構(gòu)B點的水平位移。

圖5-2-59

解：

分別作出虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-60所示。

圖5-2-60

其中梁的剛度為無窮大，因此在圖乘的時候不考慮梁上的作用，對兩個圖進行圖乘，得到

B點的水平位移

△“師(36”6x小梟6卜費(t)

5-25試求圖圖5-2-61所示結(jié)構(gòu)C點的水平位移AH,豎向位移小，轉(zhuǎn)角0。設(shè)各桿EI與

EA為常數(shù)。

(a)忽略軸向變形的影響。

(b)考慮軸向變形的影響。

圖5-2-61

解：(a)忽略軸向變形的影響

分別作出虛設(shè)力和外荷載作用下的彎矩圖，如圖5-2-62所示。

力

V7777/

以

HTHmTr^

B

A

%圖

圖5262

分別用立圖與圖進行圖乘，得到相應(yīng)的位移：

水平位移：與“#八"撲蜜㈠；

x/,x/)=

豎向位移：4=必用"/吟*1■川山用""；；；"(1)；

［

o?,r/?1??.?.、A,./(/+2/1)

轉(zhuǎn)角：^=A7(A'/X/X2X|+A,/X，，XI)=2EI'L)

（b）考慮軸向變形的影響

分別作出虛設(shè)力和外荷載作用下的軸力圖，如圖5-2-63所示。

iiiiiiiiiaiiiiii..!'

三

三

至

三

嬴

用圖3心圖

圖5-2-63

分別用八?和/圖乘，計算出相應(yīng)的位移，與（a）中的相加即可。

Fp/i2/

計算水平位移時，圖乘結(jié)果為0,因此水平位移，和（a）中相同，為》尸石/

,L…,2Fj(l+3h)F7(l+3h)弛小

豎向位移，為'-百J"''一"3￡/3日防(口

W+2A).、

6

集中力矩不產(chǎn)生軸力，因此轉(zhuǎn)角與（a）中相同，為--2ET

5-26試求題5-8簡支梁截面A和B的相對轉(zhuǎn)角X

8

圖

萬圖Mr

解，（a）分別作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5。2?64所示。

圖5-2-64

將兩個圖進行圖乘，得到A、B的相對轉(zhuǎn)角

△4代《金川+梟泉梟1卜2=備（。）

.%圖

（b）作出外荷載的彎矩圖，如圖5?2-65所示。虛設(shè)力的彎矩圖方圖和（a）中相同。

圖5-2-65

對兩個圖進行圖乘，得到A、B的相對轉(zhuǎn)角

44件亭91卜2=瑞（。）

5-27圖5-2-66所示框形剛架，在頂部橫梁中點被切開，試求切口處兩側(cè)截面A與B的

豎向相對位移4,水平相對位移&和相對轉(zhuǎn)角設(shè)各桿EI為常數(shù)。

q

4

三

三

日

|

1二

圖5-2-66

百用2

解：作出三個虛設(shè)力下的彎矩圖，如圖5?2?67所示。

圖5-2-67

作均布荷載下的彎矩圖，如圖5.2-68所示。

M?圖

圖5-2-68

觀察，圖1是反對稱的，而拉P圖是正對稱的，則圖乘結(jié)果相加為0,所以豎向相對位移

白內(nèi)；圖2、圖3都是正對稱的需要圖乘計算。

.n1r1../11.225.2\2.1；2I；/5.2

4=-2x^x[yx/x/x(Txp/+TxT7/)-yx/x?7/Xy/+yx-7/x

Z-^-XyXX/j

“需"。⑼7*(-)

水平相對位移

相對轉(zhuǎn)角

A=p)x2xJxx/-Yx/x；“x：/-x

/S/L3ZoZ\OO/J5LoJ

fxi9/2]

%=L167a6

5-28試求圖5-2-69所示結(jié)構(gòu)中A、B兩點距離的改變值A(chǔ)。設(shè)各桿截面相同。

圖5269

解：在A、B兩點施加虛設(shè)力，作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖和軸力圖，如圖5-2-70所示。

00

I1

圖5-2-70

x（與+梟2局）

x2+2aXFvax28d

F/Ra3,T、

,為二9⑻5方（［）

圖乘計算，兩點距離改變值為

5-29設(shè)圖5-2-71所示三較剛架內(nèi)部升溫30℃,各桿截面為矩形，截面高度h相同。試

求C點的豎向位移人。

圖5-2-71

解：在C點施加-個豎向的虛設(shè)力，產(chǎn)生的彎矩和軸力，如圖5-2-72所示。

33

33FHIIIIIIIIIIlSlIIIIIIIIIIIHH

一

一

A/圖

圖5-2-72

A='^^Mds+1叫］人小

代入溫度變化引起位移公式

.ax30/41A,1八1080a/)、

Ac-----j-(3ox6x—x41-ax!5l—x61x41="----1o8n0a(|)

C點的豎向位移為

5?30在圖5?2?73所示簡支梁兩端作用一對力偶M,同時梁上邊溫度升高匕，下邊溫度下

降匕。試求端點的轉(zhuǎn)角8。如果8=0,問力偶M應(yīng)是多少?設(shè)梁為矩形截面，截面尺寸為

b-ho

MiM

截而

圖5-2-73

解：本題可先認為M已知，求出結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角色再令6=0,解出M即可。

（1）在端點施加一個虛設(shè)彎矩，作出虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖如下圖5-2?74所示。

M

M，圖

圖5-2-74

叫x21Mll.al

嗎KG)—X/XT=2E/-T(fM)

分別計算外荷載和溫度引起的轉(zhuǎn)角并疊加，得

(2)令6=0,解出M

2Kit.a

業(yè).旦0l/=

2A7h~F

5-31題5-3中的三錢拱溫度均勻上升to試求C點的豎向位移人和C較兩側(cè)截面的相對

轉(zhuǎn)角Az,拱軸方程為

圖5-2-75

（1）C點的豎向位移

在C點施加一個豎向的虛設(shè)力，如圖5-2-75中虛設(shè)狀態(tài)圖1所示。

在虛設(shè)力的作用下拱結(jié)構(gòu)上沒有彎矩，只有軸力。各個位置的軸力為

F、二一F^in(p-Fj|C()s^=-了siw一1又陟

4=\a/JA\(k=口“(-y-sin^-ds

代入公式，有

計算中?。簊i“ds=dy,c。喋山二（k,計算得

(2)在C點兩側(cè)施加虛設(shè)單位力偶，如圖54-75中虛設(shè)狀態(tài)圖2所示。同樣拱結(jié)構(gòu)中

G卜、=-y1cos(p

只有軸力作用，各位置的軸力為

同(1)中原理相似，代入公式積分得到C點兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角

5-32題5-10中桁架的下弦桿溫度上升to試求C點的豎向位移Aco

解：在C點施加一個豎向的虛設(shè)力，結(jié)構(gòu)的軸力圖，如圖5?2-76所示。

圖5-2-76

下弦桿整體溫度上升，因此代入公式，積分計算可以求出C點的豎向位移

△c=oilx—x2r/x2=2a/rf(I)

5.3名校考研真題詳解

一、填空題

1.圖5-3-1(a)所示桁架結(jié)構(gòu)C點的豎向位移Avc=°［中國礦業(yè)大學2009研］

(a)(b)

圖5-3-1

【答案】等I)

【解析】本題為非對稱荷載，因為A支座處有水平反力，而B支座沒有，可將荷載分解

為正對稱和反對稱，如圖5-3-1(b)、(c)所示。其中反對稱荷載下C點豎回位移為零,

只需計算正對稱荷載下C點的豎向位移。在C點加一豎向單位力，求出/'w、底,如圖

5-3-1(d)、(e)所示，則C點的豎向位移為

Fp/2X(1/2)Xd

△wX4-EA(4)

2,圖5-3-2(a)所示結(jié)構(gòu)中支座A轉(zhuǎn)動，角，則截面A彎矩MA=,截面C轉(zhuǎn)角°。

=。［哈爾濱工業(yè)大學2007研］

圖5-3-2

【答案】o；W3

【解析】畫出結(jié)構(gòu)的位移圖，如圖5—3-2(b)所示，可以看出截面c轉(zhuǎn)角為“，逆時針

轉(zhuǎn)動6

也可以應(yīng)用虛功原理，在C點加一虛單位彎矩，畫出萬圖，如圖5?3?2(c),由剛體的

虛功原理，列出方程得

乂令=

1xQ(:+1O=>0C=-^(U)

二、選擇題

1.圖5-3-3所示結(jié)構(gòu)中截面C轉(zhuǎn)角比與截面E轉(zhuǎn)角現(xiàn)為()。［西南交通大學2012

研］

11.5kN/m

A,4等于0,，?順時針B.%等于0.逆時針

C,拆順時針,“等于0I）.仇等于0.4等于0

圖5-3-3

【答案】B

【解析】上層為附屬部分，下層為基本部分。CD桿傳下一個集中力，作用在AB桿的中

點，為對稱荷載，對稱軸處的轉(zhuǎn)角為零，即a=0,但是卻有豎向位移；上層的DF桿承

受均布力，也是對稱荷載，荷載引起的E點轉(zhuǎn)角為零，但由于D支座隨著C點有豎向位

移，相當于支座沉降，引起DF桿逆時針轉(zhuǎn)動。

2.圖5-3-4（a）所示結(jié)構(gòu)，各桿EI、EA均為常數(shù)，線膨脹系數(shù)為a。若各桿溫度均勻

升高t℃,則D點的豎向位移（向下為正）為（）。［浙江大學2012研］

圖5-3-4

A.-ata

B.ata

C.2ata

D.0

【答案】B

【解析】在D點加一向下的虛單位力，求出各桿彎矩和軸力，如圖5-3-4(b)、(c)所

示，則D點的豎向位移為

=?/()IA\(l.s+.!/(l.s=a/x1x〃+0=afa(1)(其中環(huán)-t.At=0)

三、判斷題

1.圖5?3?5所示簡支梁，當FPI=LFP2=0時，1點的撓度為Q0I65/3花/,2點的撓度為

0.077尸〃,7。當Fp】=0,FPZ=1時，則1點的撓度為0.021//也7(其中F”作用在1/4

圖5-3-5

【答案】錯

【解析】由位移互等定理，1點的撓度應(yīng)等于0.07713/EI。

2.無法用圖5-3-6所示單位荷載，來求圖示結(jié)構(gòu)中K點的全位移，()［北京科技

大學2008研］

5

圖5-3-6

【答案】對

【解析】只能求水平方向的位移。

四、計算題

1.計算圖5?3?7所示結(jié)構(gòu)B點的水平位移，EI=常數(shù)。［華南理工大學2011研］

圖5-3-7

解?：先求實際荷載作用下的內(nèi)力，再求虛設(shè)單位荷載下的內(nèi)力。

先求Mp圖,如圖5?3-8所示。

圖5-3-8

建立虛設(shè)力狀態(tài)，繪制工圖，如圖5?3?9所示。

圖5-3-9

求位移，不考慮結(jié)構(gòu)的軸向變形，則白=［鬻小用“圖乘法,，得

-2qaA

EI3223EI

2.試求圖5-3-10(a)所示結(jié)構(gòu)中截面B、C的相對豎向位移。EI=常數(shù)。［福州大學

2011研］

解：在B、C兩點加一對方向相反的單位力1,作MP圖和立圖，如圖5-3-10(b)、(c)

圖5?3-10

截面B、C的相對豎向位移為

=A(-1X2X4OX2X|-4x4X40X2x4

+^X4X4OX4--|X4X2OX3)=O

3.圖5-3?11(a)所示結(jié)構(gòu),荷載Fw已知，桿件C端與地面光滑接觸,問FPZ為何值時

C端離開地面？(EI=常數(shù))［武漢大學2010研］

圖5-3-11

解：分別畫出外荷載FPI、FP2單獨作用下的彎矩圖，在C點加一豎向虛單位力，畫出萬圖,

如圖5?3-11(b)?(d)所示。

￡”二卜;廣2x2X~X~61IS7SET(］)

在FPI作用下"點而豎向位移為

在FP2單獨作用下，C點的豎向位移為

令4/7-2A7,可求得當仁一24也時，C端離開地面。

4.圖5-3-12(a)所示懸臂梁要考慮剪切變形的影響，EI、GA為常數(shù)，剪切系數(shù)k=1.2,

試求自由端的豎向位移。［天津大學2008研］

圖5-3-12

解：在自由端加一豎向單位力，畫出"圖、"圖、%圖，如圖5-3-12(b)-(f)

所示，彎曲變形和剪切變形引起的位移都可以用圖乘法。

上“■。器?國卜力X亨X%齊，X，X與X撲X

彎曲變形引起的位移為

1.2I/勺1I.1.8/