中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)與幾何圖形綜合壓軸題類型（解析版）

中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)與幾何圖形綜合壓軸題類型

類型一二次函數(shù)中的最值問題

（1）自變量范圍與最值問題

1.（紹興）已知函數(shù)y=-x2+bx+c（b,c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-3）,（-6,-3）.

（1）求b,c的值.

（2）當(dāng)-4WxgO時(shí)，求y的最大值.

（3）當(dāng)mgxWO時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2,求m的值.

思路引領(lǐng)：（1）將圖象經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式解答即可:

（2）根據(jù)x的取值范圍，二次函數(shù)圖象的開口方向和對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判定y的最

大值即可；

（3）根據(jù)對(duì)稱軸為x=-3,結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出1n的取值范圍即可.

（1）把（0.-3）,（-6,-3）代入v=-~x2+bx+c,

得b=?6,c=-3.

⑵,.?y=.x2.6x.3=.（x+3）2+6,

又-4WxW0,

???當(dāng)*=-3時(shí)，y有最大值為6.

（：3）什）當(dāng)一3<mW0H、f,

當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為-3,

當(dāng)x二m時(shí),y有最大值為-m2?6m?3,

???

???，=-2或m=-4（舍去）.

②當(dāng)mW?3時(shí)，

當(dāng)x=-3時(shí)y有最大值為6、

?y的坡大值與最小值之和為2

最小值為一4

「?-（m+3）2+6=-4,

一m二?3.71。或m=-3-J10（舍去）.

綜匕所述，m=-2或-3-J10

總結(jié)提升：此題主要考杳了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，正確分

類討論得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵.

2.（安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn).例如：

點(diǎn)（1，1），修求（-J2,-J2）,……都是和諧點(diǎn).

(1)判斷函數(shù)y=2x+l的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若一次函數(shù)尸的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)亭

①求AC的值；

郵^WxWm時(shí)，函數(shù)產(chǎn)aF+6x+c+：(g0)的最小值為-1,最大值為3,求實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

思路引領(lǐng)：(1)設(shè)函數(shù)y=2x+l的和諧點(diǎn)為(x,x),可得2x+l=x,求解即可；

⑵將點(diǎn)金-)代入y二再由ax2+6x+c=x有且只有一個(gè)根，△=25-4ac=(),兩

個(gè)方程聯(lián)立即可求a、c的值；

②由①可知y=-x2+6x-6=-(x-3M+3,當(dāng)x=l時(shí);尸-1,當(dāng)x=3時(shí)，k3,當(dāng)x=5

時(shí)，y=-l,則3WmW5時(shí)滿足題意

解：(1)存在和諧點(diǎn)，理由如下，

.=2x+l=x,

解得x=-l、

???和諧點(diǎn)為（-1,T）；

⑵①；點(diǎn)(烏，士)片是二次函數(shù)尸ixyx+qa#))的和諧點(diǎn)，

.5254一

??二=-u+15+c,

-24----------------

.2525

“一次函數(shù)Y=ax2+6x+c(a#))的圖象匕有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，

?，.ax?+6x+c=x有旦只有一個(gè)根，

?1公

②由①可知尸*+6x-6=-（x-3）2+3,

當(dāng)x二1時(shí)，y=-L

當(dāng)x=3時(shí)，尸3、

當(dāng)x=5時(shí)，v=L

“函數(shù)的最大值為3,最小值為-1:

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，并

與二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合解題是關(guān)鍵.

(2)胡不歸問題

3.(淮安)如圖(1),二次函數(shù)y=-x?+bx+c的圖象與x軸交了A、B兩點(diǎn)，與y軸交T，C點(diǎn)，點(diǎn)

B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),直線1經(jīng)過B、C兩點(diǎn).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)點(diǎn)P為直線1上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)再過點(diǎn)M

作"由的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)N,當(dāng)PW=夕/N時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

(3)如圖(2),點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,點(diǎn)Q

連接DQ,當(dāng)3AP+4DQ的值最小時(shí)，直接寫出DQ的長(zhǎng).

⑴用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)設(shè)P(t,-t+3),貝ljM(t,-t2+2t+3),N(2-t,-t2+2t+3),則PM=|t2-3t|,MN=|2

-2t|,由題意可得方程7-3l|=*-2Z,求解方程即可；

(3)由題意可知Q點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G,由QG〃BC,求出

點(diǎn)G(2,0),作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對(duì)稱點(diǎn)A',連接AD與AP交于點(diǎn)Q,則3AP+4/)0=4(/)0+*4P：

=4(DQ+AQ)N4A'D,利用對(duì)稱性和N0BC=45°,求出A'(2,3),求出直線DA'的解析式

和直線QG的解析式，聯(lián)立方程組｛:￡1；，可求點(diǎn)Q年款再求迎二苧

解：(1)將點(diǎn)B(3、O)、C(O、3)代入、=-x2+bx+c.

3b+c=0

=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,4);

(2)設(shè)直線BC的解析式為y-kx+b.

設(shè)P(L4+3，則M(t「l2+2i+3),N(2-L-t2+2t+3),

/.PM=\t2-3t\,MN=l2-2t\.

,:PM三領(lǐng)N,

.??產(chǎn)-3/1=，2?2兒

解得1=1±d2或1=1?42或1=2±也或【=2-也,

，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+52或1-J2或2+J3或2-V3;

(3)?.?C(O,3),D點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

???D(0,-3),

令丫=0,則-x2+2x+3=0,

解得x=-l或x=3、

/A0=3P0,

???0點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G,

「?OG//BC

.絲_竺

?2=空

氣二7。

?：AG=3,

??'OB=OC,

,/ORC=45°

作A點(diǎn)關(guān)于GO的對(duì)稱點(diǎn)A：連接A，D匕AP交于點(diǎn)O.

：NO=4O,

?：XO+Z)O=4O+QO》'D

.：34P+4。。=4(D0+；4P)=4(。5/。月44'D,

A'AG=45°

AGS'G,

???A'(2.3),

設(shè)宜.線DA'的解析式為y=kx+b:

.(b=-3

+b=31-

幽浮3二

；?y=3x-3,

同理可求汽線0G的解析式為y=-x+2,

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求

最短距離的方法，解絕對(duì)值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

4.(梧州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分另g軸交于點(diǎn)A,B,拋物線丫=濘十收氣

恰好經(jīng)過這兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6)，將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AECF,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

②著點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn),求弱八夕取最N直時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)直線解析式可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，解方程即可；

⑵①由旋4%的性質(zhì)可得E(6,3)?當(dāng)x=6時(shí)，卷x62—[x6-4=3,可知點(diǎn)E在拋物

線上；

②過點(diǎn)E作EH1AB,交y軸于P,垂足為H,sin//BO=*=霽=：,貝|j〃p=渺彳瞋BP+EP

=HP+PE,可知IHP+PE的最小值為EH的長(zhǎng)，從而解決問題.

解：(1)與x,v軸交于點(diǎn)A.B,

???當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，尸4當(dāng)尸0時(shí)，x=3.

???A(-3.0)B0，-4),

:拋物線v=2+hx+c恰好經(jīng)過這兩點(diǎn).

⑵①:將aACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至IJaECB

當(dāng)工=6時(shí)，尸三x62-x6-4三3,

18Z

???點(diǎn)E在拋物線匕

②過點(diǎn)E作EH_LAB,交y軸于P,垂足為H,

.：())=3d、

...//DC加%3

.sinZJ￡/C?=—=-r=T?

--------------------AB.RR5-

:.HP三抑，

:.胡P/EP=HP+PE,

???當(dāng)EPH二點(diǎn)共線時(shí)，HP+PE有最小值，最小值為EH的長(zhǎng),

作EGLv軸于G,

*/GEP=NABO,

?：Um/GEP=icmNABO,

??一=—,

——EG-BQ-

?叫_3

，。尸曷二3三宗

：.P(0,--)

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角

函數(shù)，兩點(diǎn)之間、線段最短等知識(shí)，利用三角函數(shù)將2B辟專化為HP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵

5.(濟(jì)南)拋物線＞，=加+與-6與x軸交于A(t,0),B(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線

y=kx-6經(jīng)過點(diǎn)B.點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

⑴求拋物線的表達(dá)式和t,k的值;

⑵如圖1,連接AC,AP,PC,若△APC是以CP為斜邊的直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作PQLBC,垂足為Q,求C0+，。

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可求解：

⑵作PM_Lx軸交于M,可求PM=，尸-爭(zhēng)〃+QAM=m-3,通過證明△COAS/\AMP,利

用”=生，求的值即可求p點(diǎn)坐標(biāo)；

OCAM1n

(3)作PN_Lx軸交BC于N,過點(diǎn)N作NE_Ly軸交于E,通過證明△PQNoAiBOC,求出0N=gPN

PQ=再由△CNEo^CBO,求出CN=抑=氫則CQ+夢(mèng)。=CN+PN=-濘-孕?+果

即可求解.

解：⑴將B(8,0)代入尸ax2±二~6,

64a+22-6=(),

+4-6,

當(dāng)尸0時(shí)，二手十斗?6=0,

解得L3或L8(舍)，

???仁3,

.\8k-6=0,

解得k="

4

(2)作PM■Lx軸交于M,

VP點(diǎn)橫坐標(biāo)為明

:?P(加.二-/w2±—m-6)>

，PM三+尸二中機(jī)+6,4W=a-3，

在Rt/\COA和RtAAMP中，

?/OAC+/QAM=9。。，/APM+/PAM=9U0、

，ACOASAAMP.

WAMA二。。PM

3(ffl-3)=6(點(diǎn)戶二單力+6）,

解得m=3（舍）或m=l。

：.P(10,-j)；

:.PN=一初2+斗力?6?-6)=-^nr±2nb

TPNL軸,

???PN〃OC

?：NPNO=NOCB、

???^△PONsR(4BOC.

，出NQEQ

■,

——K-Q￡,-QR-

???OB=&OC=6.BC=](),

?,.°N=*MPQ方N,

由△CNEs/XCBO,

:?CN三誣三射,

???C0土：PO=CN+NQ±￥()=CN+PN,

?；C2±把。三3二那+2次三二儲(chǔ)土斗”三二汕2yl2±詈

當(dāng)m三yflL_C2±+0的最大值是祟.

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的

判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型二二次函數(shù)中的面積問題

6.（內(nèi)蒙古）如圖，拋物線^aW+x+c經(jīng)過B（3,0）,。（-2,一?兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交

點(diǎn)為A,與y軸相交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B,C不重合），求使AMBC面積最大時(shí)M

點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）

（3）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）

⑵作直線BC,過M點(diǎn)作MN〃y軸交BC于點(diǎn)N,求出直線BC的解析式，設(shè)伏加,一，八〃

則N3“，一）+夕可得必伙=?MY?O8=-：（刖-力2+養(yǎng)，再求解即可；

⑶設(shè)Q（O,t）,P（/〃，-加力〃+：）分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí);

乙4

②當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)；根據(jù)平行四邊形的對(duì)

角線互相平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

是代入y=ax2+x+c;

（9以+3+。=0

A（4ff-2fc=-1L-

（a=^

解的

.??比

令XFO,則心右

AC（o,2）;

(3k+b=Q

-

解得，

上E聲打

沒A/（加，-：）,則N（m，一~w~l~~）?

一那+飆

：7-1^;12±1

.S.MBC=斗ZM1N*OB2=

肖/〃三為寸，Z\MBC的面積有最大值口，

216

此時(shí)例世-

（3）令i，=0.則一2』土：=0,

-----------------------------------u2-------

解得x=3或x=T,

???AG1.O).

設(shè)0（0,/）,P（陽，二5",如土?，

②當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，3+m=-l.

解得m=4

“二江

解得m=4.

???P(%今

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的

性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

7.(淄博)如圖，拋物線y=-x?+bx+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，頂點(diǎn)D(l,

4)在直線1:產(chǎn)挈籟上，動(dòng)點(diǎn)p(inn)在X軸上方的拋物線上.

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)P作PM_Lx軸于點(diǎn)M,PN_L1于點(diǎn)N,當(dāng)1cm<3時(shí)，求PM+PN的最大值；

(3)設(shè)直線AP,BP與拋物線的對(duì)稱軸分別相交于點(diǎn)E,F,請(qǐng)?zhí)剿饕訟,F,B,G(G是點(diǎn)E

關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn))為頂點(diǎn)的四邊形面積是否隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，若不變，求出這個(gè)

四邊形的面積；若變化，說明理由.

(2)如圖，設(shè)直線1交x軸于點(diǎn)T,連接PT,BD,BD交PM于點(diǎn)J.設(shè)P(用,-球+2m+3).四

邊形DTBP的面積=△PDT的面積+△PBT的面0二:XDTXPN+—TBXPM="PM+PN、,,推

出四邊形DTBP的面積最大時(shí)，PM+PN的值最大，求出四邊形DTBP的面積的最大值，可得結(jié)

論；

⑶四邊形AFBG的面積不變.如圖，設(shè)P(m,-m2+2m+3),求出直線AP,BP的解析式，

可得點(diǎn)E,F的坐標(biāo)，求出FG的長(zhǎng)，可得結(jié)論.

(2)如圖，設(shè)百線1交x釉于點(diǎn)T,連接PT,BD,BD交PY于點(diǎn)J.設(shè)P5,一相十2nl十3).

點(diǎn)D(l,4)在直必U：尸孑十/上，

.一8

二直線DT的解析式為4沁乳

???T(20)

?：。7=2,

:B(3,0),

??.0B=3,

「.BT=5,

：'DT=、32+42

第13頁共61頁

.TD=TB,

*PM上BT,PNd_DT、

，四邊形。76?的面積=△尸。7的面積的面積=|xDTXPN+1xTBXPM=|(尸M+/W),

，四邊形DTBP的面積最大時(shí)，PM+PN的值最大，

*D(I,4),B(3,0),

???宜線BD的解析式為y=-2x-6,

-2m+6),

?:己/?〃2+4〃?_3._____

???四邊形DTBP的面積=Z\DTB的面積+Z\BDP的面積

=(x5X4+：x(-"產(chǎn)+4第-3)X2

=也2+4/〃+7

-1<0,

???m=2時(shí)，四邊形DTBP的面積最大，最大值為11,

:.PM+PN的最大值=弓x11=芻：

4.a

片抖落

sinZCLO=I，

由LO//H、

???ZNHM=ZCLO、

----------------------------5-

?'?PH三土曰士用2?2川?3=而二,二

JPN三:PH,

：.PM+PN=?〃/+2用+3+7(澗2—&〃l=)=-7(〃L2)?+當(dāng)

???m=2時(shí)，PM+PN的值最小，最小值為爭(zhēng)

理由：如圖，設(shè)D(m.-m2+2m+3).

?「EG關(guān)于x軸對(duì)稱,

?：直線PB的解析式尸-(時(shí)1)x+3(m+1),

.,.GF=2m+2-(2m-6)=8,

...四邊形AFBG的面積=-xABXFG=工x4X8=16.

__--------2T-----------------2----------------------

???四邊形AFBG的面積是定值.

總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

類型三二次函數(shù)與角度問題

8.(荷澤)如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與x軸交于A(-2,0)、B(8,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C(0,4),連接AC、BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)將AABC沿AC所在直線折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，

并求出四邊形OADC的面積：

(3)點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)NPCB二NABC時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路引領(lǐng)；(1)利用待定系數(shù)法解答即可:

⑵過點(diǎn)D作DE_Lx軸于點(diǎn)E,利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)定理求得線段OE,

DE,則點(diǎn)D坐標(biāo)可得；利用四邊形OADC的面積:SAOAC+SACD,SADOSABC,利用三角形的

面積公式即可求得結(jié)論;

⑶利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時(shí)，利用平行線的判

定與性質(zhì)可得點(diǎn)C,P的縱坐標(biāo)相等，利用拋物線的解析式即可求得結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P在BC下

方時(shí)，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)H,設(shè)HB=HC=m,利用等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理求得m

值，則點(diǎn)H坐標(biāo)可求；利用待定系數(shù)法求得直線PC的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求得

點(diǎn)P坐標(biāo)；

解：(1):丁旭物線y=ax?十bx+c(aHO)與x軸交于A(20)、B(8,0)兩點(diǎn)，與V軸交于

點(diǎn)C(0.4).

A(2。)、B(8O).C(0.4).

?：0A=2Q3=&0C=4

.QA1Q￡1

-Q€-Z2—QJl-Z

.QA_QL

工0￡=

1/AOC二人()B=9()。

?：ZUOCsZ\CO及

/RCO=/CBO.

?NCB0+N0CB=9Q。

?：/ACO+/OCB=90。

?：4C8=90。

?；將AABC沿AC所在宜線折疊，得至U/^ADC,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D、

???點(diǎn)D,CB三點(diǎn)在一條宜線上.

山粕國(guó)J稱的件質(zhì)得：BLCD,AB-AD.

ocAB.DE.LAB,

.DE//OC,

丁.PC為z^BDE的中位線，

???OE=OB=&DE=2OC=&

???D(-8.8);

由題意得：SAC—SABC?

，1四邊形OADC的面積二SZM3AC+SADC

^_OAC±S^ABC

=^xOC*OA±^xAB*OC

~2---------------1-2--------------

=-x4X2^^xlOX4

-2-----------2------------

二4+20

=24;

?ZPCB=NABC

，PC〃AB、

，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,

令）=4,則二與2+4+4=4.

^42

解得：x=0或x=6,

②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，如圖,

?/PCB二/ABC、

?：HC=HB.

殳HB=HC=m,

.：()H()H-HS8-/“

在RtZXCOH中,

*OC2+OH2=CH?,

.??42+(8-m)2=m2、

解得：rrr5

?：OH=3、

.'.H(3.0)

設(shè)直線"的解析式為y-kx+n,

.[n=4

工1孔+n=0匚

I

解得:__

n=4

y=——4x4I-4A

----3-

31

匕三9曲三工

解得:

10(F—

必三1二Xz

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,41）或得二詈）.

總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì),待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線

上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，

利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

9.(鞍山)如圖，拋物線產(chǎn)-吳+及與x軸交于A(-1Q),B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)CQ2),

連接BC.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，直線PB與y軸交于點(diǎn)D,4BCD的面積為12,求點(diǎn)P

的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)E是線段BC上點(diǎn)，連接0E,將AOEB沿直線0E翻折得到△OEB'

當(dāng)直線EB'與直線BP相交所成銳角為45°,時(shí)，求點(diǎn)B'的坐標(biāo).

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)先由4BDC的面積求出0D的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),再由待定系數(shù)法求出

直線BD的解析式，直線BD與拋物線的交點(diǎn)即為所求；

(3)當(dāng)B'在第一象限時(shí)，由/0DB=45°,可知EB'〃CD,求出直線BC的解析式，可設(shè)E(t,

=多跟在R^OHB“中，BHHg則+在RSBHE中，由勾股

定理得(析了+、-2六(全/g上Q4求出t的值即可求B'坐標(biāo)；當(dāng)B'在第二

象限時(shí)，B'G/x軸，可得四邊形B'OBE是平行四邊形，則B”(上4,1手率由折疊的性質(zhì)可

判斷平行四邊形OBEB'是菱形，再由BE=。8,可尋J(4一。？+(一1+2產(chǎn)=4,求出t的值即

可求B'坐標(biāo).

)代入上—與,

?'?尸一夕2土尹2；

(2)令y-O,則一#+襯2—0,

解得或X=4,

???B(4,0),

???()B=4,

???S"*X4X(2+0。)=12,

.??0D=4,

???D(0「4).

設(shè)直線BD的解析式為Y二kx+b,

y=x-4.

fy=x-4

???PG3「7);

(3)如圖1,當(dāng)B'在第?象限時(shí)，

設(shè)直線BC的解析式為y-kx+b；

?”=一3+2,

設(shè)?a,一?十2),

：.0H=3E，=-*2,

???D(0/4).B(4,0)

?：OB=OD,

?：/ODB=45。

???直線EB'與直線BP相交所成銳角為45°

/.EB7/CD,

由折疊可知，OB'=BO=4,BE=BE,

任中,B，H=716-2

；?B，E三，16一筐（丁~，16-注土}-2,

???8￡=、16—正+加2,

在RtzW/EU」，（、16—隹+}?2）2=（47）?+（一扣2）

解存*土華,

5-

如圖2,當(dāng)B'在第二象限，NBGB'=45。時(shí)，

?「NABP=45。、

/,B'G//x軸,

“將ZXOEB沿直線0E翻折得到△OEB：

「?NBOE=/BEO,

；?BR/B。

VB'E=BO,

???四邊形BOBE是平行四邊形，

「?BE=4,

???8'（f?4.二扣2）,

由折疊可知OBuOB'u4

???平行四邊形OBEB'是菱形，

「.RE=OB,

A±￡-

解得l4土焙或Z二4二皚

..國(guó)（二限_*

綜上所述：B’的坐中拓或（二軍，￥）?

方法2:在Rl^BCO中，BC=2d5,CO:OB:BC=l:2W5,

,'.B'FIOB,

/CBA=NOBE

?:八ORTSACBO,

,??“。三竽，87=等，

???夕（竽用

「BFLOFBE//OB、

BE和BE關(guān)于0E對(duì)稱,0B和OB'關(guān)于0E對(duì)稱,

VZFOB'=ZOBC,

???△OB"ABCO,

「BF:FO:OB=1:2:J5,

*OB=OB'=4、

*巡

,

F=5一

B'

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的

性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

類型四二次函數(shù)與圓綜合

10.(揚(yáng)州)如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB

=8dm,外輪廓線是拋物線的一部分，對(duì)稱軸為y軸，高度0C=8dm.現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切

割：

(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；

(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；

(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請(qǐng)說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)先根據(jù)題意求出拋物線的解析式，當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上時(shí)正方形面

積最大，先根據(jù)GH=20G計(jì)算H的橫坐標(biāo)，再求出此時(shí)正方形的面積即可；

⑵由⑴知：設(shè)H(八一缶十8)(t>0),表示矩形ETCH的周長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

求出最值即可；

(3)解法一：設(shè)半徑為3dm的圓與AB相切，并與拋物線相交，設(shè)交點(diǎn)為N,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，

并計(jì)算點(diǎn)N是|員1M與拋物線在y軸右側(cè)的切點(diǎn)即可.

解法二：計(jì)算MN?,配方法可得結(jié)論.

解法三：同解法二得\股，利用換元法可解答.

解：(1)如圖1,由題意得：A(-4,0),B(4,0(0,8)

把B(4、0)代入得：0=16a+8、

，拋物線的解析式為：尸一32+8,

四邊形EFGH是正方形,

設(shè)“。，二芋⑻6>0),

,二?2+8=2，，

解得；t=2+2d5,L2245(舍)，

???止匕正方形的面積=FG2=(2l)2=4t2=4(-2+2Y5)2=(96-32d5)dm2：

，矩形EFGH的周長(zhǎng)=2FG+2GHHl+2(=P+8)=P+41+16=G2)2+20,

-1<0,

???當(dāng)匚2時(shí)，矩形EFGH的周長(zhǎng)最大，且最大值是20dm:

如圖3,N為QM上一點(diǎn)，也是拋物線上一點(diǎn)，過N作QM的切線交y軸于0,連接MN,過點(diǎn)

則

設(shè)二全戶+8),

由勾股定理得：PMP+PN2=MN2.

，加斗(―L〃/+8?3)占3?,

-----------2---------------------------

解得：m-2\2nL2\；2(舍)，

???N(242.4),

.?.cosZ,NmMeP=—m=—m.=-i

-----------MN-OM-3'

二"7。二3.MV=9.

設(shè)ON的解析式為：y-kx十b,

,仁12

-l2s/2/c4-b=4^-

?[L=ZL2V^2

~lb=12

，0N的解析式為：r=-<2x+12,

一1?+8=?2岳+12,

￥-2&x+4=0,

圓M與拋物線在y軸右側(cè)的唯一公共點(diǎn),

解法二：如圖3,取點(diǎn)M(0,3),在拋物線上取力N(/M,-52+3),曰0<mv4,

則肋十二加“(二、*+8—3)2三］(加2-8)49,

，當(dāng)m=2e時(shí)，MN有最小值為3,此時(shí)拋物線上除了點(diǎn)N,N(點(diǎn)N.N關(guān)于v軸對(duì)稱)外,

其余各點(diǎn)均在以點(diǎn)M（0,3）為圓心，3dm為半徑的圓外（鐵皮底部邊緣中點(diǎn)（）也在該圓上），

???若切割成圓,能切得半徑為3din的圓.

解法三L如圖8取點(diǎn)M（o,m）,在拋物線上取點(diǎn)N吃鴕a<4'

則何▽二〃斗（二夕耳8-m）工

令1，=標(biāo)，則叫沖=葉（二5二8?川）2三，（H2m?14）?+15-2m,

???MV的最小值是15-2m;

當(dāng)MN的最小值二0M二.時(shí)，Q0與拋物線相切，此時(shí)0M最大工

V15-2hHn,

.??畔一5（舍）或3,

???若切切成圓，能切得半徑為3dm的圓，

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)與與,四邊形的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次

函數(shù)的解析式，圓的切線的性質(zhì)，矩形和正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，

并與方程相結(jié)合解決問題是本題的關(guān)鍵.

11.（鹽城）【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間

距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)

律.

【提出問題】

小力通過觀察，提出猜想；按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上

【分析問題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過點(diǎn)。且垂直于

橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.當(dāng)

所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為（-3,4）或（3,4）

【解決問題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P(O,m),m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫QM,是否存在所描的點(diǎn)在QM

上.若存在，求m的值；若不存在，說明理由.

思路引領(lǐng)：【分析問題】根據(jù)題意可知:該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,利用勾股定理，即可求出該點(diǎn)的橫

坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；

【解決問題】設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為n(n為正整數(shù))的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(n-1),

利用勾股定理可得出該點(diǎn)的坐標(biāo)為(-V2n-l,n-1)或(結(jié)合點(diǎn)橫、縱坐

枷可蹴系，可得出該點(diǎn)在二次蹣=￥一弊匕進(jìn)而可證出小明的猜想正確

【深度思考】設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(土V2n-l,n-l),結(jié)合QM的圓心坐標(biāo)，利用勾股定理，即

可用含n的代數(shù)式表示出m的值，再結(jié)合m,n均為正整數(shù)，即可得出m,n的值.

【分析問題】解：根據(jù)題意，可知：所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其縱坐標(biāo)y=5-l=4,

?.?橫坐標(biāo)x=±V52=42二±3,

???點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,4)或(3,4).

【解決問題】證明：設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為n(n為正整數(shù))的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(n

T),

,該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±JM-1)2二土J2rrl,

???該點(diǎn)的坐標(biāo)為(二J2n-Ln-1)或(V2n-l,n-l)

???該點(diǎn)在二次函數(shù)片文》2一|)二我一抽圖象上，

，小明的猜想正確.

【深度思考】解：設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(±J2n?l,n?1),QM的圓心坐標(biāo)為(0,/

Uz(n-l-l-n2(n-l)242(n-l)+l

..m=—-=---------==n-1+2±

------n=ln=l-nnln=l-

又..hn均為止整數(shù)，

?\n-1=1,

???m=l+2+l=4,

???存在所描的點(diǎn)在OM上，m的值為4.

本題考查了勾股定理、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及與圓有關(guān)的位置關(guān)系，解

題的關(guān)鍵是：【分析問題】利用勾股定理，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；【解決問題】根據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐

標(biāo)間的關(guān)系，找出點(diǎn)在二次函數(shù)尸畀勺圖象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代數(shù)

式表示出m的值.

類型五二次函數(shù)中的定值問題

12.（巴中）如圖1,拋物線y=ax?+2x+c,交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,F為拋物線頂點(diǎn)

直線EF垂直于x軸于點(diǎn)E,當(dāng)在0時(shí)，-1Wx<3

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)；（除B、E外），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D.

①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形ACFD的面積；

②如圖2,直線AD,BD分別與拋物線對(duì)稱軸交于M、N兩點(diǎn).試問，EM+EN是否為定值?如

圖1圖2

思路引領(lǐng)：⑴由當(dāng)在0時(shí)，-l^x<3,可知xi=l,x2=3Sax2+2x+c=0的兩根，代入

方

程可得a,c,從而得解；

⑵現(xiàn)x=2代入拋物線解析式可得D點(diǎn)坐標(biāo)，再將跖0代入拋物線解析式可得C點(diǎn)坐標(biāo)，

從而得知線段CD//x軸，利用配方法可知點(diǎn)F坐標(biāo)，從而利用S四邊形

go。5一力）求面積；

②設(shè)D(m,-m2+2m+3)(Km<3),用待定系數(shù)法求出直線AD與直線BD的解析式，再令

X=1得yn,yx,從而得出ME,NE的長(zhǎng)，從而得到NE+ME是定值8

解：(1)???當(dāng)歸)時(shí)，TWx03,

，xi=-l,x2=3是ax2+2x+c=0的兩根，A(-1,O),B(3,O),

.華一2+c=0

T9a+6+c=0—

；?拋物線的表達(dá)式為：尸x^-Zx+S:

⑵①把x=2代入尸-x?+2x+3得：y=3

??D⑵3).

又當(dāng)x=0,y=3,

C((),3),

???線段CD//x軸.

?[v=-x2+2x+3=-(x-1)2+上

?J(L4)，Spq邊形ACFD—土鼠皿三二Xj)~4;

②設(shè)D(m,一療+2川+3)(1〈水3),

直線AD:y=kx+bi、BD:y=4x+d._____

*麓23=k,.m+朋㈡/3=k即+Q

旬田磁景，

?：貪線AD:y=(3-m)x-^-(3-m)fBD:y=-(m+J)x+3(m+1j.

令K=1得ym=6-2m,yv=2m+2,_______

/?ME=6-2m,NE=2m+2,

「?NE+ME=8.

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合,涉及匹邊形的面積求法，待定系數(shù)法等知識(shí)，

掌握待定系數(shù)法和面積求法是解題的關(guān)鍵.

類型六二次函數(shù)中幾何圖形的存在性問題

13.(棗莊)如圖①,已知拋物線L:y=x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),B(1,0),過點(diǎn)A作AC〃x

軸交拋物線于點(diǎn)C,NAOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的關(guān)系式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO,當(dāng)AOPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐

標(biāo)；

(3)將拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在AOAE內(nèi)(包括△

OAE的邊界)，求h的取值范圍：

(4)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸1上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使APOF成為以點(diǎn)

P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

酸醐②

思路引領(lǐng)：(1)利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式:

(2)過P作PG//y軸，交OE于點(diǎn)G,設(shè)P(m,m2-4m+3),根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的

坐標(biāo)，表示PG的長(zhǎng)，根據(jù)面積和可得AOPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；

(3)求出原拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸與0E的交點(diǎn)坐標(biāo)、與AE的交點(diǎn)坐標(biāo)，用

含h的代數(shù)式表示平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出不等式組求出h的取值范圍；

(4)存在四種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMPgAPNF,根據(jù)|OM|=|PN],列

方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：⑴?「拋物線L:y=x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0.3),B(l,0),

｛導(dǎo)

，拋物線的解析式為：y=x?-4x+3;

(2)如圖，過P作PG//y軸，交0E于點(diǎn)G,

TOE平分NAOB、NA()B=90°

?：./AOE=45。,

???△AOE是等腰直角一角形，

?\PG=m-（in2-4m+3）=-m2+5m-3,

/.SOPE=SOPG+SAEPC

=%G-4E

=（x3X（-川+5由-3）

=-；（標(biāo)-5/n+3）

△OPE面積故大，

此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)

(3)由尸xZ4x+3=(x-2)2-1,得拋物線1的對(duì)稱軸為宜線x=2,頂點(diǎn)為(2,-1),

拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度后頂點(diǎn)為F(2,7+h).

設(shè)直線x=2交0E于點(diǎn)M,交AE于點(diǎn)N.則E(3.3).

???直線0E的解析式為：y=x,

???M(2,2),

???點(diǎn)F在△OAE內(nèi)(包括△0AE的邊界)，

??,2&1+但3、

解得3《hW4;

(4)設(shè)P(m,m2-4m+3),分四種情況：

①當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過P作MN_Ly軸，交y軸于M,交1于N,

，N0MP=NPNF=9Q。

?「△OPF是等腰直角三角形,

???OP=PF,/OPF=900

?：/0尸M+6PF=NPFN+ZNPF=90。

NOPM=/PFN,

?工OMP。4PM%US),

?：OM=PN,

^■/n2+4m-3=2-m,

解得；加三竽（合_

??7的坐標(biāo)為（上空，地）：

-------—2—2-

②當(dāng)P在對(duì)前軸的左邊，且在X軸上方時(shí)，

同理得：2-m=m2-4m+3,

解!得：如三方包（之）或m三號(hào)走，

??.P的坐標(biāo)為（總與逗i）：

--------2J2人

③當(dāng)P在對(duì)稱軸的右邊，且在X軸下方時(shí)，

同理得AONPt△PMF.

???PN=FM、

則-m2+4m-3=m-2,_____

解得：如三或"12=（舍）:

尸的坐標(biāo)為（出1

④當(dāng)P在X撇軸的右邊，且在X軸上方時(shí)，如圖,

同理得m2-4m+3=m-2,_____

解得:"三警彼乎（舍），

（5±巫

女是：（竽，竽）或（竽，等）或（苧，野）或白￥5,<F+）.

E（l「l）是D點(diǎn)（2,0）繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°并且OD縮小J2倍得到，

易知直線DE即為對(duì)稱軸上的點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,且到O點(diǎn)距離縮小J2倍的軌跡，

解得上I三一1

同理可得X3三號(hào)^或心三號(hào)」

（空遮上金）或（空鳥2（1旦）或產(chǎn)吟上漁）或25_上比

------------------------------------21-2—2251—2-2?早'22-2~235t-2

本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)及圖形的平移，全等三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，運(yùn)用分類討論思想和

方程的思想解決問題的關(guān)鍵.

14.(攀枝花)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交了0(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，A兩點(diǎn)，且二

次函數(shù)的最小值為-1,點(diǎn)M(l,m)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)B(0,l).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式：

(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P,連結(jié)PA,PB,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為L(zhǎng)aPAB的面

積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N,使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若

存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

思路^領(lǐng)：(1)根據(jù)題意知,二次函數(shù)頂點(diǎn)為(1,-1),設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x-l)2

-1,將點(diǎn)B(0,0)代入得，a-1=0,即可得出答案；

(2)連接OP,根據(jù)題意得點(diǎn)A的坐標(biāo)，則S=SoB+SoAp-SoBP,代入化簡(jiǎn)即可；

(3)設(shè)N(n,n2-2n),分AB或AN或AM分別為對(duì)角線，利用平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)

公式，分別求出產(chǎn)的值，進(jìn)而得出答案.

解：(1)?“二次函數(shù)的最小值為-1,點(diǎn)是其時(shí)稱軸.上一點(diǎn)，

???二次函數(shù)頂點(diǎn)為(1,-1)

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x?1)2?1,

將點(diǎn)0(0,0)代入得，a-1=0,

???y=(x-l)2-l=x2-2x

(2)連接OP,

當(dāng)

???x=0或2,

，A(2,0),

???點(diǎn)P在拋物線Y=X2.2X上，

，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為仔-21,

「?S=SAOB+SOA>SOBP

三張2X1+^X2(?"2八二勺

=-z2+-t+l：

---------2~~

(3)設(shè)N(n、n22n),

當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+0=1+n、

當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+1=n+(),

?：〃=3

*n=-L

???N(-L3),

綜上：N(l,T)或(3,3)或(-1,3).

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，平

行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

15.(阜新)如圖,已知二次函數(shù)y=-x?+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A(-l,0),B(5,0),交y

軸于點(diǎn)c.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒J2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從

點(diǎn)0出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段0B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)此N同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為t秒(0<t<5).當(dāng)t為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大面積是多少？

(3)已知P是拋物線上一點(diǎn)，在直線BC上是否存在點(diǎn)Q,使以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形?若存在，直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式為尸-x2+4x+5;

(2)過點(diǎn)M作MEJ_x軸于點(diǎn)E,設(shè)△BMN面積為S,由ON=l,BM=&t,可得BN=5-l,

=岳?當(dāng)=t,即得S=g8v?仞5制(5-(/一”+個(gè)由二次函數(shù)

性勇口J得當(dāng)t秒時(shí)，△B'M的面積最大，最大面積；展年審

(3)[tlB(5,0),C(0,5)得直線BC解析式為y=-x+5,設(shè)Q(m,-ni+5),P(n,-r?+4n+5),

有?（m+71=-1+0

分三種情況：①當(dāng)PQ,AC是對(duì)角線,I-m+5-"+471+5=0+5解得Q(-7,⑵；

②當(dāng)QA,PC為對(duì)角線，行匕2M”力””，解得Q（7「2）;③當(dāng)QC,

,IIIIJIVZIII?fII口I，

PA為對(duì)角線,有｛常+工2+25+。，解得Q(l,4)或（2,3）

解：(1)將點(diǎn)A(-L0).B(5,0)代入丫=-x2+bx+c中，

^[0=~1-d+c

^10=-254-+c—

???二次函數(shù)的表達(dá)式為丫=-x?+4x+5;

(2)過點(diǎn)M作ME±x軸于點(diǎn)E,如圖:

根據(jù)題意得：ON=l,BM=v

???BN=5x

在v=?x2+4x+5中，令x=0得Y=5

，c（o.5）.

/.OC=OB=5,

列OBC=45。

.??M￡=BA/sin45。三瓜廣=3

:.S三如N?ME三之（5一）?一羊琦三（（馬）2土1

*當(dāng)I三%寸，△BMN的面積最大，最大面積是等;

(3)存在點(diǎn)0,使以ACT.0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下:

由B(5.0)C(0,5)得直線BC解析式為v=-x+5,

設(shè)O(m.Tn+5),P(〃,力2+4〃+5),J64(-/,0),CY0,5),

①當(dāng)POAC是對(duì)角線，則POAC的中點(diǎn)重住

(m+n=-l+O

-m+5-n2+4n+5=0+