2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用應(yīng)用案鞏固提升新人教B版必修第二冊

PAGE1-6.3平面對量線性運(yùn)算的應(yīng)用[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則人的實際速度為()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：選B.由向量的加法法則可得人的實際速度為v1＋v2.留意速度是有方向和大小的，是一個向量．2．當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時，夾角為θ，兩人用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：選D.由題意作出示意圖，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等邊三角形，所以θ＝120°.3．河水的流速為5m/s，一艘小船想以12m/s的速度沿垂直河岸方向駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為()A．13m/s B．12m/sC．17m/s D．15m/s解析：選A.設(shè)小船的靜水速度為v1，河水的流速為v2，靜水速度與河水速度的合速度為v，為了使航向垂直河岸，船頭必需斜向上游方向，即靜水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，靜水速度與河水速度的合速度v指向?qū)Π叮挫o水速度|v1|＝eq\r(|v|2＋|v2|2)＝eq\r(122＋52)＝13(m/s)．4．已知四邊形ABCD各頂點坐標(biāo)是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))，則四邊形ABCD是()A．梯形 B．平行四邊形C．矩形 D．菱形解析：選A.因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，4)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，即AB∥DC.又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋\f(64,9))＝eq\f(10,3)，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝eq\r(9＋16)＝5，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(DC,\s\up6(→))|，所以四邊形ABCD是梯形．5．用兩條成120°角的等長繩子懸掛一個燈具，已知燈具重量為10N，則每根繩子的拉力大小為________N.解析：如圖，由題意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝10，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝10，即每根繩子的拉力大小為10N.答案：106．如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)一點，且2eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABP∶S△ABC＝________．解析：設(shè)AB的中點是D.因為eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以P為CD的五等分點，所以△ABP的面積為△ABC的面積的eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7．某物體做斜拋運(yùn)動，初速度|v0|＝10m/s，與水平方向成60°角，不計空氣阻力，則該物體在水平方向上的速度是________m/s.解析：設(shè)該物體在豎直方向上的速度為v1，水平方向上的速度為v2，如圖所示，由向量求和的平行四邊形法則及直角三角形的學(xué)問可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(m/s)，即該物體在水平方向上的速度是5m/s.答案：58．已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝FC＝eq\f(1,4)AC，試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形．證明：設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－a＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝b－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，且D，E，F(xiàn)，B四點不共線，所以四邊形DEBF是平行四邊形．9.如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，G為BE與DF的交點．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)試以a，b為基底表示eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))；(2)求證：A，G，C三點共線．解：(1)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.(2)證明：因為D，G，F(xiàn)三點共線，則eq\o(DG,\s\up6(→))＝λeq\o(DF,\s\up6(→))，即eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λa＋(1－λ)b.因為B，G，E三點共線，則eq\o(BG,\s\up6(→))＝μeq\o(BE,\s\up6(→))，即eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BE,\s\up6(→))＝(1－μ)a＋eq\f(1,2)μb，由平面對量基本定理知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＝1－μ，,1－λ＝\f(1,2)μ，))解得λ＝μ＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以A，G，C三點共線．[B實力提升]10．在△ABC中，D為△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(S△ABD,S△ABC)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,2)解析：選D.如圖所示，由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))得，點D在平行于AB邊的中位線上，所以eq\f(S△ABD,S△ABC)＝eq\f(1,2).11．一纖夫用牽繩拉船沿直線方向前進(jìn)60m，若牽繩與行進(jìn)方向夾角為30°，纖夫的拉力為50N，則纖夫?qū)Υ龅墓開_______J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝1500eq\r(3)(J)．答案：1500eq\r(3)12．已知點A(eq\r(3)，1)，B(0，0)，C(eq\r(3)，0)，∠BAC的平分線AE與BC相交于點Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時有\(zhòng)f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)))，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于______．解析：由eq\f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝2，得|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CE,\s\up6(→))|(如圖)．從而|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(CE,\s\up6(→))|，又eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))方向相反，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→))，所以λ＝－3.答案：－313.如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸的過程中，下列說法中正確的是________．(寫出正確說法的全部序號)①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變??；③船的浮力不斷變?。虎艽母×Ρ３植蛔儯馕觯涸O(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向夾角為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，則|F|cosθ＝|f|，所以|F|＝eq\f(|f|,cosθ).因為θ增大，cosθ減小，所以|F|增大．因為|F|sinθ增大，所以船的浮力減?。鸢福孩佗踇C拓展探究]14．如圖，在△ABC中，M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN.解：設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.因為A，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋e