新高考藝術生40天突破數(shù)學第02講 常用邏輯用語（解析版）

第02講常用邏輯用語【知識點總結】一、充分條件、必要條件、充要條件1．定義如果命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時是的必要條件.2．從邏輯推理關系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件(也說和等價)；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質：，則是的充分條件，同時是的必要條件.所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立(即如果不成立，則肯定不成立).注：根據(jù)互為逆否命題等價.若有，則一定有.3．從集合與集合之間的關系上看設.（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”.（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件.二、全稱量詞與存在童詞（1）全稱量詞與全稱命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.全稱命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”.（2）存在量詞與特稱命題.短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題叫做特稱命題.特稱命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（特稱命題也叫存在性命題）.三、含有一個量詞的命題的否定（1）全稱命題的否定是特稱命題.全稱命題的否定為，.（2）特稱命題的否定是全稱命題.特稱命題的否定為.注：全稱、特稱命題的否定是高考常見考點之一.區(qū)別否命題與命題的否定:①只有“若，則”形式的命題才有否命題，而所有的命班都有否定形式(在高中階段只對全稱、特稱命題研究否定定形式)；命題“若，則”的否命題是“若，則，而否定形式為“若，則”.②一個命題與其否定必有一個為真，一個為假；而一個命題與其否命題的真假無必然聯(lián)系.【典型例題】例1．（2021·江蘇省前黃高級中學高三階段練習）設集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關系及充要條件，注意數(shù)形結合方法的應用，屬于基礎題.例2．（2022·全國·高三專題練習（文））若關于x的不等式成立的充分條件是，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】D【詳解】成立的充分條件是，則，，所以.故選：D例3．（2022·全國·高三專題練習）設，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集，若命題，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可得全稱命題的否定一定是存在性命題，可得命題“”的否定為：“”故選：C.（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習）下列命題的否定中，是全稱命題且為真命題的有（）A．，B．所有的正方形都是矩形C．，D．至少有一個實數(shù)，使【答案】AC【詳解】對于A，原命題的否定為：，，是全稱命題；，命題的否定為真命題，A正確；對于B，原命題為全稱命題，其否定為特稱命題，B錯誤；對于C，原命題的否定為：，；，恒成立，則命題的否定為真命題，C正確；對于D，原命題的否定為：對于任意實數(shù)，都有；當時，，命題的否定為假命題，D錯誤.故選：AC.例5．（2022·全國·高三專題練習）已知，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【詳解】∵由，得，由是的充分不必要條件知：有解，故，即原不等式可化為：，解得：，設，，是的充分不必要條件，是B的真子集,則且等號不同時成立，解得：，故的取值范圍是．故答案為：.例6．（2022·全國·高三專題練習）若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】.【詳解】由題意，命題恒成立，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）已知上函數(shù)，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得正確的選項.【詳解】取，則，但，所以函數(shù)不是奇函數(shù)；故“”推不出“函數(shù)為奇函數(shù)”，若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，故“函數(shù)為奇函數(shù)”能推出“”.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習）設集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，再利用x∈M∩P與x∈M∪P之間的關系即可判斷出結論．【詳解】“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，M∪P＝{x|x＞2}∪{x|x＜6}＝R，M∩P＝{x|2＜x＜6}．∴x∈M∩P?x∈M∪P，反之不成立．∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件．故選：C．3．（2022·浙江·高三學業(yè)考試）“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【詳解】∵等價于，當或時，不成立；∴充分性不成立；又∵等價于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分條件．故選：B．4．（2022·全國·高三專題練習）已知命題：，，則為（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題的否定變量詞否結論即可得正確答案.【詳解】命題：，，則為，，故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中，真命題的是（）A．函數(shù)的周期是 B．C．函數(shù)是奇函數(shù). D．的充要條件是【答案】C【分析】選項A，由可判斷；選項B，代入，可判斷；選項C，結合定義域和，可判斷；選項D，由得且，可判斷【詳解】由于，所以函數(shù)的周期不是，故選項A是假命題；當時，故選項B是假命題；函數(shù)的定義域關于原點對稱，且滿足，故函數(shù)是奇函數(shù)，即選項C是真命題；由得且，所以“”的必要不充分條件是“”，故選項D是假命題故選：C6．（2022·浙江·高三專題練習）給出下面四個命題：①函數(shù)在(3，5)內(nèi)存在零點；②函數(shù)的最小值是2；③若則；④命題的“”否定是“”其中真命題個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對選項進行判斷得解【詳解】①函數(shù)在(3，5)內(nèi)存在零點；，所以①正確②函數(shù)的最小值是2；當且僅當時等號成立，此時無解所以②不正確③若則；由不等式性質知③不正確④命題的“”否定是“”故④不正確故選：A7．（2022·全國·高三專題練習（文））已知命題：，，若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設條件由的最小值大于0即可得解.【詳解】依題意，，當且僅當x=-a時取“=”，因命題是假命題，即沒有實數(shù)使得成立，從而有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C8．（2022·全國·高三專題練習（理））下列命題中，真命題是（）A．在中“”是“”的充分不必要條件B．命題“，”的否定是“，”C．對任意，D．“若，則”的否命題是“若，則”【答案】C【分析】利用正弦定理、命題的否定和否命題的關系、基本不等式分別對選項A、B和D、C進行判斷即可求解．【詳解】解：對于：在中，當“”時，則，所以由正弦定理有“”，當“”時，由正弦定理得，故，所以“”是“”的充分必要條件，故錯誤；對于：命題“，”的否定是“，”故錯誤；對于：對任意的，（當且僅當時等號成立），故正確；對于：“若，則”的否命題是“若，則”，故錯誤；故選：C．9．（2022·全國·高三專題練習）已知命題，，命題，，則（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題【答案】C【分析】判斷出命題與的真假，再結合真值表可得答案.【詳解】因為，所以命題為真命題，因為當時，，所以命題為假命題，所以為真命題，所以是真命題.故選：C10．（2022·全國·高三專題練習）下列敘述中正確的是（）A．命題“?x0∈R，2021x02-2x0+1≤0”的否定是“?x0∈R，2021x02-2x+1>0”B．“a2=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0垂直”的充分而不必要條件C．命題“若m2+n2=0，則m=0且n=0”的否命題是“若m2+n2≠0，則m≠0且n≠0”D．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假【答案】D【分析】對各個選項中的命題逐一分析判斷即可得解.【詳解】對于A選項：命題“?x0∈R，2021x02-2x0+1≤0”的否定是“?x∈R，2021x2-2x+1>0，A錯誤；對于B選項：若直線x+y=0和直線x-ay=0垂直，則1·1-a=0得a=1，而a2=1是a=1或a=-1，即“a2=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0垂直”的必要不充分條件，B錯誤；對于C選項：命題“若m2+n2=0，則m=0且n=0”的否命題是“若m2+n2≠0，則m≠0或n≠0”，C錯誤；對于D選項：若p∨q為真命題，則p，q至少有一個為真命題，若p∧q為假命題，則p，q至少有一個為假命題，于是p，q一真一假，D正確.故選：D11．（2022·全國·高三專題練習）已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、、為假命題.故選：A．12．（2022·全國·高三專題練習（理））命題“奇函數(shù)的圖象關于原點對稱”的否定是（）A．所有奇函數(shù)的圖象都不關于原點對稱 B．所有非奇函數(shù)的圖象都關于原點對稱C．存在一個奇函數(shù)的圖象不關于原點對稱 D．存在一個奇函數(shù)的圖象關于原點對稱【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式否定即可.【詳解】全稱命題“所有奇函數(shù)的圖象關于原點對稱”的否定是特稱命題，所以命題“奇函數(shù)的圖象關于原點對稱”的否定是“存在一個奇函數(shù)的圖象不關于原點對稱”.故選:C二、多選題13．（2022·全國·高三專題練習）“關于x的不等式對恒成立”的一個必要不充分條件是（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由關于x的不等式對恒成立，可求得，再由真子集關系，即可得到答案；【詳解】由題意得：，所選的正確選項是的必要不充分條件，是正確選項應的一個真子集，故選：BD14．（2022·全國·高三專題練習）若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)可以是（）A．-8 B．-5 C．1 D．4【答案】ACD【分析】先解兩個不等式，得到是的真子集，解不等式或，即得解.【詳解】，解得，即，解得或，由題意知是的真子集，所以或，所以或，即.故選：ACD15．（2022·全國·高三專題練習（文））下列選項中，正確的是（）A．命題“”的否定是“”B．函數(shù)（且）的圖象恒過定點C．“”是“”的充分不必要條件D．若不等式的解集為，則【答案】AD【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題判斷選項A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質判斷選項B，求解一元二次不等式的解集，利用充分必要條件判斷選項C，根據(jù)三個二次之間的關系以及韋達定理求解，即可判斷選項D.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，所以“”的否定是“”，故A正確；令，得，所以，所以函數(shù)所過的定點是，故B錯誤；不等式的解集為，所以“”不能推出“或”，反之也不能，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；由不等式的解集可得，得，所以，故D正確.故選：AD.16．（2022·全國·高三專題練習）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出給定命題為真命題的a的取值集合，再確定A，B，C，D各選項所對集合哪些真包含于這個集合而得解.【詳解】命題“"等價于，即命題“”為真命題所對集合為，所求的一個充分不必要條件的選項所對的集合真包含于，顯然只有，{4},所以選項AC不符合要求，選項BD正確.故選：BD17．（2022·全國·高三專題練習）下列說法中正確的個數(shù)是（）A．命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；B．命題“”是全稱量詞命題；C．命題“，”是存在量詞命題．D．命題“不論取何實數(shù)，方程必有實數(shù)根”是真命題；【答案】BC【分析】根據(jù)存在量詞命題和全稱量詞命題的定義判斷ABC，根據(jù)判別式判斷D.【詳解】A中命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題,故A錯誤；B中命題“”是全稱量詞命題,故B正確；C中命題“,”是存在量詞命題,故C正確；D中選項中當時，即當時，方程沒有實數(shù)根,因此，此命題為假命題.故選：BC三、填空題18．（2022·江蘇·高三專題練習）下列說法錯誤的是_________________①若，則②若，則或③“是”的充分不必要條件④“，”的否定形式是“，”【答案】①③④【分析】①當均為正數(shù)時結論是錯誤的；②出不同時為0，故正確；③只有，時，才可推出，，故是錯誤的；④命題的否定只否定結論，故錯誤.【詳解】對于選項①：若，，則，故①錯誤；對于選項②：若且，則，所以：若，則或，故②正確；對于選項③：當，時，若，則，題中沒有說明的范圍，所以是不充分，當時，不一定成立，如：，為，不成立，故“是”的即不充分也不必要條件，故③錯誤；對于選項④：“，”的否定形式是“，”，故④錯誤.故答案為:①③④19．（2022·全國·高三專題練習）若命題“?x0∈R，x02+x0+m＜0”是假命題，則實數(shù)m的范圍是___________．【答案】[，+∞）【分析】命題的否定為：“?x∈R，x2+x+m≥0“，原命題為假，則其否定為真，由＝1﹣4m≤0，可求出實數(shù)m的范圍．【詳解】解：命題“?x0∈R，x02+x0+m＜0”是假命題，即命題的否定為真命題，其否定為：“?x∈R，x2+x+m≥0“，則＝1﹣4m≤0，解得：m≥，故實數(shù)m的范圍是：[，+∞）．故答案為：[，+∞）20．（2022·全國·高三專題練習）若命題“，”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【分析】由題意可得不等式有解，然后通過判別式即可求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】由題意可知，不等式有解，，即，∴實數(shù)m的取值范圍為，故答案為：.21．（2022·全國·高三專題練習（文））根據(jù)下述事實，得到含有量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題為_______________.13+23＝（1+2）2