山東省青島市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

青島市2025年高二年級(jí)調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)、回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求直線的斜率，再求傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的斜率為1，即，又，所以直線的傾斜角為.故選：C2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程可得漸近線方程．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，故選：C.3.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意依次計(jì)算可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由題：.則ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B4.已知是空間的一個(gè)基底，則可以和，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基底向量的定義以及向量共面的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，可知，，不為共面向量，對于A：因?yàn)椋芍?，，為共面向量，不能作為基底，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，可知，，為共面向量，不能作為基底，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，可知，，為共面向量，不能作為基底，故C錯(cuò)誤；對于D：假設(shè)，，共面，則，可得，方程組無解，可知，，不為共面向量，可以作為基底，故D正確；故選：D.5.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用方程中表示橢圓的特征列式求解.【詳解】由方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得，解得，所以m的取值范圍是.故選：B6.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)W滿足，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直角三角形邊與角的關(guān)系，可求得與，再結(jié)合雙曲線的定義，即可得到與的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】因?yàn)榍遥Y(jié)合雙曲線的定義可知：，所以，所以.故選：C7.《九章算術(shù)》中記載了一種名為“芻甍”的空間幾何體．如圖，幾何體中，四邊形矩形，，，和都是正三角形，則平面與平面夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二面角平面交點(diǎn)的定義，結(jié)合等邊三角形以及等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)銳角三角形定義，可得答案.【詳解】分別取、的中點(diǎn)為、，在平面內(nèi)分別過、作的垂線，垂足分別為、，如下圖：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則且，又因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋瑒t，故、、、四點(diǎn)共面，在等邊中，為的中點(diǎn)，則，同理可得，所以，為二面角的平面角，由等邊與等邊的邊長都為，且、分別為、的中點(diǎn)，則，在等腰梯形中，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，則，，在和中，，，所以，，則，在中，，所以平面與平面的夾角余弦值為.故選：A8.已知是、的等差中項(xiàng)，直線，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得直線所過定點(diǎn)，利用圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最大值，可得答案.【詳解】因?yàn)槭?、的等差中?xiàng)，則，整理可得，則，直線的方程可化為，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，由圓，則圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，圓心到直線所過定點(diǎn)的距離為，圓上任意一點(diǎn)到直線的距離最大值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.等差數(shù)列中，公差為d，為其前n項(xiàng)和，，則（）A. B. C. D.的最大值為30【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可判斷.【詳解】A.，故A正確；B.，故B錯(cuò)誤；C.，故C錯(cuò)誤；D.因?yàn)閿?shù)列的公差為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，且，所以的最大值為，故D正確.故選：AD10.曲線C的方程為，M為曲線C上任意一點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在曲線C上B.點(diǎn)M橫坐標(biāo)的范圍是C.若，則D.設(shè)是曲線C上不同兩點(diǎn)，若，則【答案】ABD【解析】【分析】將點(diǎn)代入計(jì)算可得A正確，解不等式可知B正確，取特殊值可知存在點(diǎn)使得，C錯(cuò)誤，分別對和分類討論，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得，可知D正確.【詳解】對于A，將點(diǎn)代入可得，顯然等式成立，即點(diǎn)在曲線C上，所以A正確；對于B，易知，即，解得，即B正確；對于C，設(shè)，則，顯然當(dāng)時(shí)，，即存在點(diǎn)使得，因此C錯(cuò)誤；對于D，由，且，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，此時(shí)，當(dāng)，此時(shí)，當(dāng)，此時(shí)；若，即異號(hào)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，即，解得；又，所以；此時(shí)，即此時(shí)當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，可得，；所以綜上可知，，即D正確.故選：ABD11.長方體中，，E為棱CD上一點(diǎn)，，F(xiàn)是平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.存在不與重合的點(diǎn)，使得平面C.棱上存在兩定點(diǎn)，使得D.點(diǎn)的軌跡截直線所得弦長為【答案】ACD【解析】【分析】建系，設(shè)，由，得到點(diǎn)F的軌跡方程，進(jìn)而逐個(gè)判斷即可.【詳解】如圖建系，易知，設(shè)，則：，由，可得：，化簡可得：，對于A，若平面，易得又，可得：，聯(lián)立，消去可得：，有解，所以存在點(diǎn)F，使得平面，對于B，由長方體性質(zhì)可知，，要使得平面，則必有,，所以，聯(lián)立，可得或，此時(shí)點(diǎn)與重合，故B錯(cuò)誤；對于C:由化簡可得：，即點(diǎn)的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，且，所以棱CD上存在兩定點(diǎn)M，N，使得，故C正確；對于D：在坐標(biāo)平面中，直線的方程為：，聯(lián)立，可得：，，所以點(diǎn)的軌跡截直線所得弦長為，故D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知，，且，則_________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列方程求.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解得?故答案為：.13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則__________．【答案】【解析】【分析】首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以.故答案為：14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，且，則的取值范圍是__________，的最小值為__________．【答案】①.②.5【解析】【分析】利用焦半徑公式表示，利用拋物線上點(diǎn)的范圍求解第一空，利用焦半徑公式結(jié)合基本不等式求解第二空即可得到答案.詳解】①由題意得，，設(shè)，，，

則，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴.②∵，∴，∵，∴，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即，∴，即的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線綜合問題，解題關(guān)鍵是合理運(yùn)用焦半徑公式結(jié)合基本不等式，然后找到取等條件，得到所要求的最值即可．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，平行六面體的底面ABCD是菱形，且．（1）求的長；（2）求證：平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用基底表示向量，再根據(jù)數(shù)量積公式，即可求解；（2）根據(jù)線面垂直的判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，再根據(jù)向量數(shù)量積公式，即可證明.【小問1詳解】設(shè)，由于四邊形ABCD為菱形，則，即，所以，同理可得，由題意可得，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，同理可證又因?yàn)槠矫妫云矫?6.在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．已知直線l過點(diǎn)，且__________．①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的方向向量為．（1）求直線l的一般式方程；（2）已知圓心為C圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心C在直線l上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三種選擇均可確定直線斜率，然后由點(diǎn)斜式可得直線方程.（2）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，由（1）可得，然后由可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得半徑，即可得答案.【小問1詳解】若選①與直線平行，則直線l的斜率又其過點(diǎn)，故直線l的方程為，整理得若選②與直線垂直，則直線l的斜率k滿足，解得又其過點(diǎn)，故直線l的方程為，整理得若選③直線l的方向向量為，則直線l的斜率又其過點(diǎn)，故直線l的方程為，整理得綜上，直線方程為：【小問2詳解】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，因?yàn)镃在上，所以①因?yàn)锳，B是圓上兩點(diǎn)，所以有即②.由①②得所以圓心C坐標(biāo)為，圓的半徑綜上，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是17.如圖，在三棱錐中、底面ABD，．動(dòng)點(diǎn)C在平面ABD內(nèi)、且點(diǎn)A，C在直線BD兩側(cè)．（1）若四邊形ABCD為正方形，求直線PC與平面PAB所成角的大??；（2）若點(diǎn)C到平面PBD的距離為、求的面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量以及平面的法向量，利用線面角的向量公式，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，求得平面的法向量，利用點(diǎn)面距得到，設(shè)C點(diǎn)到直線PB的距離為，表達(dá)出，求出的最小值，進(jìn)而求出三角形面積最小值.【小問1詳解】底面ABD，平面，所以，，因?yàn)椋倪呅蜛BCD為正方形，所以，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，，，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，所以，解得，令，則，故，直線PC與平面PAB的所成角為，所以，所以直線PC與平面PAB的所成角的大小為；【小問2詳解】過A作直線平面ABCD，又，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AW所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，可得，，，設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則，所以，解得，令，則，得，設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為d，則，所以或，因?yàn)辄c(diǎn)A，C在直線BD兩側(cè)，故，故舍去，直線PB的單位方向向量為，設(shè)C點(diǎn)到直線PB的距離為，其中則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上，的面積18.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足：其中且．（i）求，并證；（ii）求．【答案】（1）證明見解析（2）（i），證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）（i）由（1）可得，利用遞推關(guān)系可求，先證明構(gòu)成等差數(shù)列，求出，再證明即可證明；（ii）記的和為，可得，再利用錯(cuò)位相減法可得答案.【小問1詳解】因?yàn)棰伲?，兩式相減得：，即；又因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等此數(shù)列【小問2詳解】（?。┯桑?）可得，則對于且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為，共有項(xiàng)．所以因?yàn)?，得，所以，所以；（ii）記的和為，所以所以，兩式相減得：綜上19.圓錐曲線有著豐富的光學(xué)性質(zhì)．從拋物線的焦點(diǎn)F處出發(fā)的光線照射到拋物線上點(diǎn)，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的軸．若點(diǎn)P在第一象限、直線l與拋物線相切于點(diǎn)P．（1）已知點(diǎn)，求切線l的方程；（2）過原點(diǎn)作切線l的平行線，交PF于點(diǎn)S，若．（i）求拋物線的方程；（ii）過準(zhǔn)線上點(diǎn)N作圓的兩條切線，且分別與交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)．是否存在圓M，使得當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值？并說明理由．【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由點(diǎn)P可得拋物線方程，然后設(shè)切線方程為，將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式為0可得斜率；（2）（i）法1，利用拋物線光學(xué)性質(zhì)可得，然后由幾何知識(shí)可得，即可得答案；法2，將切線方程設(shè)為，類似于（1）可得，注意到，然后由幾何知識(shí)可得，即可得答案；法3，類似于法2可得切線斜率為，設(shè)直線l，PF的傾斜角分別為，經(jīng)計(jì)算可得，然后由幾何知識(shí)可得；法4，類似于法2可得，通過將過原點(diǎn)與切線平行的直線方程與直線PF的方程聯(lián)立可得點(diǎn)S坐標(biāo)，然后由結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得關(guān)于p的表達(dá)式，化簡后可得答案；（ii）由（i）設(shè)，將方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可得關(guān)于的表達(dá)式，然后由切線到圓心距離為1可得，代入表達(dá)式可得答案.【小問1詳解】因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以拋物線為設(shè)切線方程為，與拋物線聯(lián)立得：，所以，所以所以切線方程為：【小問2詳解】（i）（法1）如圖，因由光學(xué)性質(zhì)可知軸，因?yàn)槿肷浣堑扔诜瓷浣?，所以，所以，所以，所以，所以拋物線方程為（法2）設(shè)切線l的方程為：與拋物線方程聯(lián)立得，由，整理，即如圖，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所似拋物線方程為（法3）點(diǎn)在第一象限，同法2，求得設(shè)直線l，PF的傾斜角分別為，計(jì)算可得：即，即，所以拋物線方程為（法4）同法2，求得，所以過原點(diǎn)與切線平行的直線為：直線PF的方程為：，解得