湖南省邵陽市新邵縣2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學試題【含答案解析】

2024年下期高二期末質量檢測數(shù)學試題卷考生注意：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分，本試卷共19題，滿分150分，考試時量120分鐘.2．答題前，先將自己的姓名，準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.3．選擇題的做題：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城無效.4．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)無效.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1.設，空間向量，且，則（）A. B.1 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行公式，即可求解.【詳解】由向量，可知，，即，解得，，，所以.故選：C2.直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】通過斜率求出傾斜角【詳解】整理得,直線斜率為，，所以傾斜角為.故選：A3.圓與圓相交于兩點，則線段的垂直平分線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系可知，所求直線為兩圓的圓心所在直線.【詳解】線段的垂直平分線為圓心連線，由圓的方程可知，，，,所以直線的方程為，化簡為.故選：B4.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A.12或3 B.1或 C.12 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到方程組，解出后進一步計算即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，則，化為，解得或，則或，故選：A.5.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程的概念求解即可.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，解得，即.故選：C.6.若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A. B.，C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量共面的充要條件可證明A，B，C三個選項中的向量均為共面向量，利用反證法可證明D中的向量不共面即可求解.【詳解】因為，所以共面，故A不正確；因為，所以共面，故B不正確；因為，所以共面，故C不正確；若共面，則，則為共面向量，此時與為空間的一組基底矛盾，故不共面.故D正確.故選：D7.若直線圓相切，則原點到直線距離的最大值為（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】原點在圓上，到切線的最大距離等于圓的直徑.【詳解】圓，即，圓心坐標，半徑為1，直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑1，原點在圓上，所以原點到直線距離的最大值為.故選：B8.如圖，已知雙曲線的左焦點為，右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合雙曲線定義可得、，借助向量模長與數(shù)量積的關系可得與、有關齊次式，即可得離心率.【詳解】由雙曲線定義可知，，又，關于原點對稱，故，，故，，又，故、，有，故，即有，即有，故.故選：D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分）9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，,則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，得到則且，結合等差數(shù)列的性質，以及等差數(shù)列的求和公式，逐項判定，即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，由成立，當時，可得，則；當時，可得，則，所以，等差數(shù)列的公差，因為，所以，又由，所以，所以由，因為，所以，所以ABC正確，D不正確.故選：ABC.10.正方形的邊長為2，點分別是的中點，如圖所示，將正方形沿折起，使得平面與平面垂直，則（）A.B.異面直線與的所成角為C.與平面的所成角的正切值為D.三棱錐和的體積分別為，，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)余弦定理判斷A，根據(jù)異面直線所成角的定義求出角判斷B，根據(jù)線面角定義求出角判斷C，根據(jù)棱錐體積公式判斷D.詳解】連接，如圖，因為，平面與平面垂直，且交線為，平面，所以平面，又平面，所以，又是在平面上的射影，所以為與平面的所成角，因為，所以在中，，故C正確；易知，，由余弦定理可得，由，所以，故A正確；因為，所以即為異面直線所成的角，由，所以，即，在中，，故，故B錯誤；設因為，，故，因為三棱錐和的高都為,所以，故D正確.故選：ACD11.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產(chǎn)生了無窮的魅力．設拋物線（），弦過焦點，為其阿基米德三角形，則下列結論一定成立的是（）A.點在拋物線（）的準線上B.存在點，使得C.D.面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】設，聯(lián)立直線和拋物線，利用韋達定理得到，設出過和過的切線方程，利用已知得到，，即可判斷選項A，再由結合相似，即可判斷選項C，再由向量間的轉化和運算即可判斷選項B，結合特殊情況即可判斷選項D.【詳解】設，設直線：，聯(lián)立得，則，設過點的切線為，聯(lián)立得，由，可得，同理可得過點的切線斜率為，所以處切線方程分別為，聯(lián)立可得，故A正確；又即，，所以，，所以，，即，C正確；又，所以，，所以，B錯；由上述知，，又因為直線斜率為，所以，設準線與軸的交點為，則面積，當軸時，最短（最短為），也最短（最短為），此時面積取最小值，D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：涉及方法有：（1）直線與拋物線相切問題；（2）焦點弦問題的計算能力；（3）數(shù)形結合思想.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.經(jīng)過點，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程是_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得雙曲線的方程為，將點代入方程，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，所求雙曲線為等軸雙曲線，可得雙曲線的方程為，因為所求雙曲線過點，可得，解得，所以，所求雙曲線的方程為.故答案為：.13.已知正方體的棱長為1，與平面的交點為，則______．【答案】1【解析】【分析】由題意首先得而，三點共線，故只需分別求出即可.【詳解】由題意以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為正方體棱長為1，所以，，所以，所以，又因為面，所以面，又因為面，所以，由正方體的性質容易得到，而在直角三角形中，有，所以由等面積法有，所以，，所以.故答案：1.14.設等差數(shù)列{}的各項均為整數(shù)，首項，且對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則這樣的數(shù)列{}的個數(shù)為______.【答案】3【解析】【分析】由條件知，得到，又由等差數(shù)列的求和公式，求得，得出為等差數(shù)列中的項，進而利用為整數(shù)，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由條件知(是某個正整數(shù))，則，即，因此必有，且，而對任意正整數(shù)，可得，即的表示式滿足等差數(shù)列的通項公式的結構，又為一奇一偶，即為整數(shù)，所以為等差數(shù)列中的項，因為等差數(shù)列{}的各項均為整數(shù)，所以只要且）為整數(shù)，那么就是中的一項，易知：可取，即，對應可得到3個滿足條件的等差數(shù)列.故答案為:3.【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是把等差數(shù)列的前項和公式轉化為等差數(shù)列的通項公式形式，以及合理應用整除的性質求解，著重考查了分析問題和轉化化歸的能力.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知圓的方程為．（1）求過點且與圓相切的直線的方程；（2）直線過點，且與圓交于兩點，當是等腰直角三角形時，求直線的方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）斜率不存在時顯然相切，斜率存在時，設出直線的點斜式方程，由圓心到直線距離等于半徑求出，進而得解；（2）設出直線的點斜式方程，由幾何關系得圓心到直線距離為，進而得解.小問1詳解】當直線斜率不存在時，顯然與相切；當直線斜率存在時，可設，由幾何關系可得，解得，故，即，故過點且與圓相切的直線的方程為或；【小問2詳解】設，可設中點為，因為是等腰直角三角形，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.16.三棱臺的底面是正三角形，平面，，，，E是的中點，平面交平面于直線l．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由三棱臺的性質得到//，再利用線面平行的判定定理和性質定理進行證明；（2）在平面內作，建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，再利用線面角的向量公式進行求解.【小問1詳解】在三棱臺中，//，又平面，平面，則//平面，又平面，平面平面，所以//.【小問2詳解】因為平面，在平面內作，以為原點，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求；（3）設，數(shù)列的前項和為，且對一切成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）結合題意，利用累加法即可求得答案；（2）由（1）可得的通項公式，利用裂項求和法，即可得答案；（3）由（1）可得的表達式，利用裂項求和法求出的表達式，確定的范圍，結合對一切成立，解不等式即可得答案.【小問1詳解】由題意知，，故，即，也適合該式，故；【小問2詳解】由（1）知所以；【小問3詳解】由（1）可得，據(jù)題意，即對一切恒成立，而，所以.18.已知圓：，點，點是圓A上任意一點.線段的垂直平分線和半徑相交于點，與圓A交于，兩點，則當點在圓A上運動時，（1）求點的軌跡方程；（2）證明：直線是點軌跡的切線；（3）求面積的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設得到，結合橢圓定義寫出軌跡方程即可.（2）設求出直線l的方程，然后與橢圓聯(lián)立消元，通過判別式等于零得方程有兩個相等的根即可，（3）根據(jù)面積公式列出關于的表達式，然后根據(jù)的有界性求出最值即可【小問1詳解】由線段的垂直平分線的性質可知，，故，所以點在以點A，為焦點的橢圓上，其中橢圓的長軸長為8，焦距為，短軸長，故點的軌跡方程為：.【小問2詳解】設，則有：，將代入橢圓：消去整理得，故，即所以，直線是點軌跡切線；.【小問3詳解】由（2）可知，點到直線的距離為，點A到直線的距離為，故線段，所以的面積為，當且僅當時，等號成立，所以當時，的面積的最大值為.19.已知雙曲線的中心為坐標原點，左焦點為，漸近線方程為.（1）求的方程；（2）若互相垂直的兩條直線均過點，且，直線交于兩點，直線交于兩點，分別為弦和的中點，直線交軸于點，設.①求；②記，，求.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）設雙曲線方程為，表示漸近線方程，從而得到方程組，求出、，即可求出曲線方程；（2）①首先判斷直線的斜率均存在且不為，設的方程為，，，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，即可求出點坐標，同理可得點坐標，根據(jù)、、三點共線，表示出，即可得解；②首先得到，再利用并項求和法及錯位相減法計算可得.【小問1詳解】依題意設雙曲線方程為，則漸近線方程，則，解得，所以的方程為；【小問2詳解】①當直線中又一條直線的斜率為，另一條