人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊8.6.2直線與平面垂直第1課時課時評價作業(yè)（三十五）含答案

A級基礎(chǔ)鞏固1.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線l與平面α的關(guān)系是()A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直C.l在平面α內(nèi) D.不能確定解析:如圖所示,直線l和平面α相互平行,或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能.答案:D2.直線l與平面α所成的角為70°,若直線l∥m,則m與α所成的角等于()A.20° B.70° C.90° D.110°解析:因?yàn)閘∥m,所以直線l與平面α所成的角等于直線m與平面α所成的角.因?yàn)橹本€l與平面α所成的角為70°,所以直線m與平面α所成的角為70°.答案:B3.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,若PA⊥平面ABCD,則圖中共有4個直角三角形.解析:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以△PAB,△PAD都是直角三角形.因?yàn)锽C⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC為直角三角形.同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形.故共有4個直角三角形.4.如圖所示,AB是☉O的直徑,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一點(diǎn),若∠ABC=30°,PA=AB,則直線PC與平面ABC所成角的正切值為2.解析:因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即為直線PC與平面ABC所成的角.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=12AB.在Rt△PAC中,AC=12AB=12PA,所以tan∠PCA=PA5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD.求證:BD⊥平面PAC.證明:因?yàn)锽C=CD,所以△BCD為等腰三角形.因?yàn)椤螦CB=∠ACD,所以BD⊥AC.因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)锳C?平面PAC,PA?平面PAC,AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.B級能力提升6.多選題(2022·新高考全國Ⅱ卷)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ACE的體積分別為V1,V2,V3,則()V3=2V2 B.V3=V1C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1解析:如圖,連接BD交AC于O,連接OE,OF.設(shè)AB=ED=2FB=2,則AB=BC=CD=AD=2,FB=1.因?yàn)镋D⊥平面ABCD,FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD,所以V1=VE-ACD=13S△ACD×ED=13×12AD×CD×ED=13×12×2×2×2=43,V2=VF-ABC=13S△ABC×FB=13×12AB×BC×FB=13×因?yàn)镋D⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以ED⊥AC,又AC⊥BD,且ED∩BD=D,ED,BD?平面BDEF,所以AC⊥平面BDEF.因?yàn)镺E,OF?平面BDEF,所以AC⊥OE,AC⊥OF.易知AC=BD=2AB=22,OB=OD=12BD=2,OF=OB2+FB2=3,OE=OD2+ED2=6,EF=BD2+(ED-FB)2=(22)2+(2-1)2=3,所以EF2=OE2+OF2,所以O(shè)F⊥OE,又OE∩AC=O,OE,AC?平面ACE,所以O(shè)F⊥平面ACE,所以V3=VF-ACE=13S△ACE·OF=13×12AC×OE×OF=13答案:CD7.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD,DA和兩條對角線AC,BD都相等,若E為AD的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),則直線BE和平面ADF所成的角的正弦值為33解析:如圖所示,連接EF.根據(jù)題意知BC⊥AF,BC⊥DF.因?yàn)锳F?平面ADF,DF?平面ADF,AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,所以∠BEF是直線BE和平面ADF所成的角.設(shè)BC=2,則BF=1,BE=3,所以sin∠BEF=13=38.(2024·廣東云浮期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥DC,BC=CD=12AD,E為AD的中點(diǎn)(1)證明:BD⊥平面PAB.(2)若PA=AD,求直線PE與平面PAB所成角的正切值.(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.如圖,連接BE,EC,因?yàn)锽C∥DE,且BC=DE,所以四邊形BCDE為平行四邊形.又DE⊥CD,BC=CD,所以平行四邊形BCDE為正方形,則BD⊥EC.又AB∥EC,所以BD⊥AB.又PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BD⊥平面PAB.(2)解:如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接EF,PF,因?yàn)镋,F分別為AD,AB的中點(diǎn),所以EF∥BD,由(1)知BD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,則∠EPF就是直線PE與平面PAB所成的角,設(shè)PA=AD=2,則BC=CD=12AD=1,所以BD=2,EF=22.在Rt△ABE中,AB=AE2+BE2=12+12=2,AF=22,所以PF=PC級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.探索性問題在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上移動,若點(diǎn)P總是滿足AP⊥BD1,則動點(diǎn)P滿足的條件是什么?并說明理由.解:當(dāng)點(diǎn)P在線段B1C上時,可以總是滿足AP⊥BD1.理由如下:如圖所示,連接AC,BD,AB1,B1C,B1D1.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以BB1⊥平面ABCD.因?yàn)锳C?平面ABCD,所以BB1⊥AC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BD⊥AC.因?yàn)锽D?平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD=B,所以AC⊥