高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)31.同構(gòu)攜手放縮

試卷第=page1212頁，共=sectionpages1313頁試卷第=page11頁，共=sectionpages1313頁第三十一講：同構(gòu)攜手放縮專題闡述：同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式（或不等式、方程）通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或不等式問題．當(dāng)然，用同構(gòu)法解題，除了要有同構(gòu)法的思想意識外，對觀察能力，對代數(shù)式的變形能力的要求也是比較高的．考法一：部分同構(gòu)攜手放縮法（同構(gòu)放縮需有方，切放同構(gòu)一起上）[規(guī)律方法]在學(xué)習(xí)指對數(shù)的運(yùn)算時(shí)，曾經(jīng)提到過兩個(gè)這樣的恒等式：（1）當(dāng)且時(shí)，有（2）當(dāng)且時(shí)，有再結(jié)合指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算法則可以得到下述結(jié)論（其中）（“ex”三兄弟與“”三姐妹）（3），（4），（6），再結(jié)合常用的切線不等式：，，，等可以得到更多的結(jié)論（7），．，．（8），，（9），，例1．已知，則函數(shù)的最大值為______．解析：（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）．例2．已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是______．解析：由于當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ裕?．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：（1）定義域是，①當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，取得極大值．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以解得．（2）要使恒成立，只要恒成立只要恒成立，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在第2問，由所求不等式出發(fā)，經(jīng)參變分離將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，引入函數(shù)，通過結(jié)論的放縮，巧妙地得出的最小值，進(jìn)而求出參數(shù)a的取值范圍.【針對訓(xùn)練】1．函數(shù)的最小值是______．【答案】1【分析】先利用導(dǎo)數(shù)證明在R上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合放縮法即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】令，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即在R上恒成立，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)取等號.故答案為：1.2．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，結(jié)合放縮即可得答案.【詳解】由于，，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號成立，則所以．故答案為：．3．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】通過同構(gòu)簡化函數(shù)形式，然后再轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)，畫圖確定參數(shù)范圍.【詳解】，令，，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過原點(diǎn)的切線，可知當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)即有兩個(gè)根．故答案為：.考法二：整體同構(gòu)攜手脫衣法[規(guī)律方法]在能成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型（即不等式兩邊對應(yīng)的同一個(gè)函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度，找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們就稱為整體同構(gòu)法．如，若能等價(jià)變形為，然后利用的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式（等號成立時(shí)，稱為同構(gòu)方程），簡稱同構(gòu)法．1．地位同等同構(gòu)（主要針對雙變量，合二為一泰山移）（1）為增函數(shù)（2）為減函數(shù)含有地位同等的兩個(gè)變量，或p，q等的不等式，進(jìn)行“塵化塵，土化土”式的整理，是一種常見變形，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需要預(yù)先設(shè)定兩個(gè)變量的大?。?．指對跨階同構(gòu)（主要針對單變量，左同右同取對數(shù)）（1）積型：如后面的轉(zhuǎn)化同（1）說明：在對“積型”進(jìn)行同構(gòu)時(shí)，取對數(shù)是最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知，（2）商型：（3）和差：如．3．無中生有同構(gòu)（主要針對非上型，湊好形式是關(guān)鍵）（1）后面的轉(zhuǎn)化同2（1）（2）（3）．后面的轉(zhuǎn)化同2（1）例4．已知，在區(qū)間內(nèi)任取兩實(shí)數(shù)p，q，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．解析：①當(dāng)時(shí)，即令，則∴在遞減，即∴在上恒成立∴在上恒成立∴在上恒成立∴．②當(dāng)時(shí)，同理可得出，綜上所述例5．對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為______．解析：（積型同構(gòu)）令，則，易知在上遞減，在上遞增所以，所以在上單調(diào)遞增則，由導(dǎo)數(shù)法易證，所以．例6．已知函數(shù)．（1）判斷在上的單調(diào)性；（2）若，證明：．解析：（1）令，∴在上單調(diào)遞減，∴，即∴在上單調(diào)遞減．（2）要證，即證：即證：，即證：令，即證：由（1），在上單調(diào)遞減，即證：令，∴在上單調(diào)遞增，∴∴，即．【點(diǎn)睛】本題利用分析法將所證不等式轉(zhuǎn)化為，通過同構(gòu)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助（1）問中在上單調(diào)遞減，將命題轉(zhuǎn)證為，簡化所證命題.【針對訓(xùn)練】4．已知不等式，對恒成立，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】由題意可得，，即，構(gòu)造函數(shù)，由其在上為增函數(shù)，，則，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】因?yàn)椋瑢愠闪?，所以，，所以，所以，所以，令，則因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，所以，所以，所以a的取值范圍是故答案為：5．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，令，則問題等價(jià)于，即，再由，即可得到，即可得到參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：，，令，顯然為增函數(shù)，則原命題等價(jià)于，又令，則，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故選：B6．已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用同構(gòu)變形得到，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進(jìn)行求解，最終求得實(shí)數(shù)a的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，即，?gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C【點(diǎn)睛】同構(gòu)法針對與不等式或者等式中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)時(shí)，要將兩邊變形得到結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.【強(qiáng)化訓(xùn)練】7．函數(shù)的最小值為______．【答案】1【分析】先證明出成立，對原函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)構(gòu)造后直接求解.【詳解】記.因?yàn)?令，解得：；令，解得：；所以在上單減，在上單增，所以.所以，即.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．記.因?yàn)樵谏蠁卧?，在上單增，所以在上單?又，，所以有且只有一個(gè)實(shí)根.而存在唯一一個(gè)使得.即存在唯一一個(gè)使得.所以函數(shù)的最小值為1.故答案為：18．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，結(jié)合放縮即可得答案.【詳解】由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號成立則所以．故答案為：．9．已知a，b分別滿足，，則ab＝______．【答案】【分析】同構(gòu)化處理，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性確定答案．【詳解】，且，令，，該函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，即，則．故答案為：.10．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則_______．【答案】2【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義可得，整理可得，根據(jù)此時(shí)可得成立，代入化簡即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，整理可得，可得當(dāng)，即成立，又，代入可得.故答案為：.11．已知函數(shù)，若對任意正數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【分析】令，進(jìn)而原題等價(jià)于在單調(diào)遞增，從而轉(zhuǎn)化為，在上恒成立，參變分離即可求出結(jié)果.【詳解】由得，令，∴∴在單調(diào)遞增，又∵∴，在上恒成立，即令，則∴在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋啵蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．12．設(shè)實(shí)數(shù)，若對于任意，不等式恒成立，則的最小值為__________．【答案】【分析】將給定的不等式作等價(jià)變形，按分段討論，并借助導(dǎo)數(shù)求出最值作答.【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，而，即恒成立，因此，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：不等式恒成立問題，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值是解答的關(guān)鍵.13．已知，不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先不等式變形為，，不等式等價(jià)于，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得對任意恒成立，再利用參變分離恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.【詳解】不等式變形為，即，設(shè)，則不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于對任意恒成立，，則在上單調(diào)遞增，，即對任意恒成立，恒成立，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，取得最小值，，即，的最小值是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式恒成立的綜合問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)是不等式的變形，并能構(gòu)造函數(shù)并轉(zhuǎn)化為對任意恒成立.14．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析，易得恒成立