2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市部分學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊4.1，4.2．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的斜率為（）A.不存在 B.0 C. D.【答案】A【解析】，即，則其斜率不存在，故選：A．2.在空間四邊形PABC中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A.3.已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項【答案】B【解析】數(shù)列，即數(shù)列，由數(shù)列的前幾項觀察歸納，知被開方數(shù)是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以通項公式，令，解得.故選：B.4.兩平行直線之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】由題意即為直線，所以兩平行直線之間的距離為．故選：C5.已知拋物線的焦點為F，點為拋物線C上一點，若，則（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】由拋物線定義可得，即，所以．故選：B.6.如圖，長為a（a是正常數(shù)）的線段AB的兩個端點A，B分別在互相垂直的兩條直線上滑動，點M是線段AB上靠近A的三等分點，則下列說法正確的為（）A.點M的軌跡是圓 B.點M的軌跡是橢圓且離心率為C.點M的軌跡是橢圓且離心率大小與a有關(guān) D.點M的軌跡不能確定【答案】B【解析】設(shè)Mx,y，由于點M是線段AB上靠近A設(shè)，，則，即，故，由，故，即，整理得到，點M的軌跡是焦點在橫軸上的橢圓，故離心率為.故選：B7.如圖，的半徑等于2，弦平行于x軸，將劣弧沿弦對稱，恰好經(jīng)過原點O，此時直線與這兩段弧有4個交點，則m的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為圓的劣弧關(guān)于弦對稱的圖形恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以，，如圖所示，當(dāng)直線過時，將代入中，故，解得，由對稱性可知，圓弧對應(yīng)的圓的圓心在軸上，設(shè)為，則，即，解得，且劣弧對應(yīng)的圓的半徑為2，故劣弧對應(yīng)的圓方程為，當(dāng)直線與劣弧相切時，由，解得舍），結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，直線與兩段弧有4個交點，可排除B、D，由，可排除A，由，故的取值可能是．故選：C．8.在正四棱柱中，，點E在線段上，且，點F為BD中點，則點到直線的距離（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，則，所以點到直線的距離為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)等差數(shù)列的前項和為．若，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，．故選：BD.10.如圖，拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上一點P（點P在第一象限）作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為H，為邊長為8的等邊三角形．則（）A. B.C.點P坐標(biāo)為 D.點P的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由題意可得：拋物線C的焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點為Q，在中，則，，可得，解得，故A錯誤，B正確；∵，則點P橫坐標(biāo)為，且點P在第一象限，故點P的坐標(biāo)為，故C錯誤，D正確．故選：BD.11.已知雙曲線C：，則（）A.雙曲線C也叫等軸雙曲線B.雙曲線C的一個焦點F到一條漸近線的距離為C.若過原點的直線l與雙曲線C相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為D.直線l過雙曲線C的右焦點F，且直線l與雙曲線的一條漸近線平行，直線l與雙曲線C相交于點A，與雙曲線C的另一條漸近線相交點于B，則點A是線段BF的中點【答案】ACD【解析】對于A，由雙曲線C：，可得，則，可知A正確；對于B，由雙曲線C的漸近線方程為，右焦點的坐標(biāo)為，可求得焦點F到直線的距離為，故B錯誤；對于C，由雙曲線C的漸近線方程為，若直線l與雙曲線相交，只需要直線l的斜率，則，可求得直線l的傾斜角的取值范圍為，故C正確；對于D，如下圖，由雙曲線C的漸近線方程為，直線與雙曲線的一條漸近線平行，設(shè)，可知△OBF為等腰直角三角形，，可知點B的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，解得，點A的橫坐標(biāo)為，由中點坐標(biāo)公式，，可知點A為線段BF的中點，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標(biāo)系中，圓被直線截得的弦長2，則實數(shù)的值為___________.【答案】【解析】因為，所以圓心到直線的距離，所以，解得.故答案為：13.設(shè)兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則______．【答案】【解析】由題意可得．故答案為：14.已知橢圓的左，右焦點分別為，過且傾斜角為的直線l與C交于P，Q兩點（點P在第一象限），若，則C的離心率是________．【答案】【解析】如圖，連結(jié)，設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，因此，而，則，即，所以C的離心率．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且．（1）求通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，求的最小值及取得最小值時的值．解：（1）設(shè)的公差為，則解得所以；（2），所以當(dāng)或時，取得最小值，最小值為．16.已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點在圓上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓C的圓心在直線上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，又圓的半徑為2，點在圓上，有，解得（舍去）或，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時，直線與圓相切；②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，整理為，由題知，解得，可得切線方程為，整理為，由①②知，過點且與圓相切的直線方程為或.17.已知拋物線C：y2=2pxp>0（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）過該拋物線的焦點，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度．解：（1）∵y2=2pxp>0∴，解得，∴拋物線C：，準(zhǔn)線方程為；（2）由（1）知，拋物線焦點為1,0，設(shè)直線AB：，，，由，得：，則，則．18.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點，，.（1）證明:平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.解：（1）連接，，則，在中，因為，則，因為，，所以，，所以，則，又，、平面，所以平面（2）因為，為的中點，則，又平面，以為原點，以、、方向為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0、、、、P0,0,1，所以，，，，，，，，設(shè)平面法向量為m=x1,令，即，設(shè)平面法向量為n=x2,y2,z設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，所以．19.已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標(biāo)原點）.解：（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，當(dāng)軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點，點，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當(dāng)最大時，的面積最大.因為，而，所以當(dāng)時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.河北省邯鄲市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊4.1，4.2．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的斜率為（）A.不存在 B.0 C. D.【答案】A【解析】，即，則其斜率不存在，故選：A．2.在空間四邊形PABC中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A.3.已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項【答案】B【解析】數(shù)列，即數(shù)列，由數(shù)列的前幾項觀察歸納，知被開方數(shù)是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以通項公式，令，解得.故選：B.4.兩平行直線之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】由題意即為直線，所以兩平行直線之間的距離為．故選：C5.已知拋物線的焦點為F，點為拋物線C上一點，若，則（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】由拋物線定義可得，即，所以．故選：B.6.如圖，長為a（a是正常數(shù)）的線段AB的兩個端點A，B分別在互相垂直的兩條直線上滑動，點M是線段AB上靠近A的三等分點，則下列說法正確的為（）A.點M的軌跡是圓 B.點M的軌跡是橢圓且離心率為C.點M的軌跡是橢圓且離心率大小與a有關(guān) D.點M的軌跡不能確定【答案】B【解析】設(shè)Mx,y，由于點M是線段AB上靠近A設(shè)，，則，即，故，由，故，即，整理得到，點M的軌跡是焦點在橫軸上的橢圓，故離心率為.故選：B7.如圖，的半徑等于2，弦平行于x軸，將劣弧沿弦對稱，恰好經(jīng)過原點O，此時直線與這兩段弧有4個交點，則m的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為圓的劣弧關(guān)于弦對稱的圖形恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以，，如圖所示，當(dāng)直線過時，將代入中，故，解得，由對稱性可知，圓弧對應(yīng)的圓的圓心在軸上，設(shè)為，則，即，解得，且劣弧對應(yīng)的圓的半徑為2，故劣弧對應(yīng)的圓方程為，當(dāng)直線與劣弧相切時，由，解得舍），結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，直線與兩段弧有4個交點，可排除B、D，由，可排除A，由，故的取值可能是．故選：C．8.在正四棱柱中，，點E在線段上，且，點F為BD中點，則點到直線的距離（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，則，所以點到直線的距離為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)等差數(shù)列的前項和為．若，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，．故選：BD.10.如圖，拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上一點P（點P在第一象限）作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為H，為邊長為8的等邊三角形．則（）A. B.C.點P坐標(biāo)為 D.點P的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由題意可得：拋物線C的焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點為Q，在中，則，，可得，解得，故A錯誤，B正確；∵，則點P橫坐標(biāo)為，且點P在第一象限，故點P的坐標(biāo)為，故C錯誤，D正確．故選：BD.11.已知雙曲線C：，則（）A.雙曲線C也叫等軸雙曲線B.雙曲線C的一個焦點F到一條漸近線的距離為C.若過原點的直線l與雙曲線C相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為D.直線l過雙曲線C的右焦點F，且直線l與雙曲線的一條漸近線平行，直線l與雙曲線C相交于點A，與雙曲線C的另一條漸近線相交點于B，則點A是線段BF的中點【答案】ACD【解析】對于A，由雙曲線C：，可得，則，可知A正確；對于B，由雙曲線C的漸近線方程為，右焦點的坐標(biāo)為，可求得焦點F到直線的距離為，故B錯誤；對于C，由雙曲線C的漸近線方程為，若直線l與雙曲線相交，只需要直線l的斜率，則，可求得直線l的傾斜角的取值范圍為，故C正確；對于D，如下圖，由雙曲線C的漸近線方程為，直線與雙曲線的一條漸近線平行，設(shè)，可知△OBF為等腰直角三角形，，可知點B的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，解得，點A的橫坐標(biāo)為，由中點坐標(biāo)公式，，可知點A為線段BF的中點，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標(biāo)系中，圓被直線截得的弦長2，則實數(shù)的值為___________.【答案】【解析】因為，所以圓心到直線的距離，所以，解得.故答案為：13.設(shè)兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則______．【答案】【解析】由題意可得．故答案為：14.已知橢圓的左，右焦點分別為，過且傾斜角為的直線l與C交于P，Q兩點（點P在第一象限），若，則C的離心率是________．【答案】【解析】如圖，連結(jié)，設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，因此，而，則，即，所以C的離心率．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且．（1）求通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，求的最小值及取得最小值時的值．解：（1）設(shè)的公差為，則解得所以；（2），所以當(dāng)或時，取得最小值，最小值為．16.已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點在圓上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓C的圓心在直線上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，又圓的半徑為2，點在圓上，有，解得（舍去）或，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時，直線與圓相切；②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，整理為，由題知，解得，可得切線方程為，整理為，由①②知，過點且與圓相切的直線方程為或.17