高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第13講811向量數(shù)量積的概念

8.1.1向量數(shù)量積的概念TOC\o"13"\h\u題型1平面向量數(shù)量積的定義及辨析 ③當(dāng)θ＝90°時，則稱向量a與b__垂直__，記作a⊥b.<a，b>＝<b，a>，規(guī)定_零向量___與任一向量平行．2.范圍：向量夾角的范圍是：[0，π]．知識點二．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積知識點三.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).（4）cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).（5）|a·b|≤|a||b|.知識點四.投影與投影向量1.投影向量設(shè)a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|·cosθe．2.投影定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積題型1平面向量數(shù)量積的定義及辨析【方法總結(jié)】兩個向量的數(shù)量積是兩向量之間一種新的乘法，與實數(shù)的乘法是有區(qū)別的，注意區(qū)分以下幾點:(1)兩個向量的數(shù)量積是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定。(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，應(yīng)寫成a·b，不能寫成a×b(兩向量的外積)，它與代數(shù)中數(shù)a，b的乘積ab(或a·b)是不同的.(3)在實數(shù)中，若a≠0，且ab=0，則b=0，但是在數(shù)量積中，當(dāng)a≠0時，由ab=0不能推出b一定是零向量。因為其中cosθ有可能為0，即對任一與a垂直的非零向量b，都有ab=0【例題1】（2021春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）若a→A．a(chǎn)→=b→ B．a(chǎn)→?【答案】D【分析】根據(jù)單位向量模相等，方向任意依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，單位向量a→對于B選項，a→對于C選項，a→對于D選項，兩個單位向量a→,b故選：D【變式11】1．（多選）（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)校考期中）下列關(guān)于平面向量a，b，c的運算，一定成立的有（）A．a(chǎn)+b?cC．a(chǎn)?b≤【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律判斷即可；【詳解】解：對于A：根據(jù)平面向量數(shù)量積的分配律可知(a對于B：由數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，則(a?ba?(b?c)表示與a對于C：設(shè)a與b的夾角為θ，則a?b=|所以?|a對于D：|a?b|由C知?2|a|?|b即(|a|?|b故選：ACD【變式11】2．（多選）（2022春·江蘇蘇州·高一吳縣中學(xué)?？计谥校τ谌我庀蛄縜，b，c，下列命題中不正確的是（

）A．若a?b=0，則a與b中至少有一個為0 B．若C．向量a與向量b夾角的范圍是[0,π) 【答案】AC【分析】根據(jù)互相垂直的平面向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A，當(dāng)a,b為非零向量，且a⊥B，若a⊥b，則C，向量a與向量b夾角的范圍是0,π，所以C選項錯誤.D，b?故選：AC【變式11】3.（多選）（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省沙溪高級中學(xué)?？计谥校┮阎铝忻}中，正確的是（

）A．若a?b=0，則B．若k∈R，且kb=C．bD．若a與b平行，則a【答案】BC【分析】對于A，a與b還可能垂直；對于D，當(dāng)a與b同反時，a?【詳解】對于A，若a?b=0，則a=0對于B，若k∈R，且kb=0對于C，b?ca對于D，當(dāng)a與b同向時，a?b=|a|?|b|故選：BC【變式11】4．（2022春·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABCA．AB與BC的夾角是銳角 B．AC與BA的夾角是銳角C．AC與BC的夾角是銳角 D．AC與BC的夾角是鈍角【答案】C【分析】作出圖形，結(jié)合向量夾角的定義可得出合適的選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，AB與BC的夾角為π?∠對于B選項，AC與BA的夾角為π?∠對于CD選項，AC與BC的夾角等于∠ACB故選：C.【變式11】5.給出下列結(jié)論：①，，則；②若，則；③若，則或；④，則或；⑤；⑥..其中正確結(jié)論的序號是________________.（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】③⑥【解析】因為兩個非零向量，垂直時，，故①不正確；當(dāng)時，，但不能得出，故②不正確；③顯然正確；若，則，故④不正確；向量與共線，與共線，故⑤不正確；⑥正確，.題型2向量的數(shù)量積【方法總結(jié)】求平面向量數(shù)量積的步驟(1)求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；(2)分別求|a|和|b|；(3)求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ，要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省去．【例題21】已知|a|＝2，|b|＝5.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a⊥b，求a·b；(3)若a、b夾角為60°，求a·b.【解析】(1)當(dāng)a∥b時，若a、b同向，則它們的夾角為0°，所以a·b＝|a|·|b|cos0°＝10；若a、b反向，則它們的夾角為180°.所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝－10.(2)當(dāng)a⊥b時，夾角為90°，所以a·b＝|a|·|b|·cos90°＝0.(3)當(dāng)a、b夾角為60°時，a·b＝|a|·|b|cos60°＝5.【變式21】1.（2021春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，|AB|=4，|AD(1)AD?(2)AB?(3)AB?(4)AD?【答案】(1)9(2)?16(3)6(4)?6【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，利用向量相等或相反的定義，根據(jù)數(shù)量積公式，即可計算各題中的數(shù)量積．(1)解：平行四邊形ABCD中，|AB|=4，|AD∵AD=BC，∴(2)解：∵AB=?CD，∴(3)解：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義知，AB?(4)解：由CD=?AB，∴【變式21】2．（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省震澤中學(xué)期中）在△ABC中，∠B=60°,AB=6,BC=5，則ABA．30 B．?30 C．?15 D．15【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，準確運算，即可求解.【詳解】在△ABC中，∠可得AB?故選：C.題型3向量的投影【方法總結(jié)】求投影的兩種方法：(1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ為a，b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cosθ.(2)b在a方向上的投影為eq\f(a·b,|a|)，a在b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|).【例題3】（2022秋·江蘇鹽城·高一濱?？h五汛中學(xué)校考階段練習(xí)）a=2，b=4，向量a與b向量的夾角為60°，則向量a在向量A．?3 B．?2 C．1 D．?1【答案】C【分析】根據(jù)投影的定義式直接求得即可.【詳解】向量a在向量b方向上的投影等于acos故選：C.【變式31】1.（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b的夾角為60°，且|a|=2，|aA．32 B．32 C．1【答案】B【分析】由已知及向量數(shù)量積的運算律可得|b|2?|b|?6=0，求出向量b的模，再由向量【詳解】由題設(shè)，|a?2b所以|b|2?|b綜上，向量b在a方向上的投影向量的模為|b故選：B【變式31】2.（2021春·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）已知a=1,b=2,且aA．?22b B．22b 【答案】D【分析】利用向量的垂直關(guān)系?向量的夾角公式、投影向量的公式即可求解.【詳解】因為a=1,b=所以a?解得：a?設(shè)a與b的夾角為θ，則a?b=所以向量a在b方向上的投影向量為a故選：D.【變式31】3.（2021·高一課時練習(xí)）已知非零a在非零b方向上的投影是m，m∈R，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)在kbB．a(chǎn)在kbC．a(chǎn)在kbD．a(chǎn)在kb【答案】D【分析】根據(jù)題意即可得出a?b|b|=m，然后可得出|kb【詳解】解：∵a在b方向上的投影是m，∴a?∵|kb|=|∴a在kb(k≠0)方向上的投影為ka?b|故選：D.【變式31】4.（2022春·江蘇揚州·高一揚州中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC外接圓圓心為O，半徑為1，2AO=AB+AC，且A．34BC B．34BC C．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可知△ABC為直角三角形，向量AB在向量BC上的投影向量為ABcos【詳解】由2AO=AB+AC又O為△ABC外接圓圓心，∴OA=∴AB∵3OA=AB，∴AB在向量BC上的投影為：ABcos∴向量AB在向量BC上的投影向量為：?3故選：D．【變式31】5.（2021·高一課時練習(xí)）在直角三角形ABC中，AB=4，AC=3，M是斜邊BC的中點，則向量A．1 B．?1 C．710 D．【答案】D【分析】向量AM在向量BC方向上的投影是AMcos∠AMH,在直角三角形中求出AB=5【詳解】如圖：向量AM在