浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

2024學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題：每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.將化為弧度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用角度制與弧度制的互化關(guān)系求解.【詳解】.故選：A.2.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，由誘導(dǎo)公式得到答案.【詳解】由三角函數(shù)定義知，，.故選：C3.已知向量滿足，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律和投影向量公式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄繚M足，所以，解得，所以在方向上的投影向量是，故選：D4.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)伸縮變換與平移變換的性質(zhì)往回推導(dǎo)即可得.【詳解】由題意可得，將函數(shù)橫坐標(biāo)變?yōu)榈皆瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得，再將其向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即，即.故選：B.5.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】分別畫出，圖象，求兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得.【詳解】令，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出兩函數(shù)圖象如圖所示：由圖可得與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.6.在內(nèi)函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)和對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零即可求解.【詳解】對(duì)于，有，由，得，解得，又，得；由，得，解得，又，得或或；綜上，或，所以的定義域?yàn)?，故選：.7.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】以的內(nèi)切圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求出最小值.【詳解】正的邊長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑，以正的中心為原點(diǎn)，邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，而，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1.故選：B8.已知且，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】將寫成，寫成，利用兩角和與差正弦公式展開(kāi)得到，再利用結(jié)合基本不等式求得其最大值.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：A.二?多選題：本題共3小題：每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.已知平面向量，下列說(shuō)法不正確的有（）A.若，，則B.C.D.若，則【答案】AB【解析】【分析】由時(shí)不成立可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)量積的概念可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)可得選項(xiàng)C正確；根據(jù)得，化簡(jiǎn)可得選項(xiàng)D正確.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，滿足，，但不一定成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.設(shè)，則，與關(guān)系不確定，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.，選項(xiàng)C正確.D.由得，，即，∴，即，選項(xiàng)D正確.故選：AB.10.已知函數(shù)，則（）A.曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為B.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增C.函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用三角恒等變換得到，從而得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出，數(shù)形結(jié)合得到B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，令，即，時(shí)，，求出時(shí)，，故函數(shù)內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，，故一個(gè)對(duì)稱中心為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，B正確；C選項(xiàng)，，由于為偶函數(shù)，故為偶函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，令，即，，時(shí)，，故當(dāng)，即時(shí)，，故函數(shù)在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：BCD11.已知，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.C.D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，扇形的半徑為1，則弧長(zhǎng)，利用面積法證明，進(jìn)而可得，可判斷A，得到在上為減函數(shù)，可判斷B，由已知可得，利用利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用二倍角的正弦可得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】設(shè)，扇形的半徑為1，則弧長(zhǎng)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，由圖形可得，由題意的邊上的高為，所以，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，又，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋稍谏暇鶆蛟黾樱谏显黾铀俣仁怯煽熳兟?，所以可得在上為減函數(shù)，又，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由，則，且，又，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可得，又，則，所以，所以，又在是減函數(shù)，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用圖形證明，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論成立.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為，面積為，則此扇形的圓心角為_(kāi)_________.（用弧度制表示）【答案】##【解析】【分析】借助扇形周長(zhǎng)公式與扇形面積公式計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，解得，即此扇形的圓心角為.故答案為：.13.設(shè)是平面內(nèi)不共線的一組基底，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】借助向量線性運(yùn)算可得、，再利用向量共線定理計(jì)算即可得.【詳解】，，由三點(diǎn)共線，則有，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)，其中，在上有6個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由給定區(qū)間求出相位所在的范圍，再由函數(shù)的零點(diǎn)表達(dá)式，結(jié)合6個(gè)零點(diǎn)列出不等式組，借助不等式組有解求出范圍.【詳解】由，得，由，得，由在上有6個(gè)零點(diǎn)，得，解得，由，解得，無(wú)整數(shù)解；由，解得，而，因此；由，解得，而，因此或；由，解得，而，因此，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，所以的范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求出相位范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的零點(diǎn)表達(dá)式及零點(diǎn)個(gè)數(shù)列出不等式組，再由不等式組確定整數(shù)的取值進(jìn)而求出范圍.四?解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)，在線段上，滿足，設(shè).（1）用表示向量；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用線性運(yùn)算和平面向量的基本定理求解；（2）用表示向量，再利用數(shù)量積的運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】解：，，；【小問(wèn)2詳解】，，又，所以，，所以.16.已知.（1）分別求和的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先判斷，，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求和的值；（2）結(jié)合（1），利用兩角和的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求的值【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗?，又因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樗?，又因?yàn)?，所以，則，【小問(wèn)2詳解】即，可得17.已知函數(shù).（1）若是三角形中一內(nèi)角，且，求的值；（2）若函數(shù)在，有唯一零點(diǎn)，求的范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)差角公式、倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用題目條件及三角形內(nèi)角的范圍可得結(jié)果.（2）根據(jù)條件可得，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有唯一交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，∴，∴，∵，∴，∴，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，由得，令，由得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有唯一交點(diǎn)，作出在上的函數(shù)圖象，∵，，∴或，解得或.∴的范圍是或.18.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，（1）求的解析式；（2）已知在值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?；?）將圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為到原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變），再將所得到圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象.已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求的值.（用表示）【答案】（1）（2）（3）①；②【解析】【分析】（1）由圖象可得出函數(shù)的周期，可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合，，利用余弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)列式求解即可；（3）①先將化簡(jiǎn)，然后結(jié)合該函數(shù)在的單調(diào)性、最值情況構(gòu)造不等式求出的范圍；②可先根據(jù)兩根關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱求出的關(guān)系，然后代入利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值．【小問(wèn)1詳解】由圖象可知，，所以，則，所以，因?yàn)榧?，因?yàn)?，則，所以，解得，因此；【小問(wèn)2詳解】，，由題意在的值域?yàn)?，結(jié)合題干圖象知，解得；【小問(wèn)3詳解】①將圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為到原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變），再將所得到圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則，其中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以是函?shù)一個(gè)周期的區(qū)間．所以若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，只需，即即為所求．②令，因?yàn)橛诘姆匠淘趦?nèi)有兩個(gè)不同的解，所以滿足，即，，又的對(duì)稱軸由，結(jié)合得對(duì)稱軸為，可知，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以，所以或．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．故．19.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正，余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).（1）已知，求；（2）類比正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫出雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)）的一個(gè)正確的結(jié)論（即求或）并證明；（3）已知，對(duì)任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2），，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)和的計(jì)算公式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算法則求解即可.（2）類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，寫出雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)，證明即可．（3）設(shè)，則，時(shí)，，進(jìn)而求的取值范圍，化為，利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解，即可求出的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，所以．【小?wèn)2詳解】類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，得雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)；證明如下：；．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，可化為，由題意，只需，對(duì)任意恒成立即可，即或，所以或恒成立；，故在上的最小值是，