中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)專(zhuān)題22 解答題重點(diǎn)出題方向圓的證明與計(jì)算（解析版）

專(zhuān)題22解答題重點(diǎn)出題方向圓的證明與計(jì)算（解析版）模塊一中考真題解析1．（2022?南通）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD，CD＝22，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE．（1）求直徑BD的長(zhǎng)；（2）若BE＝52，計(jì)算圖中陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的長(zhǎng)；（2）因?yàn)锽C＝DC，所以陰影的面積等于三角形CDE的面積．解：（1）∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝22，∴BD＝22×（2）∵BE＝52，∴CE＝32，∵BC＝DC，∴S陰影＝S△CDE=12×總結(jié)提升：本題考查了圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022?呼和浩特）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：BD＝CD；（2）若tanC=12，BD＝4，求思路引領(lǐng)：（1）連接AD，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得BD＝DC＝4，BC＝8，然后在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后證明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）解：∵BD＝DC＝4，∴BC＝DB+DC＝8，在Rt△ADC中，tanC=1∴AD＝CD?tanC＝4×1∴AC=AD2∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴CECD∴CE4∴CE=16∴AE＝CE﹣AC=6∴AE的長(zhǎng)為65總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，以及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022?婁底）如圖，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG（點(diǎn)C，D，F(xiàn)共線），動(dòng)點(diǎn)A在以BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點(diǎn)O．設(shè)∠G＝θ．（1）求證：無(wú)論θ為何值，EF與BC相互平分；并請(qǐng)直接寫(xiě)出使EF⊥BC成立的θ值．（2）當(dāng)θ＝90°時(shí)，試給出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）證明四邊形DEGF是平行四邊形，可得結(jié)論；（2）當(dāng)tan∠ABC＝2時(shí)，EF垂直平分線段AC．證明OJ∥AB，可得結(jié)論．（1）證明：∵四邊形BCFG，四邊形BCDE都是菱形，∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，∵D，C，F(xiàn)共線，∴G，B，E共線，∴DF∥EG，DF＝GE，∴四邊形DEGF是平行四邊形，∴EF與BC互相平分．當(dāng)EF⊥FG時(shí)，∵GF＝BG＝BE，∴EG＝2GF，∴∠GEF＝30°，∴θ＝90°﹣30°＝60°；（2）解：當(dāng)tan∠ABC＝2時(shí)，EF垂直平分線段AC．理由：如圖（2）中，設(shè)AC交EF于點(diǎn)J．∵四邊形BCFG是菱形，∴∠G＝∠FCO＝90°，∵EF與BC互相平分，∴OC＝OB，∴CF＝BC，∴FC＝2OC，∴tan∠FOC＝tan∠ABC，∴∠ABC＝∠FOC，∴OJ∥AB，∵OC＝OB，∴CJ＝AJ，∵BC是直徑，∴∠BAC＝∠OJC＝90°，∴EF垂直平分線段AC．總結(jié)提升：本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB＝10，BE＝210，求BC的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）由角平分線的定義可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因?yàn)锳B為直徑，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．（2）連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F．因?yàn)椤螪BC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因?yàn)镺B＝OC．所以O(shè)D垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝210，可得BD＝25．因?yàn)镺B＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（25）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．（1）解：△BDE為等腰直角三角形．證明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．另解：計(jì)算∠AEB＝135°也可以得證．（2）解：連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝210，∴BD＝25．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（25）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分別延長(zhǎng)AC，BD相交于點(diǎn)G．則△ABG為等腰三角形，先計(jì)算AG＝10，BG＝45，AD＝45，再根據(jù)面積相等求得BC．總結(jié)提升：此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明△BDE是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．5．（2022?威海）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E．（1）若AB＝AC，求證：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半徑為2，求sin∠BAC．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求證；（2）連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)圓周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直角三角形即可得解．（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE；（2）解：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，則∠FBC＝90°，在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，∴sinF=BC∵∠F＝∠BAC，∴sin∠BAC=3總結(jié)提升：此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022?湖北）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)G，連接BG．（1）求證：FB2＝FE?FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）連接OE，利用平行線分線段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴AD=∴∠DBA＝∠G．∵∠EFB＝∠BFG，∴△EFB∽△BFG，∴FBFG∴FB2＝FE?FG；（2）解：連接OE，如圖，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，∴BD=AD2∴OB=12BD＝3∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，∴OE∥BC，OE＝BE=12∴OFFB∴OB?BFBF∴32∴BF＝22；∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝3，∴EC=BE2∵AE?BE＝EG?EC，∴EG=3總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，相交弦定理，靈活運(yùn)用上述定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?廣東）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB=2，AD＝1，求CD思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)圓周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，證明過(guò)程如下：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴AB=∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC=2∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD=3即CD的長(zhǎng)為：3．總結(jié)提升：本題主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022?黔東南州）（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中作出△ABC的外接圓⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)B是CE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．①求證：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC=34，求⊙思路引領(lǐng)：（1）利用尺規(guī)作圖分別作出AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓即可；（2）①連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥BD，證明OB∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明結(jié)論；②連接EC，根據(jù)圓周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根據(jù)正切的定義求出EC，根據(jù)勾股定理求出AE，得到答案．（1）解：如圖1，⊙O即為△ABC的外接圓；（2）①證明：如圖2，連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴OB⊥BD，∵點(diǎn)B是CE的中點(diǎn)，∴BC=∴∠CAB＝∠EAB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠EAB，∴∠CAB＝∠OBA，∴OB∥AD，∴BD⊥AD；②解：如圖2，連接EC，由圓周角定理得：∠AEC＝∠ABC，∵tan∠ABC=3∴tan∠AEC=3∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°，∴ACEC∵AC＝6，∴EC＝8，∴AE=A∴⊙O的半徑為5．總結(jié)提升：本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．9．（2022?淮安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB＝60°，AD經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，∠ADB＝30°．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AB＝43，求圖中陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）連接BE，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BOD＝60°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．解：（1）直線BD與⊙O相切，理由：連接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∵AB＝43，∴sin∠AEB＝sin60°=AB∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD=3OB＝43∴圖中陰影部分的面積＝S△OBD﹣S扇形BOE=12×4×4總結(jié)提升：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022?徐州）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，∠ABC＝60°，直線AD∥BC，AB＝AD，點(diǎn)O在BD上．（1）判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）由切線的判定定理，可證明；（2由弓形面積公式，可求解．解：（1）直線AD與圓O相切，連接OA，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABD＝30°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與圓O相切，（2）連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴OH=12OB＝3，BH=3OH∴BC＝2BH＝63，∴扇形OBC的面積為：nπR2360∵S△OBC=12BC?OH=12×∴陰影部分的面積為：12π﹣93．總結(jié)提升：本題考查圓的切線的判定定理，弓形面積求法，關(guān)鍵是掌握切線的判定方法，弓形面積的表示方法．11．（2022?鄂州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠PCB＝∠OAC，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若PC＝4，tanA=12，求△思路引領(lǐng)：（1）由圓周角定理得出∠ACB＝90°，進(jìn)而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OCB，結(jié)合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是⊙O的切線；（2）由tanA=12，得出BCAC=12，由△PCB∽△PAC，得出PBPC=PCPA=BCAC=解：（1）PC是⊙O的切線，理由如下：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCB＝∠OAC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半徑，∴PC是⊙O的切線；（2）在Rt△ACB中，tanA=BC∵tanA=1∴BCAC∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAC，∴PBPC∵PC＝4，∴PB＝2，PA＝8，∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，∴OC＝OB＝OA＝3，∵BC∥OD，∴PCCD=PB∴CD＝6，∵OC⊥CD，∴S△OCD=1總結(jié)提升：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，掌握?qǐng)A周角定理，切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形面積的計(jì)算公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2022?婁底）如圖，已知BD是Rt△ABC的角平分線，點(diǎn)O是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與OA相交于點(diǎn)E．（1）判定AC與⊙O的位置關(guān)系，為什么？（2）若BC＝3，CD=3①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②試用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜測(cè)sin2α與sinα、cosα的關(guān)系，并用α＝30°給予驗(yàn)證．思路引領(lǐng)：（1）連接OD，證明OD∥BC，則∠ODA＝∠C＝90°，再根據(jù)圓的切線的判定定理證明AC是⊙O的切線；（2）①根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論；②計(jì)算cos∠DBC的值，并計(jì)算2sin∠DBC?cos∠DBC的值，可得結(jié)論：sin∠ABC＝2sin∠DBC?cos∠DBC；并用α＝30°可得結(jié)論．解：（1）AC是⊙O切線，理由如下：如圖，連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切線；（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，CD=3∴BD=C∴sin∠DBC=CD如圖2，連接DE，OD，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于G，∴∠ODC＝∠C＝∠CGO＝90°，∴四邊形ODCG是矩形，∴OG＝CD=3∵BE是⊙O的直徑，∴∠BDE＝90°，∴cos∠DBE＝cos∠CBD，∴BCBD∴33∴BE=15∴OB=12BE∴sin∠ABC=OG②∵2sin∠DBC?cos∠DBC＝2×5∴sin∠ABC＝2sin∠DBC?cos∠DBC；猜想：sin2α＝2sinαcosα，理由如下：當(dāng)α＝30°時(shí)，sin2α＝sin60°=32sinαcosα＝2×1∴sin2α＝2sinαcosα．總結(jié)提升：此題重點(diǎn)考查圓的切線的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出所需要的輔助線，掌握三角函數(shù)的定義進(jìn)行解題．13．（2022?宿遷）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點(diǎn)D．（1）判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC＝90°，可得結(jié)論；（2）根據(jù)圖中陰影部分的面積＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD可得結(jié)論．解：（1）直線AC與⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴直線AC與⊙O相切；（2）連接OD，AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，∵AO＝OB，AB＝4，∴S△ABD=12?AB?OD=1∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD=12×4×4?＝8﹣2﹣π＝6﹣π．總結(jié)提升：本題考查了切線的判定，勾股定理，扇形的面積，等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵：（1）熟練掌握切線的判定；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．14．（2022?攀枝花）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦DC于點(diǎn)F，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，CP與⊙O相切于點(diǎn)C．（1）求證：∠PCB＝∠PAD；（2）若⊙O的直徑為4，弦DC平分半徑OB，求：圖中陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCB+∠OCB＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC＝∠OCB，根據(jù)圓周角定理得到∠ADF＝∠OBC，等量代換證明結(jié)論；（2）連接OD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ODF＝30°，根據(jù)三角形的面積公式得到S△CFB＝S△DFO，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得到答案．（1）證明：連接OC，∵CP與⊙O相切，∴OC⊥PC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB⊥DC，∴∠PAD+∠ADF＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，由圓周角定理得：∠ADF＝∠OBC，∴∠PCB＝∠PAD；（2）解：連接OD，在Rt△ODF中，OF=12則∠ODF＝30°，∴∠DOF＝60°，∵AB⊥DC，∴DF＝FC，∵BF＝OF，AB⊥DC，∴S△CFB＝S△DFO，∴S陰影部分＝S扇形BOD=60π×2總結(jié)提升：本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算、垂徑定理、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．15．（2022?濟(jì)南）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F．（1）求證：CA＝CD；（2）若AB＝12，求線段BF的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）連接OC，利用切線的性質(zhì)可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠COD＝60°，從而利用圓周角定理可得∠A＝30°，最后根據(jù)等角對(duì)等邊，即可解答；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，從而利用（1）的結(jié)論可得BC=12AB＝6，再利用角平分線的定義可得∠BCE＝45°，然后在Rt△（1）證明：連接OC，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，∴∠A=12∠COD＝30∴∠A＝∠D＝30°，∴CA＝CD；（2）解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，AB＝12，∴BC=12∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB＝45∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴BF＝BC?sin45°＝6×22=∴線段BF的長(zhǎng)為32．總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（2022?銅仁市）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥DE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：AB＝CB；（2）若AB＝18，sinA=13，求思路引領(lǐng)：（1）連接OD，則OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通過(guò)證明得出∠A＝∠C，結(jié)論得證；（2）連接BD，在Rt△ABD中，利用sinA=13求得線段BD的長(zhǎng)；在Rt△BDF中，利用sin∠A＝sin∠（1）證明：連接OD，如圖1，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE．∵BC⊥DE，∴OD∥BC．∴∠ODA＝∠C，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A．∴∠A＝∠C．∴AB＝BC；（2）解：連接BD，則∠ADB＝90°，如圖2，在Rt△ABD中，∵sinA=BDAB=∴BD＝6．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，∴∠A＝∠FDB．∴sin∠A＝sin∠FDB．在Rt△BDF中，∵sin∠BDF=BF∴BF＝2．由（1）知：OD∥BF，∴△EBF∽△EOD．∴BEOE=BF解得：BE=18∴EF=B總結(jié)提升：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的判定與性質(zhì)．連接過(guò)切點(diǎn)的半徑和直徑所對(duì)的圓周角是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線．17．（2022?恩施州）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線PO交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C．（1）求證：∠ADE＝∠PAE．（2）若∠ADE＝30°，求證：AE＝PE．（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）連接OA，利用切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)和等角的余角相等解答即可；（2）利用（1）的結(jié)論，直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）CE＝x，則DE＝CD+CE＝6+x，OA＝OE=6+x2，OC＝OE﹣CE=6?x2，OP＝OE（1）證明：連接OA，如圖，∵PA為⊙O的切線，∴AO⊥PA，∴∠OAE+∠PAE＝90°．∵DE是⊙O的直徑，∴∠DAE＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE；（2）證明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．∵∠AED＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝∠PAE＝30°，∴AE＝PE；（3）解：設(shè)CE＝x，則DE＝CD+CE＝6+x，∴OA＝OE=6+x∴OC＝OE﹣CE=6?xOP＝OE+PE=14+x∵PA、PB為⊙O的切線，∴PA＝PB，PO平分∠APB，∴PO⊥AB．∵PA為⊙O的切線，∴AO⊥PA，∴△OAC∽△OPA，∴OAOC∴6+x2即：x2+10x﹣24＝0．解得：x＝2或﹣12（不合題意，舍去），∴CE＝2．總結(jié)提升：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接OA是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線．18．（2022?臨沂）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線AO交⊙O于C，D兩點(diǎn)，連接BC，BD．過(guò)圓心O作BC的平行線，分別交AB的延長(zhǎng)線、⊙O及BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）連接OB，由切線的性質(zhì)得出∠E+∠BOE＝90°，由圓周角定理得出∠D+∠DCB＝90°，證出∠BOE＝∠OCB，則可得出結(jié)論；（2）求出∠BOG＝60°，由三角形面積公式及扇形的面積公式可得出答案．（1）證明：連接OB，∵AB是⊙O的切線，∴∠OBE＝90°，∴∠E+∠BOE＝90°，∵CD為⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OCB，∴∠D＝∠E；（2）解：∵F為OE的中點(diǎn)，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO=12∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°，∴∠BOG＝60°，∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°，∴OG=32，BG∴S△BOG=12OG?BG=12×32∴S陰影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG=3總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022?隨州）如圖，已知D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，BE與⊙O相切，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且BE＝DE．（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AC＝4，sinC=1①求⊙O的半徑；②求BD的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線；只要證明OD⊥CD即可；（2）①根據(jù)sinC=1②證明△CDA∽△CBD，推出ADBD=ACCD=442=解：（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線；理由：如圖，連接OD．∵EB＝ED，OB＝OD，∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB，∵BE是⊙O的切線，OB是半徑，∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°，∴∠EBD+∠OBD＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）①設(shè)OD＝OA＝r，∵OD⊥CD，∴sinC=OD∴rr+4∴r＝2，∴⊙O的半徑為2；②在Rt△COD中，CD=OC2∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠ADC+∠ODA＝90°，∴∠ADC＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CBD，∴ADBD設(shè)AD=2k，BD＝2k∵AD2+BD2＝AB2，∴（2k）2+（2k）2＝42，∴k=2∴BD＝2k=4總結(jié)提升：本題考查作切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．20．（2022?天津）已知AB為⊙O的直徑，AB＝6，C為⊙O上一點(diǎn)，連接CA，CB．（Ⅰ）如圖①，若C為AB的中點(diǎn)，求∠CAB的大小和AC的長(zhǎng)；（Ⅱ）如圖②，若AC＝2，OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求FD的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（Ⅰ）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，進(jìn)而求出∠CAB，根據(jù)余弦的定義求出AC；（Ⅱ）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DF，證明四邊形FCED為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FD＝EC，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)垂徑定理解答即可．解：（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴AC＝AB?cos∠CAB＝32；（Ⅱ）∵DF是⊙O的切線，∴OD⊥DF，∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，∴四邊形FCED為矩形，∴FD＝EC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，則BC=AB2∵OD⊥BC，∴EC=12BC＝2∴FD＝22．總結(jié)提升：本題考查的切線的性質(zhì)、垂徑定理、矩形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．21．（2022?新疆）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，AC＝CD，連接AD，延長(zhǎng)DB交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E．（1）求證：∠ABC＝∠CAD；（2）求證：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；（2）利用切線的性質(zhì)可得∠OCE＝90°，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)以及平角定義可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的結(jié)論可得∠OCB＝∠CBE，然后可證OC∥BE，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠E＝90°，即可解答；（3）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的長(zhǎng)，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠CAB＝∠CDB，進(jìn)而可證△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)，最后再利用（2）的結(jié)論可證△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）證明：連接OC，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD；（2）證明：∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCE＝90°，∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠DBC＝180°，∵∠DBC+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BE，∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，∴BE⊥CE；（3）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB=A∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB，∴△ACB∽△DEC，∴ACDE∴4DE∴DE=16∵∠CBE＝∠ABC，∴△ACB∽△CEB，∴CBBE∴3BE∴BE=9∴BD＝DE﹣BE=16∴DB的長(zhǎng)為75總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．22．（2022?紹興）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B＝90°，連結(jié)OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．（2）求證：AD平分∠BDO．思路引領(lǐng)：（1）連結(jié)OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧長(zhǎng)公式即得AD的長(zhǎng)為4π3（2）根據(jù)AB切⊙O于點(diǎn)A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即可得∠ADB＝∠ODA，從而AD平分∠BDO．（1）解：連結(jié)OA，如圖：∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴AD=（2）證明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AB切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∵∠B＝90°，∴OA∥BC，∴∠OAD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ODA，∴AD平分∠BDO．總結(jié)提升：本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式及圓的切線的性質(zhì)．23．（2022?寧夏）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）連接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC證明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可證明直線DE是⊙O的切線；（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等證明∠M＝∠ABM，則AB＝AM；（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°證明∠BAM＝60°，則△ABM是等邊三角形，所以∠M＝60°，則∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再證明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：∵線段AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．總結(jié)提升：此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2022?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD，連接AC，OD．（1）求證：∠BOD＝2∠A；（2）連接DB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DO，交AC于點(diǎn)F．若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線CE為⊙O的切線．思路引領(lǐng)：（1）連接AD，首先利用垂徑定理得BC=BD，知∠CAB＝∠（2）連接OC，首先由點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，可得AD＝CD，則∠ADF＝∠CDF，再利用圓的性質(zhì)，可說(shuō)明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，從而得出∠OCD+∠DCE＝90°，從而證明結(jié)論．證明：（1）如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴BC=∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A；（2）如圖，連接OC，∵F為AC的中點(diǎn)，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵BC=∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵BC=∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC為半徑，∴直線CE為⊙O的切線．總結(jié)提升：本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的判定等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．25．（2022?揚(yáng)州）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點(diǎn)P，交過(guò)點(diǎn)B的直線于點(diǎn)C，且CB＝CP．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若sinA=55，OA＝8，求思路引領(lǐng)：（1）連接OB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)得出∠APO＝∠CBP，由垂直的性質(zhì)得出∠A+∠APO＝90°，進(jìn)而得出∠OBA+∠CBP＝90°，即可得出直線BC與⊙O相切；（2）由sinA=55，設(shè)OP=5x，則AP＝5x，由勾股定理得出方程(5x)2+82=(5x)2，解方程求出x的值，進(jìn)而得出OP解：（1）直線BC與⊙O相切，理由：如圖，連接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝90°，∵OB為半徑，∴直線BC與⊙O相切；（2）在Rt△AOP中，sinA=OP∵sinA=5∴設(shè)OP=5x，則AP＝5x∵OP2+OA2＝AP2，∴(5解得：x=455∴OP=5∵∠OBC＝90°，∴BC2+OB2＝OC2，∵CP＝CB，OB＝OA＝8，∴BC2+82＝（BC+4）2，解得：BC＝6，∴CB的長(zhǎng)為6．總結(jié)提升：本題考查了切線的判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，一元二次方程的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．（2022?陜西）如圖，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延長(zhǎng)OA至點(diǎn)C，使AC＝8，連接BC，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙O，延長(zhǎng)BA，與⊙O交于點(diǎn)E，作弦BF＝BE，連接EF，與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）求EF的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意可得OAAB=ABAC，∠OAB＝∠BAC＝90°，以此推出△OAB∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠BOA＝∠ABC，以此得到∠OBA+∠ABC＝90°，即可證明BC（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BF于點(diǎn)G，根據(jù)題意可證明Rt△BOG≌Rt△BOA，以此得到BD平分∠FBE，則BD⊥EF，DF＝DE，再根據(jù)sin∠OBA=OA（1）證明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，∴OAAB∵∠OAB＝∠BAC＝90°，∴△OAB∽△BAC，∴∠BOA＝∠ABC，∵∠OBA+∠BOA＝90°，∴∠OBA+∠ABC＝90°，即∠OBC＝90°，∵OB為⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BF于點(diǎn)G，∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，∴BG＝AB，∵OB＝OB，∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，∵BF＝BE，即△BEF為等腰三角形，∴BD⊥EF，DF＝DE，∵OA＝2，AB＝4，∴OB=O在Rt△ABO中，sin∠OBA=OA在Rt△BDE中，sin∠DBE=DE∴DE=∴EF=16總結(jié)提升：本題主要考查切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)答題時(shí)解題關(guān)鍵．27．（2022?阜新）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠A＝60°，AC＝23，求BD的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）連接OD．由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形內(nèi)角和定理可得∠BOD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得答案．（1）證明：連接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AC＝CD=23，∠A＝60°∴△ACD是等邊三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO=23?tan30∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴BD的長(zhǎng)=120π×2總結(jié)提升：此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．28．（2022?東營(yíng)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．（1）求證：直線CE是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠DBC＝∠OCB，證明OC∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CE，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理得到BH＝HC，根據(jù)余弦的定義求出BH，進(jìn)而求出BC，根據(jù)正弦的定義求出OH，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．（1）證明：連接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC為⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，則BH＝HC，在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，∴BH＝OB?cos∠OBH＝2×32=3，∴BC＝23，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴S陰影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC=120π×22=4π總結(jié)提升：本題考查的是切線的判定、扇形面積計(jì)算，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．29．（2022?錦州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，D為BE的中點(diǎn)，連接AE，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C．連接OD，在OD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，連接BF，使∠CBF=12∠（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）若AE＝4，OF=92，求⊙思路引領(lǐng)：（1）連接AD，由圓周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧對(duì)等角可得∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，再進(jìn)行等量代換可得∠ABF＝90（2）連接BE，由圓周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．（1）證明：如圖，連接AD，AB是圓的直徑，則∠ADB＝90°，D為BE的中點(diǎn)，則∠BAD＝∠CAD=12∠∵∠CBF=1∴∠CBF＝∠BAD，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，∴AB⊥BF，∵OB是⊙O的半徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BE，AB是圓的直徑，則∠AEB＝90°，∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC，又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，∴△OBF∽△AEB，∴OB：AE＝OF：AB，∴OB：4=92：2OB，OBOB＞0，則OB＝3，∴⊙O的半徑為3．總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．30．（2022?鞍山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，EF∥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CE與AB交于點(diǎn)D，連接BE，若∠BCE=12∠（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝2，sin∠BEC=35，求⊙思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)切線的判定定理，圓周角定理解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．（1）證明：連接OE，∵∠BCE=12∠ABC，∠BCE=1∴∠ABC＝∠BOE，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠BCD，∵EF∥AC，∴∠FEC＝∠ACE，∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，即∠FEO＝∠ACB，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠FEO＝90°，∴FE⊥EO，∵EO是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）解：∵EF∥AC，∴△FEO∽△ACB，∴EOBC∵BF＝2，sin∠BEC=3設(shè)⊙O的半徑為r，∴FO＝2+r，AB＝2r，BC=65∴r6解得：r＝3，檢驗(yàn)得：r＝3是原分式方程的解，∴⊙O的半徑為3．總結(jié)提升：本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)的定理是解答本題的關(guān)鍵．31．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB=25，求思路引領(lǐng)：（1）連接OD，根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥HG，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)余弦的定義求出⊙O的半徑，根據(jù)三角形中位線定理求出BC，再根據(jù)余弦的定義求出BG，計(jì)算即可．（1）證明：連接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD=12∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD=25，即解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB=2∴BGBH=2解得：BG=14∴CG＝BC﹣BG＝4?14總結(jié)提升：本題考查的是切線的判定、三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．32．（2022?黔西南州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，分別交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，DH⊥AC，垂足為H，連接DE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DH是⊙O的切線；（2）若E為AH的中點(diǎn)，求EFFD思路引領(lǐng)：（1）連接OD，證明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，則結(jié)論得證；（2）連接AD，由圓周角定理得∠ADB＝90°，再由等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD，則OD=12AC，OD∥AC，進(jìn)而得到△AEF∽△ODF，由等腰三角形的性質(zhì)得CH＝（1）證明：連接OD，如圖所示：∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DH是⊙O的切線；（2）解：連接AD，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，∴OA＝OB，∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴OD=12AC，OD∥∴△AEF∽△ODF，∴FEFD∵∠CED+∠DEA＝180°，∠B+∠DEA＝180°，∴∠CED＝∠B＝∠C，∴CD＝ED，∵DH⊥AC，∴CH＝EH，∵E為AH的中點(diǎn)，∴AE＝EH＝CH，∴FEFD總結(jié)提升：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，平行線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握切線的判定、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2022?鄂爾多斯）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝5，cos∠ABD=45，求思路引領(lǐng)：（1）連接OD，可推出∠BDC＝90°，進(jìn)而得出DE＝BE，進(jìn)而證明△DOE≌△BOE，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角三角形ABC求得AC，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線定理求得OE．（1）證明：如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴DE＝BE＝EC=1在△DOE和△BOE中，OD=OBDE=BE∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC=BC∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE=1總結(jié)提升：本題考查了直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．34．（2022?棗莊）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過(guò)⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE＝6cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）連接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根據(jù)AD⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由OE是△ABC的中位線，得AC＝12，再證明△DAC∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．（1）證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，∵OE＝6cm，∴AC＝12cm，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC=AC∴AD=365總結(jié)提升：本題考查圓的切線及圓中的計(jì)算，涉及圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化圓中的角和線段．35．（2022?金華）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題：作法如圖2．1．作直徑AF．2．以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N．3．連接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度數(shù)．（2）△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）從點(diǎn)A開(kāi)始，以DN長(zhǎng)為邊長(zhǎng)，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)正五邊形內(nèi)角和，可以計(jì)算出∠ABC的度數(shù)；（2）先判斷，然后根據(jù)題意和圖形說(shuō)明理由即可；（3）根據(jù)題意和（2）中的結(jié)果，計(jì)算出∠NOD的度數(shù)，然后即可計(jì)算出n的值．解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=(5?2)×180°5=即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：連接ON，NF，如圖，由題意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等邊三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）連接OD，如圖，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD=360°5×2=∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．總結(jié)提升：本題考查正多邊形和圓、等邊三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．36．（2022?福建）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DF∥AB交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，等量代換可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；（2）連接AO，CO，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出∠AFC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．證明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴∠B＝∠D，∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO，如圖，由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC=180°?30°2=∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴AC的長(zhǎng)l=150×π×3總結(jié)提升：本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長(zhǎng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．37．（2022?衢州）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，∠CAB＝∠DBA，連結(jié)BC，CD．（1）求證：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)圓周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知條件可得∠CAB＝∠ACD，再根據(jù)平行線的判定方法即可得出答案；（2）連結(jié)OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根據(jù)圓周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD=nπr2360的面積，在Rt△ODE中，根據(jù)三角函數(shù)可算出DE＝cos30°OD的長(zhǎng)度，即可算出S△BOD=12OB?DE的面積，根據(jù)S陰影＝S（1）證明：∵AD=∴∠ACD＝∠DBA，又∵∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，∴CD∥AB．（2）如圖，連結(jié)OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴S扇形BOD=nπ在Rt△ODE中，∵DE＝sin60°?OD=3∴S△BOD=1∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD=4∴S陰影=4總結(jié)提升：本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理，熟練掌握扇形面積的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．38．（2022?荊門(mén)）如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．（1）求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；（2）在扇形AOB的內(nèi)部，⊙O1與OA，OB都相切，且與AB只有一個(gè)交點(diǎn)C，此時(shí)我們稱(chēng)⊙O1為扇形AOB的內(nèi)切圓，試求⊙O1的面積S1．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)扇形的面積公式就可以求出，陰影的面積用扇形的面積減去三角形的面積；（2）設(shè)⊙O1與OA相切于點(diǎn)E，連接O1O，O1E，通過(guò)解三角形就可以求出半徑，再利用圓的面積進(jìn)行計(jì)算．解：（1）∵∠AOB＝60°，半徑R＝3，∴S=60π×∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴S△OAB=9∴陰影部分的面積S陰=3π（2）設(shè)⊙O1與OA相切于點(diǎn)E，連接O1O，O1E，∵相切兩圓的連心線必過(guò)切點(diǎn)，∴O、O1、C三點(diǎn)共線，∴∠EOO1=12∠AOB＝30°，∠OEO1＝90在Rt△OO1E中，∵∠EOO1＝30°，∴OO1＝2O1E，∴O1E＝1，∴⊙O1的半徑O1E＝1．∴S1＝πr2＝π．總結(jié)提升：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)．構(gòu)造直角三角形是常用的方法，本題的關(guān)鍵是求得圓的半徑．39．（2022?益陽(yáng)）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．（1）求證：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．思路引領(lǐng)：（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；（3）∠A＝30°，可得BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，即得S△ABC=12BC?AC＝23，故陰影部分的面積是12π×（AB2）2﹣2（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；（3）解：由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC=12AB＝2，AC=3BC∴S△ABC=12BC?AC=12×2×∴陰影部分的面積是12π×（AB2）2﹣23=2π﹣答：陰影部分的面積是2π﹣23．總結(jié)提升：本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，題目難度不大．40．（2022?濰坊）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，小瑩將含30°角的直角三角尺分別以兩個(gè)直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到甲、乙兩個(gè)圓錐，并用作圖軟件Geogebra畫(huà)出如下示意圖．小亮觀察后說(shuō)：“甲、乙圓錐的側(cè)面都是由三角尺的斜邊AB旋轉(zhuǎn)得到，所以它們的側(cè)面積相等．”你認(rèn)同小亮的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S＝πrl計(jì)算即可．解：小亮的說(shuō)法不正確．設(shè)直角三角尺三邊長(zhǎng)分別為BC＝a，AC=3a，AB＝2a∴甲圓錐的側(cè)面積：S甲＝π?BC?AB＝π×a×2a＝2πa2．乙圓錐的側(cè)面積：S乙＝π?AC?AB＝π×3a×2a＝23πa2∴S甲≠S乙，∴小亮的說(shuō)法不正確．總結(jié)提升：本題考查了圓錐的計(jì)算，熟練運(yùn)用圓錐的側(cè)面積公式S側(cè)＝πrl是解題的關(guān)鍵．41．（2022?德州）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O為底邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓，交BC于點(diǎn)M，N．（1）AB與⊙O的位置關(guān)系為相切；（2）求證：AC是⊙O的切線；（3）如圖2，連接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直徑．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）思路引領(lǐng)：（1）利用直線與圓的相切的定義解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OA，通過(guò)證明OE＝OD，利用直線與圓相切的定義解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DM于點(diǎn)F，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得∠BOD＝48°，再利用垂徑定理和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得圓的半徑，則圓的直徑可求．（1）解：∵OD⊥AB，點(diǎn)O為圓心，OD為半徑，∴直線AB到圓心O的距離等于圓的半徑，∴AB為⊙O的切線，∴AB與⊙O的位置關(guān)系為相切，故答案為：相切；（2）證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OA，如圖，∵AB＝AC，O為底邊BC的中點(diǎn)，∴AO為∠BAC的平分線，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，∵OD為⊙O的半徑，∴OE為⊙O的半徑，這樣，直線AC到圓心O的距離等于圓的半徑，∴AC是⊙O的切線；（3）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DM于點(diǎn)F，如圖，∵AB＝AC，∠A＝96°，∴∠B＝∠C=180°?96°2=∵OD⊥AB，∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．∵OF⊥DM，∴DF＝MF=12∵OD＝OM，OF⊥DM，∴OF為∠DOM的平分線，∴∠DOF=12∠BOD＝24在Rt△ODF中，∵sin∠DOF=DF∴sin24°=2∴OD=2∴⊙O的直徑＝2OD＝2×4.9＝9.8．總結(jié)提升：本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，三角形的內(nèi)角和定理，過(guò)圓心作直線的垂線段是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線．42．（2022?淄博）已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線與⊙O相交于點(diǎn)D，連接DB．（1）如圖①，設(shè)∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)I，求證：BD＝DI；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥BC，求證：DE是⊙O的切線；（3）如圖③，設(shè)弦BD，AC延長(zhǎng)后交⊙O外一點(diǎn)F，過(guò)F作AD的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)G作⊙O的切線GH（切點(diǎn)為H），求證：FG＝HG．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)角的和與外角的性質(zhì)可得：∠BID＝∠DBI，從而得結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理可得：OD⊥BC，再由BC∥DE可得結(jié)論；（3）如圖③，連接BH，CH，證明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB，可得結(jié)論．證明：（1）如圖①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如圖②，連接OD，∵∠CAD＝∠BAD，∴BD=∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（3）如圖，作直徑交⊙O于M，連接CM，BH，CH，∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切線，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如圖③，連接BH，CH，∵GH是⊙O的切線，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴GHBG∴GH2＝BG?CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴FGBG∴FG2＝BG?CG，∴FG＝HG．總結(jié)提升：本題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，角平分線的定義，圓周角定理，三角形相似的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，第三問(wèn)有難度，證明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB是解此題的關(guān)鍵．43．（2022?黃石）如圖CD是⊙O直徑，A是⊙O上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的條件下，作∠CAD的平分線AP交⊙O于P，交CD于E，連PC、PD，若AB＝26，求AE?AP的值．思路引領(lǐng)：（1）連接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，進(jìn)而得出∠BAO＝90°，最后根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；（2）先得出△BCA∽△BAD，進(jìn)而得出ACAD=BCAB，設(shè)半徑OC＝OA＝r，根據(jù)勾股定理得出（3）由（2）的結(jié)論，得出r=3，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得出AC＝2，AD＝22，然后得出△CAP∽EAD，最后根據(jù)AE?AP＝AC?AD（1）證明：連接OA，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA為半徑，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴ACAD設(shè)半徑OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB=O在Rt△CAD中，tan∠ADC=AC（3）解：在（2）的條件下，AB＝22r＝26，∴r=3∴CD＝23，在Rt△CAD中，ACAD=22，AC2+AD2解得AC＝2，AD＝22，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，∴△CAP∽△EAD，∴ACAE∴AE?AP＝AC?AD＝2×22=42總結(jié)提升：本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，靈活運(yùn)用性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．44．（2022?綿陽(yáng)）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，D為劣弧BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AD與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：BC∥PF；（2）若⊙O的半徑為5，DE＝1，求AE的長(zhǎng)度；（3）在（2）的條件下，求△DCP的面積．思路引領(lǐng)：（1）連接OD，利用垂徑定理和圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定定理解答即可；（2）連接OD，BD，設(shè)AE＝x，則AD＝1+x，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）連接OD，BD，設(shè)OD與BC交于點(diǎn)H，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得DH，CE的長(zhǎng)度，通過(guò)判定四邊形CHDP為矩形得到△DCP為直角三角形和兩直角邊的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求得結(jié)論．（1）證明：連接OD，如圖，∵D為劣弧BC的中點(diǎn)，∴CD=∴OD⊥BC．∵PF是⊙O的切線，∴OD⊥PF，∴BC∥PF；（2）連接OD，BD，如圖，設(shè)AE＝x，則AD＝1+x．∵D為劣弧BC的中點(diǎn)，∴CD=∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴CDDE∴CD2＝DE?AD＝1×（1+x）＝1+x．∴BD2＝1+x．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AB2．∵⊙O的半徑為5，∴AB＝25．∴(1+x)解得：x＝3或x＝﹣6（不合題意，舍去），∴AE＝3．（3）連接OD，BD，設(shè)OD與BC交于點(diǎn)H，如圖，由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB=1+3∵∠ADB＝90°，∴cos∠DAB=AD∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴cos∠ADO＝cos∠DAB=2∵OH⊥BC，∴BH＝CH，cos∠ADO=DH∴DH＝DE×2∴OH＝OD﹣DH=5∴BH=O∴CH＝BH=4∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，∴四邊形CHDP為矩形，∴∠P＝90°，CP＝DH=255，DP＝∴△DCP的面積=12×CP?總結(jié)提升：本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，連接OD，BD是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線．45．（2022?西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AB上，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，OE交于點(diǎn)M．（1）求證：四邊形EMFC是矩形；（2）若AE=5，⊙O的半徑為2，求FM思路引領(lǐng)：（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角及鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可求出∠CFD＝90°，由⊙O與AC相切于點(diǎn)E，利用圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑可得出OE⊥AC，進(jìn)而可得出∠OEC＝∠OEA＝90°，結(jié)合∠C＝90°，三個(gè)角是直角即可證明矩形即可；（2）在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AB的長(zhǎng)，由∠AEO＝∠C，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出OE∥BC，進(jìn)而可得出△AEO∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出AC的長(zhǎng)，結(jié)合CE＝AC﹣AE可求出CE的長(zhǎng)，再利用矩形的對(duì)邊相等，即可求出FM的長(zhǎng)．（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BFD＝90°，∴∠CFD＝90°．∵⊙O與AC相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝∠OEA＝90°．又∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，∴∠EMF＝90°，∴四邊形EMFC是矩形．（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，AE=5，OE∴OA=A∴AB＝OA+OB＝3+2＝5．∵∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴ACAE=AB∴AC=5∴CE＝AC﹣AE=5又∵四邊形EMFC是矩形，∴FM＝CE=