2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集教師用書新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE1-2．1.1等式的性質(zhì)與方程的解集考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)等式的性質(zhì)駕馭等式的性質(zhì)，會(huì)用十字相乘法分解因式數(shù)學(xué)運(yùn)算方程的解集會(huì)利用等式的性質(zhì)解一元一次方程，會(huì)用因式分解法解一元二次方程數(shù)學(xué)運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P43－P46的內(nèi)容，思索以下問題：1．等式的性質(zhì)有哪些？2．恒等式的概念是什么？3．十字相乘法的內(nèi)容是什么？4．方程的解集的概念是什么？1．等式的性質(zhì)(1)等式的兩邊同時(shí)加上(減去)同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；(2)等式的兩邊同時(shí)乘以(除以)同一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．[留意]等式性質(zhì)成立的條件，特殊是性質(zhì)(2)中的“不為零”．2．恒等式一般地，含有字母的等式，假如其中的字母取隨意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．3．方程的解集一般地，把一個(gè)方程全部解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a＝b，則a－c＝b－c.()(2)若a＝b，則eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).()(3)若eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)，則a＝b.()(4)x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)．()(5)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√下列各式由左邊到右邊的變形為因式分解的是()A．a(chǎn)2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1B．m2－4m＋4＝(m－2)2C．(x＋3)(x－3)＝x2－9D．t2＋3t－16＝(t＋4)(t－4)＋3t答案：B已知x2＋kxy＋64y2是一個(gè)完全式，則k的值是()A．8 B．±8C．16 D．±16答案：D方程eq\f(2x＋1,3)－eq\f(3x＋4,2)＝eq\f(1,2)的解集為________．解析：由eq\f(2x＋1,3)－eq\f(3x＋4,2)＝eq\f(1,2)，得2(2x＋1)－3(3x＋4)＝3，即－5x－10＝3，所以x＝－eq\f(13,5).所以方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(13,5))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(13,5)))方程x2＋2x－15＝0的解集為________．解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集為{3，－5}．答案：{3，－5}利用十字相乘法分解單變量多項(xiàng)式角度一x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12.【解】(1)如圖，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以干脆將圖中的兩個(gè)x用1來表示(如圖)．(2)由圖，得所以x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).eq\a\vs4\al()x2＋(p＋q)x＋pq此類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．其分解因式為：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．角度二ax2＋bx＋c型式子的因式分解分解因式：(1)6x2＋5x＋1；(2)6x2＋11x－7；(3)42x2－33x＋6；(4)2x4－5x2＋3.【解】(1)由圖，得所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)．(2)由圖，得所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．(3)由圖，得所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．(4)由圖，得所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(6),2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(6),2))).eq\a\vs4\al()對(duì)于ax2＋bx＋c，將二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1×a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1×c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如圖：，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，假如它正好等于ax2＋bx＋c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上圖中上一行，a2，c2位于下一行．把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]＝(a－b＋4)(a－b＋7)．(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.答案：(1)(x－1)(x－2)(2)(x＋1)(x＋36)(3)(a－b＋4)(a－b＋7)(4)(2m－3)2利用十字相乘法分解雙變量多項(xiàng)式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5eq\r(xy)－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.【解】(1)(a＋2b)(a－4b)；(2)(eq\r(x)＋6eq\r(y))(eq\r(x)－eq\r(y))；(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4)(m＋eq\r(2)n)(m－eq\r(2)n)(m2＋3n2)．eq\a\vs4\al()x2＋(p＋q)xy＋pqy2這類二次齊次式的特點(diǎn)是：(1)x2的系數(shù)為1；(2)y2的系數(shù)為兩個(gè)數(shù)的積(pq)；(3)xy的系數(shù)為這兩個(gè)數(shù)之和(p＋q)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x＋py)＝(x＋py)(x＋qy)．角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)6m2－5mn－6n2；(2)20x2＋7xy－6y2；(3)2x4＋x2y2－3y4；(4)6(x＋y)＋7eq\r(z（x＋y）)＋2z(x>0，y>0，z>0)．【解】(1)(3m＋2n)(2m－3n)．(2)(4x＋3y)(5x－2y)．(3)(x＋y)(x－y)(2x2＋3y2)．(4)(3eq\r(x＋y)＋2eq\r(z))(2eq\r(x＋y)＋eq\r(z))．eq\a\vs4\al()對(duì)ax2＋bxy＋cy2因式分解時(shí)，若將y2也視為常數(shù)，則與ax2＋bx＋c的分解方法是一樣的．1．分解下列各因式：(1)x2－xy－2y2－2x＋7y－3；(2)ab－2a－b＋2.解：(1)(x－2y)(x＋y)－2x＋7y－3＝(x－2y＋1)·(x＋y－3)；(2)(b－2)(a－1)．2．分解因式：x2＋(2m＋1)x＋m2＋m.解：x2＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝(x＋m)(x＋m＋1)．一元一次方程的解集用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笙铝蟹匠痰慕饧?1)eq\f(x,0.7)－eq\f(0.17－0.2x,0.03)＝1；(2)x－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)（x－1）))＝eq\f(2（x－1）,3).【解】(1)原方程可化為eq\f(10,7)x－eq\f(100,3)(0.17－0.2x)＝1，即eq\f(10,7)x－eq\f(17－20x,3)＝1，去分母，得30x－7(17－20x)＝21，去括號(hào)，得30x－119＋140x＝21，移項(xiàng)，得30x＋140x＝21＋119，合并同類項(xiàng)，得170x＝140，系數(shù)化為1，得x＝eq\f(14,17).所以該方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(14,17))).(2)去小括號(hào)，得x－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)x＋\f(1,2)))＝eq\f(2x－2,3)，去括號(hào)，得x－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(2x－2,3)，去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8，移項(xiàng)，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3，合并同類項(xiàng)，得x＝－5.所以該方程的解集為{－5}．eq\a\vs4\al()解一元一次方程時(shí)，有些變形的步驟可能用不到，要依據(jù)方程的形式敏捷支配求解步驟．(1)在分子或分母中有小數(shù)時(shí)，可以化小數(shù)為整數(shù)．留意依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子、分母必需同時(shí)擴(kuò)大同樣的倍數(shù)．(2)當(dāng)有多層括號(hào)時(shí)，應(yīng)按肯定的依次去括號(hào)，留意括號(hào)外的系數(shù)及符號(hào)．1．求下列方程的解集：(1)4－3(10－y)＝5y；(2)eq\f(2x－1,3)＝eq\f(2x＋1,6)－1.解：(1)去括號(hào)，得4－30＋3y＝5y.移項(xiàng)，得3y－5y＝30－4.合并同類項(xiàng)，得－2y＝26.系數(shù)化為1，得y＝－13.所以該方程的解集為{－13}．(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.去括號(hào)，得4x－2＝2x＋1－6.移項(xiàng)，得4x－2x＝1－6＋2.合并同類項(xiàng)，得2x＝－3.系數(shù)化為1，得x＝－eq\f(3,2).所以該方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))).2．假如方程eq\f(x－4,3)－8＝－eq\f(x＋2,2)的解集與方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－eq\f(1,a)的值．解：解方程eq\f(x－4,3)－8＝－eq\f(x＋2,2)，去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，去括號(hào)，得2x－8－48＝－3x－6，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得5x＝50，系數(shù)化為1，得x＝10.把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.當(dāng)a＝－4時(shí)，a－eq\f(1,a)＝－4－eq\f(1,－4)＝－eq\f(15,4).因式分解法解一元二次方程用因式分解法求下列方程的解集．(1)6x(x＋1)＝5(x＋1)；(2)(2x－1)2－(x＋1)2＝0；(3)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.【解】(1)分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝eq\f(5,6)，x2＝－1.所以方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，－1)).(2)分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2.所以方程的解集為{0，2}．(3)整理，得x2－2x＋1＝0.即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1.所以方程的解集為{1}．eq\a\vs4\al()用因式分解法解一元二次方程的步驟(1)將方程右邊化為0；(2)將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積；(3)令每個(gè)因式等于0，得兩個(gè)一元一次方程，再求解．[提示]①用因式分解法解一元二次方程，常常會(huì)遇到方程兩邊含有相同因式的狀況，此時(shí)不能將其約去，而應(yīng)當(dāng)移項(xiàng)將方程右邊化為零，再提取公因式，若約去則會(huì)使方程失根；②對(duì)于較困難的一元二次方程，應(yīng)敏捷依據(jù)方程的特點(diǎn)分解因式．用因式分解法求下列方程的解集：(1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝x；(2)(x－3)2＋2x－6＝0；(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.解：(1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)－1))＝0，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＝0，所以x1＝0，x2＝eq\f(3,2)，所以該方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋2)＝0，所以x－3＝0或x－1＝0，所以x1＝3，x2＝1，所以該方程的解集為{3，1}．(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，所以(10x－1)(2x＋19)＝0，所以10x－1＝0或2x＋19＝0，所以x1＝eq\f(1,10)，x2＝－eq\f(19,2).所以該方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，－\f(19,2))).1．分解因式x3－x，結(jié)果為()A．x(x2－1) B．x(x－1)2C．x(x＋1)2 D．x(x＋1)(x－1)解析：選D.x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．2．已知a＋b＝3，ab＝2，計(jì)算：a2b＋ab2等于()A．5 B．6C．9 D．1解析：選B.a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6.3．分解因式a2＋8ab－33b2得()A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b)C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)解析：選B.a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．4．方程3x(x－2)＝2－x的解集為________．解析：因?yàn)?x(x－2)＝2－x，所以3x(x－2)－(2－x)＝0，即3x(x－2)＋(x－2)＝0，所以(x－2)(3x＋1)＝0，所以x＝2或x＝－eq\f(1,3)，所以方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,3))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,3)))5．把下列各式分解因式：(1)x2＋15x＋56；(2)6x2＋7x－3；(3)x2－6xy－7y2；(4)8x2＋26xy＋15y2.解：(1)x2＋15x＋56＝(x＋7)(x＋8)；(2)6x2＋7x－3＝(2x＋3)(3x－1)；(3)x2－6xy－7y2＝(x－7y)(x＋y)；(4)8x2＋26xy＋15y2＝(2x＋5y)(4x＋3y)．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．多項(xiàng)式2x2－xy－15y2的一個(gè)因式為()A．2x－5y B．x－3yC．x＋3y D．x－5y解析：選B.2x2－xy－15y2＝(x－3y)(2x＋5y)．2．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得()A．(a＋b＋10)(a＋b－2)B．(a＋b＋5)(a＋b－4)C．(a＋b＋2)(a＋b－10)D．(a＋b＋4)(a＋b－5)解析：選A.(a＋b)2＋8(a＋b)－20＝[(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．3．若多項(xiàng)式x2－3x＋a可分解為(x－5)(x－b)，則a，b的值是()A．a(chǎn)＝10，b＝2 B．a(chǎn)＝10，b＝－2C．a(chǎn)＝－10，b＝－2 D．a(chǎn)＝－10，b＝2解析：選C.因?yàn)?x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（5＋b）＝－3,5b＝a))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2,a＝－10)).4．方程2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))C．{－2} D．{2}解析：選C.因?yàn)?x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)，所以2x－x－10＝5x＋2x＋2，即－6x＝12，所以x＝－2.5．下列說法正確的是()A．解方程3x(x＋2)＝5(x＋2)時(shí)，可以在方程兩邊同時(shí)除以(x＋2)，得3x＝5，故x＝eq\f(5,3)B．解方程(x＋2)(x＋3)＝3×4時(shí)，對(duì)比方程兩邊知x＋2＝3，x＋3＝4，故x＝1C．解方程(3y＋2)2＝4(y－3)2時(shí)，只要將兩邊開平方，方程就變形為3y＋2＝2(y－3)，從而解得y＝－8D．若一元二次方程的常數(shù)為0，則0必為它的一個(gè)根答案：D6．若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b為整數(shù)，則m取值的集合為________．解析：因?yàn)閤2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝a＋b,ab＝－10)).又因?yàn)閍，b為整數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝5))，所以m＝±9或±3，所以m取值的集合為{－9，－3，3，9}．答案：{－9，－3，3，9}7．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，則關(guān)于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集為________．解析：因?yàn)閥＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，所以2－13(m－1)＝2，即m＝1.所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)?(x－3)－2＝2x－5，解得x＝0.所以方程的解集為{0}．答案：{0}8．若實(shí)數(shù)a，b滿意(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，則a＋b＝________.解析：設(shè)a＋b＝x，則原方程可化為4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝1，則a＋b＝－eq\f(1,2)或1.答案：－eq\f(1,2)或19．把下列各式分解因式：(1)6x2＋7x－3；(2)12x2＋25x＋12；(3)42x2－5x－2；(4)72x2＋7x－2.解：(1)(2x＋3)(3x－1)；(2)(3x＋4)(4x＋3)；(3)(6x＋1)(7x－2)；(4)(9x＋2)(8x－1)．10．把下列各式分解因式：(1)x2－y2－x＋3y－2；(2)6xy＋4x＋3y＋2；(3)x2－(a＋b)x＋ab；(4)(x＋y)2－(3＋a)|x＋y|＋3a.解：(1)(x＋y)(x－y)－x＋3y－2＝(x＋y－2)(x－y＋1)；(2)(2x＋1)(3y＋2)；(3)(x－a)(x－b)；(4)(|x＋y|－3)(|x＋y|－a)．[B實(shí)力提升]11．規(guī)定一種運(yùn)算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.例如：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2,15))＝8，運(yùn)算得5x－2＝8，解得x＝2.依據(jù)這種運(yùn)算的規(guī)定，那么eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2x,2x))＝5時(shí)，x的值為________．解析：由題意，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2x,2x))＝x2－4x＝5，即x2－4x－5＝0，解得x＝5或x＝－1.答案：5或－112．小奇設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)隨意實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2－3b－5，例如把(1，－2)放入其中，就會(huì)得到12－3×(－2)－5＝2.現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)(m，3m)放入其中，得到實(shí)數(shù)5，則m＝________.解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)對(duì)(m，3m)放入其中，得到實(shí)數(shù)5，所以m2－9m－5＝5，解得m＝10或－1.答案：10或－113．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x2－10x＋9＝0；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；(5)2x2－16＝x2＋5x＋8；(6)(3x－1)2＋3(3x－1)＋2＝0.解：(1)(x－1)(x－9)＝0，所以x1＝1，x2＝9；所以該方程的解集為{1，9}．(2)整理，得(x－3)(2－3x)＝0，所以x－3＝0或2－3x＝0，所以x1＝3，x2＝eq\f(2,3)；所以該方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3))).(3)4(3x－2)(x＋1)－3(x＋1)＝0，所以(x＋1)(1