2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)4全稱量詞與全稱命題存在量詞與特稱命題全稱命題與特稱命題的否定含解析北師大版選修2-1

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(四)(建議用時(shí)：40分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．設(shè)命題p：存在n∈N，n2>2n，則命題p的否定為()A．隨意n∈N，n2>2nB．存在n∈N，n2≤2nC．隨意n∈N，n2≤2nD．存在n∈N，n2＝2nC[命題p的否定為：隨意n∈N，n2≤2n，故選C.]2．選出與其他命題不同的命題()A．有一個平行四邊形是菱形B．任何一個平行四邊形是菱形C．某些平行四邊形是菱形D．有的平行四邊形是菱形B[B選項(xiàng)為全稱命題，其余的為特稱命題．]3．下列命題中為真命題的是()A．存在x0∈N，使4x0<－3B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0C．對隨意x∈R，2x＞x2D．對隨意x∈R，x2＋2＞0D[當(dāng)x∈R時(shí)，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0.]4．下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是()A．存在一個α0，使tan(90°－α0)＝tanα0B．存在實(shí)數(shù)x0，使sinx0＝eq\f(π,2)C．對一切α，sin(180°－α)＝sinαD．對一切α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβA[含有存在量詞的命題只有A，B，而sinx0≤1，所以sinx0＝eq\f(π,2)不成立，故選A.]5．若命題p：隨意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．(－2，＋∞) D．(－2，2)B[ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命題，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1對隨意x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．當(dāng)a＋2＝0時(shí)，不符合題意．故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,16－4（a＋2）（a－1）≤0，))解得a≥2.]二、填空題6．命題“隨意x∈R，3x2－2x＋1>0”的否定是________．存在x0∈R，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤0[命題“隨意x∈R，3x2－2x＋1>0”的否定為存在x0∈R，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤0.]7．下列命題中，是全稱命題的是________；是特稱命題的是________．(填序號)①正方形的四條邊相等；②有兩個角相等的三角形是等腰三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．①②③④[①可表述為“每一個正方形的四條邊相等”，是全稱命題；②是全稱命題，即“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述為“全部正數(shù)的平方根不等于0”，是全稱命題；④是特稱命題．]8．若命題“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．[2，6][由題意可知，命題“對隨意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”為真命題，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，三、解答題9．寫出下列命題的否定，并推斷真假．(1)有些實(shí)數(shù)的肯定值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)每一個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓；(4)存在x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.[解](1)命題的否定是“不存在一個實(shí)數(shù)，它的肯定值是正數(shù)”，即“全部實(shí)數(shù)的肯定值都不是正數(shù)”．它為假命題．(2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”．由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題．(3)命題的否定是“存在一個四邊形，它的四個頂點(diǎn)不共圓”.它為真命題．(4)命題的否定是“隨意x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3”．當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，eq\r(2)x＋y＝3，因此命題的否定是假命題．10．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋f(x)＞0對于隨意x∈R恒成立？并說明理由；(2)若存在實(shí)數(shù)x，使不等式m－f(x)＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解](1)不等式m＋f(x)＞0可化為m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4對于隨意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在實(shí)數(shù)m使不等式m＋f(x)＞0對于隨意x∈R恒成立，此時(shí)m＞－4.(2)不等式m－f(x)＞0可化為m＞f(x)．若存在實(shí)數(shù)x使不等式m＞f(x)成立，只需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．[實(shí)力提升練]1．命題“隨意x∈R，存在n∈N*使得n≥x2”A．隨意x∈R，存在n∈N*使得n<x2B．隨意x∈R，隨意n∈N*使得n<x2C．存在x∈R，存在n∈N*使得n<x2D．存在x∈R，隨意n∈N*使得n<x2D[依據(jù)含有量詞的命題的否定的概念可知，選D.]2．“關(guān)于x的不等式f(x)＞0有解”等價(jià)于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．對隨意x∈R，使得f(x)＞0成立D．對隨意x∈R，f(x)≤0成立A[“關(guān)于x的不等式f(x)＞0有解”等價(jià)于“存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)＞0成立”，故選A.]3．命題“n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)≤n”的否定形式是()A．n∈N*，f(n)N*，且f(n)＞nB．n∈N*，f(n)N*且f(n)＞nC．n0∈N*，f(n0)N*且f(n0)＞n0D．n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0D[全稱命題的否定為特稱命題，因此命題“n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0”．]4．若存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[－1，1][當(dāng)a＝0時(shí)，x0＝0滿意題意．當(dāng)a≠0時(shí)，由題意知方程ax2＋2x＋a＝0有實(shí)數(shù)根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝4－4a2≥0，))∴－1≤a<0或0<a≤1.綜上可知－1≤a≤1.]5．(1)若命題p：存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對隨意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解](1)由axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，得a(xeq\o\al(2,0)＋1)<－2x0，∵xeq\o\al(2,0)＋1>0，∴a<－eq\f(2x0,xeq\o\al(2,0)＋1)＝－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))，當(dāng)x0>0時(shí)，x0＋eq\f(1,x0)≥2，∴－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))≥－1，當(dāng)x0<0時(shí)，x0＋eq\f(1,x0)≤－2，∴－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))≤1，∴－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))的最大值為1.又∵存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0成立，∴只要a<1，∴a的取值范圍是(－∞，1)．(2)①當(dāng)m＋1＝0即m＝－1時(shí)，2x－6<0不恒成立．②當(dāng)m＋1≠0，則eq\b\