中考數(shù)學二輪培優(yōu)題型訓練壓軸題20以相似為背景的幾何類比探究壓軸問題（原卷版）

壓軸題20以相似為背景的幾何類比探究壓軸問題例1．（2023?青山區(qū)模擬）（1）已知，直線AC與BD交于點O．①如圖1，若∠A＝∠D，求證：AO?CO＝BO?DO；②如圖2，若∠A+∠D＝180°，求證：ABCD（2）如圖3，在△ABC中，∠A＝60°，E為BD中點，且∠BEC＝120°，DE：CD＝1：n．則AB：CE＝．?例2．（2023?慈溪市一模）【證明體驗】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB邊上一點，連結(jié)CD，若∠ACD＝∠ABC，求證：AC2＝AD?AB．（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，D為AB邊上一動點，連結(jié)CD，E為CD中點，連結(jié)BE．【思考探究】①如圖2，當∠ACD＝∠DBE時，求AD的長．【拓展延伸】②如圖3，當∠DEB＝30°時，求AD的長．例3．（2023?溫江區(qū)校級模擬）如圖1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，點E在對角線AC上，點F在邊AD上運動，連接EF，作∠FEG＝90°，交直線BC于點G，且AEAC=1（1）如圖2，當點F與點D重合時，求EDEG（2）點F在邊AD上運動過程中，當△AEF成為以AE為腰的等腰三角形時，求BG的長；（3）記點F關(guān)于直線AC的軸對稱點為點P，若點P落在∠EBC的內(nèi)部（不含邊界），求DF的取值范圍．例4．（2023?廣水市模擬）愛動腦筋的小明同學在學習完角平分線的性質(zhì)一節(jié)后意猶未盡經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)里面還有一個有趣的結(jié)論：（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若AD是∠BAC的角平分線，可得到結(jié)論：ABAC小明的解法如下：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，過點A作AG⊥BC于點G，∵AD是∠BAC的角平分線，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴，S△ABD∵S△ABD∴ABAC（2）【類比探究】如圖2所示，若AD是∠BAC的外角平分線，AD與BC的延長線交于點D．求證：ABAC（3）【直接應用】如圖3所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加輔助線的情況下直接寫出AB＝．（4）【拓展應用】如圖4所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC先沿∠BAC的平分線AD折疊，B點剛好落在AC上的E點，剪掉重疊部分（即四邊形ABDE），再將余下部分（△CDE）沿∠DEC的平分線EF折疊，再剪掉重疊部分（即四邊形DEGF），求出剩余部分△FCG的面積．

1．（2023?儀征市一模）已知菱形ABCD中，點E是對角線AC上一點，點F是邊AD上一點，連接EF、BE、CF．【特例探究】：（1）如圖1，若∠ABC＝60°且EF∥CD，線段BE、CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，若∠ABC＝90°且EF⊥AC，判定線段BE、CF滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【一般探究】（3）如圖3，根據(jù)特例的探究，若∠BAC＝α，AE＝EF，請求出CFBE的值（用含α【發(fā)現(xiàn)應用】（4）如圖3，根據(jù)“一般探究”中的條件，若菱形邊長為1，CFBE=3，點F在直線AD上運動，則△CEF2．（2023?浦東新區(qū)二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過點B作BE⊥AD，垂足為點E，點G在邊AD上，連接BG、CG，對角線AC與BE、BG分別交于點F、H，且AE?BG＝AF?BE．（1）求證：BG⊥AC；（2）如果∠DGC＝2∠DCG，且DC是DG與DA的比例中項，求證：四邊形ABCG是菱形．3．（2023?周村區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一點，過點E作BD的垂線交BD于點P，交AB于點F，連接AP并延長交BC于點G．（1）求證：PE＝PF；（2）若BG＝CE，求∠EPG的度數(shù)；（3）若AB＝6，EG＝1，求△PGE的面積．4．（2023?市北區(qū)一模）如圖所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E為邊AD上一點，ED＝1cm．點P從點B出發(fā)，沿BE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為1cm/s．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，以P、Q、B為頂點的三角形和△ABE相似；（2）設(shè)五邊形PEDCQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）連接CE，取CE中點F，連接DF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使PQ∥DF？若存在，請直接給出t的值（不必提供求解過程）；若不存在，請說明理由．?5．（2023?歷下區(qū)一模）如圖1，已知正方形AFEG與正方形ABCD有公共頂點A，點E在正方形ABCD的對角線AC上（AG＜AD）．（1）如圖2，正方形AFEG繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），DG和BF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖3，正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），求CEDG的值以及直線CE和直線DG（3）如圖4，AB＝8，點N在對角線AC上，CN=22，將正方形AFEG繞A順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），點M是邊CD的中點，過點M作MH∥DG交EC于點H；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段NH的長度是否變化？如果不變，請直接寫出NH6．（2023?碑林區(qū)校級三模）數(shù)學探究小組利用一些三角形彩紙裁剪面積最大的內(nèi)接正方形，他們就有關(guān)問題進行了探究：定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．作圖：如圖1，正方形DEFG的頂點E，F(xiàn)在邊AB上，頂點D在邊AC上，在△ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形DEFG的位似正方形D′E′F′G′，且使正方形D′E′F′G′的面積最大．實踐操作：（1）第一小組拿到的鈍角三角形原材料，你認為在鈍角三角形中存在個內(nèi)接正方形；（2）第二小組拿到的是直角三角形原材料，小明說：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大．小麗同學認為他的結(jié)論不正確，她通過計算腰長為1的等腰直角三角形（如圖2和圖3）的情況給予說明，請你幫助小麗同學完成計算和說理過程；（3）第三小組拿到的是不等邊銳角三角形原材料，小華同學認為：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較?。∪A同學已經(jīng)寫出了題設(shè)條件，請你幫助他完成推理過程．如圖4，設(shè)銳角△ABC的三條邊分別為a、b、c不妨設(shè)a＞b＞c，三條邊上的對應高分別為ha、hb、hc，內(nèi)接正方形的邊長分別為xa、xb、xc．7．（2023?寧波一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，AB⊥BC于點B，CE⊥BC于點C，AC⊥DE交BC于點D，求證：ACDE【嘗試應用】（2）如圖2，在矩形ABCD中，E是BC上的一點，作DF⊥AE交BC于點F，CE＝EF，若AB＝2，AD＝4，求AEDF【拓展提高】（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為10，tan∠ACD=34，E為AD上的一點，作DG⊥CE交AC于點F，交AB于點G，且CE＝2DF8．（2023?西湖區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且DF∥BC，EF∥AB．（1）求證：△FEC∽△ADF；（2）設(shè)CF=13①若EF＝3，求線段AB的長；②若S△FEC＝1，求S△ADF的值．9．（2023?西湖區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是線段AB和AB的延長線上的一點，且BF＝BE，連接CE，DF交于點G，連接BG．設(shè)AEEB=k（（1）當k＝1時，求CE的長；（2）在（1）的條件下，求BG的長；（3）求△DCG的面積（用含k的代數(shù)式表示）．10．（2023?包河區(qū)一模）如圖1，AB＝AC＝2CD，DC∥AB，將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△FCE，使點D落在AC的點E處，AB與CF相交于點O，AB與EF相交于點G，連接BF．（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）求證：AC∥FB；（3）若點D，E，F(xiàn)在同一條直線上，如圖2，求ABBC11．（2023?沭陽縣一模）我們定義：三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，那么稱這個三角形是2倍角三角形．（1）定義應用：如果一個等腰三角形是2倍角三角形，則其底角的度數(shù)為；（2）性質(zhì)探索：小思同學通過對2倍角三角形的研究，發(fā)現(xiàn)：在△ABC中，如果∠A＝2∠B＝90°，那么BC2＝AC（AB+AC），下面是小思同學的證明方法：已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：BC2＝AC（AB+AC）．證明：如圖1，延長CA到D，使得AD＝AB，連接BD，∴∠D＝∠ABD，AB+AC＝AD+AC＝CD；∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD，∴BCCD=ACBC∴BC2＝AC?CD∴BC2＝AC（根據(jù)上述材料提供的信息，請你完成下列情形的證明：已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝2∠B，求證：BC2＝AC（AB+AC）；（3）性質(zhì)應用：已知：如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝6，BC＝5，則AC＝；（4）拓展應用：已知：如圖4，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝5，BC＝3，求AB的長．12．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分線，連接DA、DB，且DA⊥DB于點D．（1）求證：DA＝DB；（2）如圖2，點E、F分別是邊CD、AC上的點，且BE⊥EF于點E，求AFDE13．（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝kBC（0＜k＜1），將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90）得到線段AE，過點E作AE的垂線交射線CD于點H，交射線AD于點M．[嘗試初探]（1）當點M在AD延長線上運動時，∠BAE與∠AME始終相等，且△AEM與△HDM始終相似，請說明理由；[深入探究]（2）若k=12，隨著線段AE的旋轉(zhuǎn)，點H的位置也隨之發(fā)生變化，當CH=34[拓展延伸]（3）連接ED，當△EDM為等腰三角形時，求tanα的值（用含k的代數(shù)式表示）．14．（2023?汶上縣一模）【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE，求證：BD＝CE；【類比探究】（2）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，連接BD，CE，求BDCE【拓展提升】（3）如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC=ADDE=3415．（2023?宜興市一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4．點P在AD上運動（點P不與點A、D重合）將△ABP沿直線翻折，使得點A落在矩形內(nèi)的點M處（包括矩形邊界）．（1）求AP的取值范圍；（2）連接DM并延長交矩形ABCD的AB邊于點G，當∠ABM＝2∠ADG時，求AP的長．16．（2023?漢陽區(qū)校級模擬）【問題背景】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應用】（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，F(xiàn)E、FB分別交AD于點H、G．∠BFE＝∠A，若BF＝8，BE＝6，GH：AG＝9：8，求FD：DC的值．【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點，EF∥AC，AC＝2EF，若∠EDF=12∠BAD，AE＝4，DF＝10，直接寫出菱形ABCD的邊長為17．（2023?來安縣一模）已知△ABC和△ADE有公共的頂點A，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．AC與DE相交于點G，連接BE，CD．（1）若點B，E，D在一條直線上，如圖1，求證：∠BAC＝∠BDC；（2）將△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，DE的延長線交BC于點F，如圖2①證明：AE?CG＝DG?CF；②若∠AEB＝∠BAC＝90°，求CFAB18．（2023?鄞州區(qū)校級一模）（1）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形BEFG與正方形ABCD的頂點B重合，BE、BG分別在BC、BA邊上，連接DF，則有：①DFAG=；②直線DF與直線AG所夾的銳角等于（2）理解運用將圖1中的正方形BEFG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DF、AG，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點在同一直線上，且過AB邊的中點O，BE＝4，直接寫出AB的長；（3）拓展延伸如圖4，點P是正方形ABCD的AB邊上一動點（不與A、B重合），連接PC，沿PC將△PBC翻折到△PEC位置，連接DE并延長，與CP的延長線交于點F，連接AF，若AB＝4PB，則DEEF19．（2023?江西模擬）【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值．我們知道：如圖1，如果BCAC=ACAB，那么