2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)3充要條件含解析北師大版選修2-1

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(三)(建議用時(shí)：40分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．“B＝60°”是“△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件B[在△ABC中，A＋B＋C＝180°，若B＝60°，則A＋C＝180°－60°＝120°，∴A＋C＝2B，∴△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．若△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則A＋C＝2B，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°.故選B.]2．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又aα，bβ，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．]3．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1A[當(dāng)m＝－2時(shí)，f(x)＝x2－2x＋1，其圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，反之也成立，所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是m＝－2.]4．設(shè)a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件D[取a＝－b≠0，則|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|(zhì)a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不肯定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件．故選D.5．設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件A[由題意知|m|≠0，|n|≠0.設(shè)m與n的夾角為θ.若存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn，則m與n反向共線，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.當(dāng)90°<θ<180°時(shí)，m·n<0，此時(shí)不存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn.故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要條件．故選A.]二、填空題6．不等式x2－ax＋1>0的解集為R的充要條件是________．－2<a<2[若x2－ax＋1>0的解集為R，則Δ＝a2－4<0，即－2<a<2.又當(dāng)a∈(－2，2)時(shí)，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集為R，故不等式x2－ax＋1>0的解集為R的充要條件是－2<a<2.]7．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列的充要條件是________．d≥0且d＋a＞0[由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)?(n＋1)a＋eq\f(n（n＋1）,2)d＞na＋eq\f(n（n－1）,2)d(n∈N＋)?dn＋a＞0(n∈N＋)?d≥0且d＋a＞0.因此數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列的充要條件是d≥0且d＋a＞0.]8．命題p：x>0，y<0，命題q：x>y，eq\f(1,x)>eq\f(1,y)，則p是q的________條件．充要[當(dāng)x>0，y<0時(shí)，x>y且eq\f(1,x)>eq\f(1,y)成立，當(dāng)x>y且eq\f(1,x)>eq\f(1,y)時(shí)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y>0，,\f(x－y,xy)<0，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,y<0.))所以p是q的充要條件．]三、解答題9．下列命題中，推斷條件p是條件q的什么條件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對(duì)角線相互平分，q：四邊形是矩形；(4)p：圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.[解](1)∵|x|＝|y|x＝y(tǒng)，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分條件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要條件．(3)∵四邊形的對(duì)角線相互平分四邊形是矩形，四邊形是矩形?四邊形的對(duì)角線相互平分，∴p是q的必要不充分條件．(4)若圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，則圓心到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r，即r＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))，所以c2＝(a2＋b2)r2；反過來，若c2＝(a2＋b2)r2，則eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝r成立，說明圓x2＋y2＝r2的圓心(0，0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r，即圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要條件．10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1.[證明](1)充分性：當(dāng)q＝－1時(shí)，a1＝p－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．于是eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pn（p－1）,pn－1（p－1）)＝p，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(2)必要性：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝p＋q.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pn（p－1）,pn－1（p－1）)＝p.因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以eq\f(a2,a1)＝eq\f(an＋1,an)＝p＝eq\f(p（p－1）,p＋q)，∴q＝－1.即數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1.[實(shí)力提升練]1．設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[當(dāng)a>b?a|a|>b|b|，當(dāng)a>b>0時(shí)，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0成立；當(dāng)b<a<0時(shí)，a|a|－b|b|＝－a2＋b2＝(b－a)(b＋a)>0成立；當(dāng)b<0<a時(shí)，a|a|－b|b|＝a2＋b2>0成立；同理由a|a|>b|b|?a>b.選C.]2．設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[φ＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx是偶函數(shù)，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函數(shù)時(shí)，φ＝kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件．]3．已知關(guān)于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)，則該方程有兩個(gè)不等正根的充要條件是________．(1，2)∪(10，＋∞)[方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有兩個(gè)實(shí)根的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≠0，,Δ＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1，,（a＋2）2＋16（1－a）＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1，,a＜2或a＞10.))設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x1，x2，則方程有兩個(gè)正根的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1，,a＜2或a＞10，,x1＋x2>0，,x1x2>0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1，,a＜2或a＞10，,\f(a＋2,a－1)>0，,\f(4,a－1)>0))?1<a＜2或a＞10.]4．下列命題：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要條件；②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集為R③“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的充分不必要條件；④“xy＝1”是“l(fā)gx＋lgy＝0”的必要不充分條件．其中真命題的序號(hào)為________．④[①x>2且y>3時(shí)，x＋y>5成立，反之不肯定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要條件；②不等式解集為R的充要條件是a<0且b2－4ac<0，③當(dāng)a＝2時(shí)，兩直線平行，反之，若兩直線平行，則eq\f(a,1)＝eq\f(2,1)，∴a＝2.因此，“a＝2”是“兩直線平行”的充要條件；④lgx＋lgy＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“l(fā)gx＋lgy＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．因此“xy＝1”是“l(fā)gx＋lgy＝0”的必要不充分條件．綜上可知，真命題是④.]5．已知a≥eq\f(1,2)，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均為實(shí)數(shù)．證明：對(duì)于隨意x∈[0，1]，均有f(x)≤1成立的充要條件是c≤eq\f(3,4).[證明]因?yàn)閍≥eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)＝－a2x2＋ax＋c的圖像的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(a,2a2)＝eq\f(1,2a)，且0<eq\f(1,2a)≤1，所以f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))＝eq\f(1,4)＋c.