整式中的規(guī)律三大類型-原卷版

專題08整式中的規(guī)律三大類型

目錄

解題知識必備...................................................................................

壓軸題型講練...................................................................................3

類型一、單項(xiàng)式規(guī)律類...........................................................................3

類型二、數(shù)字類.................................................................................3

類型三、圖形類.................................................................................4

壓軸能力測評...................................................................................7

“解題知識必備??

1.均勻變化規(guī)律

均勻變化的規(guī)律技巧：

一組數(shù)據(jù)abcd……

前后兩個(gè)數(shù)的差值一致都為k時(shí)，這組數(shù)據(jù)的第n個(gè)數(shù)是：kn+a-k

2.不均勻變化規(guī)律

技巧：

方法一：一組數(shù)據(jù)abcd……

①標(biāo)出前后數(shù)據(jù)之差，往前順推一個(gè)數(shù)m

②所求數(shù)據(jù)第一個(gè)數(shù)與順推的數(shù)作差：a-m

③求出①中所標(biāo)數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)（根據(jù)均勻變化的數(shù)字規(guī)律來求）

（首數(shù)十尾數(shù)）n

④根據(jù)高斯數(shù)計(jì)算規(guī)律求出①中所標(biāo)數(shù)據(jù)的和日奴J奴

⑤所求數(shù)據(jù)第n項(xiàng)即為：口奴J奴—+a-m，化簡即可。

3.循環(huán)數(shù)字變化

技巧:

第一步：找出完整的一組循環(huán)數(shù)并排序；

第二步：拿要求的序數(shù)除以一組循環(huán)數(shù)的個(gè)數(shù)得出余數(shù);

第三步：把余數(shù)作為序號找到對應(yīng)循環(huán)數(shù)字即為所求。

4.相關(guān)公式

（I）裂項(xiàng)相消

（2

x壓軸題型講練2

類型一、單項(xiàng)式規(guī)律類

例.探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：X,一3尤2,5/，_7./,9x5,根據(jù)其中的規(guī)律得出的第10個(gè)

單項(xiàng)式為（）

A.—19即B.19x10C.一20產(chǎn)D.20?°

【變式訓(xùn)練1】.觀察下列按一定規(guī)律排列的〃個(gè)數(shù)：X,3%2,5x3，7x4,......,按照上述規(guī)律，第9個(gè)單

項(xiàng)式是（）

A.B.17x9C.17X10D.19元9

2356

【變式訓(xùn)練2】.按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a,2a,3Q4,4a,5a9,第”個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.nanB.+C.na"+1D.（ZJ+1）?"+1

【變式訓(xùn)練3】.按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：-x,3x4,-5x9,7x16,則第7個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.13/9B.—13尤94c.15/D.一15一

類型二、數(shù)字類

1111

例.觀察下列各式:

222x35一§'萬一§4

⑴猜想它的規(guī)律，用含〃的代數(shù)式表示出來

⑵用你得到的規(guī)律，計(jì)算：?1+…并求出當(dāng)"14時(shí)代數(shù)式的值;

【變式訓(xùn)練1】.閱讀材料，按要求完成下列問題.

計(jì)算：1+2+2?+23+2"+2‘+26的值.

23456

解：^：S=l+2+2+2+2+2+2

將等式兩邊同時(shí)乘以2,得：

2S=2+22+23+24+25+26+27

將以上兩式相減，得：

2S-S=27-1

即S=27-1

所以1+2+2?+23+24+25+2$=27-1

請仿照此方法完成下列問題：

⑴1+2+2,+23+24++21°=.(直接寫出結(jié)果)

⑵計(jì)算：2+22+23+2，+210(寫出解答過程).

(3)計(jì)算：1+5+5?+53+54+.+52021(寫出解答過程).

【變式訓(xùn)練2】.觀察下面的變形規(guī)律：工=1-1,工

1x222x3233x434

解答下面的問題：

(1)-^-=,---------------=

4x5-------2020x2021--------

1

⑵若”為正整數(shù)，猜想二萬=.

fL\fLI_LI

⑶求值----1--------1--------FH-----------------

1x22x33x42020x2021

【變式訓(xùn)練3】.觀察下列算式，

第一個(gè)式子擊

第二個(gè)式子一=口一X；；

x^x+2)\xx+2J2

人1(11)1

第三個(gè)式子7———x-

%(xT+3)\xx+3)3;

人1(11)1

第四個(gè)式子不^=——yrK

x(x+4)\xx+4J4

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題：

⑴寫出第〃個(gè)算式：(〃為正整數(shù))

1

(2)------------------二〃，機(jī)為正整數(shù)且相

'7(x+m)(x+---------

111

⑶若弧一2|+(4-1)=0,試求(a+i)(b+i)+(a+2)優(yōu)+2)++(0+2024)(6+2024)的值，

類型三、圖形類

例.由鑲嵌知識可知，邊長相等的正六邊形、正方形、正三角形三種地磚可進(jìn)行無縫密鋪，觀察圖1、圖2、

圖3,完成如下解答.

圖I圖2

⑴填寫下表:

圖序正六邊形個(gè)數(shù)正方形個(gè)數(shù)正三角形個(gè)數(shù)

圖1166

圖22

圖33

(2)①圖"中，正方形地磚數(shù)量為塊、正三角形地磚的數(shù)量為塊;

②求圖10中正方形地磚和正三角形地磚的總數(shù)量.

【變式訓(xùn)練1】.火柴拼圖是一種道具簡單、開啟思維、挖掘智力、陶冶情趣的數(shù)字游戲.這種游戲形式萬

千，可簡可繁.七年級的同學(xué)們學(xué)了"用字母表示數(shù)"和"列代數(shù)式”的內(nèi)容后，數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)們利

用課外活動(dòng)時(shí)間舉行用火柴棒拼圖的實(shí)踐活動(dòng).他們按照下圖所示的方法拼圖，探究不同圖形中共拼出的

三角形個(gè)數(shù)，正方形的個(gè)數(shù)及所用火柴棒的根數(shù)與所拼圖之間的關(guān)系，請你參與進(jìn)去進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

⑴觀察：觀察下圖中正方形的個(gè)數(shù)及所用火柴棒根數(shù)，并填寫下表中的空格：

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

拼成三角形個(gè)數(shù)12--

拼成的正方形個(gè)數(shù)35--

所用火柴棒總根數(shù)1220--

⑵探究：按如圖所示的方法拼成的第〃個(gè)圖中，三角形和正方形的個(gè)數(shù)各有多少？所用的火柴棒總根數(shù)是

多少？(用含W的代數(shù)式表示，并與同學(xué)們進(jìn)行交流)

【變式訓(xùn)練2工找規(guī)律：

⑴小馬利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表:

輸入12345

]_2345

輸出

2I101726

請問：當(dāng)八馬輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是（）

⑵一張長方形桌子可坐6人，按下圖方式講桌子拼在一起.

①2張桌子拼在一起可坐_____人，3張桌子拼在一起可坐一人，〃張桌子拼在一起可坐______人.

②一家餐廳有40張這樣的長方形桌子，按照上圖方式每5張桌子拼成1張大桌子，則40張桌子可拼成8

張大桌子，共可坐多少人.

【變式訓(xùn)練3】.觀察圖1至圖5中小黑點(diǎn)的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第〃個(gè)圖中小黑點(diǎn)

的個(gè)數(shù)為V

（1）（2〉（3）（4）（5）

①填表：

n12345

y13-13-

②當(dāng)〃=8時(shí)，y=_.

③你能發(fā)現(xiàn)n與y之間的關(guān)系嗎？

??壓軸能力測評X

1.觀察下面的整式，根據(jù)規(guī)律寫出橫線上的整式：a,-a1,a3,-/,…，第〃個(gè)整式是；

2.觀察下列單項(xiàng)式：x,-3/,9x3,-27/,81?,-243f…考慮它們的系數(shù)和次數(shù).請寫出第8個(gè):.

3.按一定規(guī)律排列的數(shù)依次為：-g,Q，-鼻，且，…，其中aw0,按此規(guī)律排列下去，第10個(gè)數(shù)是

4.觀察下列等式：

113

第1個(gè)等式：1-

2222

124

第2個(gè)等式：1-

第3個(gè)等式：l-31=3jx5j

4-44

按上述規(guī)律，回答下列問題：

(1)請寫出第四個(gè)等式：_；

(2)第w個(gè)等式為：_；

⑶計(jì)算:『《卜『卦

5.觀察下列算式:

113+1_22

1+—=；

3F-1^3

?18+1__32

1+-=-

8~8~274

,115+142

]_|___=_____=____

15153x5

按照上面的規(guī)律完成下列各題：

(1)第四個(gè)算式：1+1=舒==

(2)第五個(gè)算式為二

6.觀察下列等式：

第1個(gè)等式：15?=xx12b10(

第2個(gè)等式：25?=xx23b1(X

第3個(gè)等式：35?=xx3410(

根據(jù)上述規(guī)律解答下列問題：

(1)任意寫出一個(gè)有相同規(guī)律的等式」

(2)①直接寫出第〃個(gè)(?>1,且"是整數(shù))等式」

②請證明你在①中所寫的等式成立.

7.【觀察思考】如圖,是某同學(xué)在棋盤上用圍棋擺成的圖案.

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

(1)第⑤個(gè)圖案中"?"的個(gè)數(shù)為,的個(gè)數(shù)為

(2)第"個(gè)圖案中"?"的個(gè)數(shù)為,的個(gè)數(shù)為

【規(guī)律應(yīng)用】

(3)該同學(xué)準(zhǔn)備用100枚"?"棋子和100枚"。"棋子擺放第w個(gè)圖案，擺放成完整的圖案后，寫出n的最大

值為;此時(shí)還剩下枚棋子.

8.【觀察思考】

作一個(gè)正方形、設(shè)每邊長為。，將每邊四等分，作一凸-凹的兩個(gè)邊長嘴的小正方形，如此連續(xù)操作幾次,

便可構(gòu)成一朵絢麗多彩的雪花圖案.

圖1圖2圖3

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請用含。的式子填空：

（1）正方形進(jìn)行第1次分形后得到了圖2,此圖形的周長為；

（2）重復(fù)上述的操作，圖1需要經(jīng)過第一次分形后才能得到圖3的圖案.

請用含。和〃的式子填空：

（3）經(jīng)過“次分形得到的圖案周長為,面積為.

【規(guī)律應(yīng)用】

（4）結(jié)合上述規(guī)律，若分形前正方形的邊長為1,是否存在不大于10的正整數(shù)〃，使得按規(guī)