一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題21一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題四種模型全攻略

'丁工【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】............................................................................1

【考點(diǎn)——次函數(shù)的應(yīng)用一一分配方案問題】................................................1

【考點(diǎn)二一次函數(shù)的應(yīng)用一一最大利潤問題】................................................5

【考點(diǎn)三一次函數(shù)的應(yīng)用一一行程問題】....................................................8

【考點(diǎn)四一次函數(shù)的應(yīng)用一一幾何問題】...................................................12

【過關(guān)檢測】.........................................................................15

【典型例題】

【考點(diǎn)——次函數(shù)的應(yīng)用一一分配方案問題】

例題（2023春?云南臨滄?八年級統(tǒng)考期末）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某省實(shí)行城市援助鄉(xiāng)鎮(zhèn)的政策?該省的/

市有120噸物資，B市有130噸物資?經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)該省的甲鄉(xiāng)需要140噸物資，乙鄉(xiāng)需要110噸物資?于是決

定由/、8兩市負(fù)責(zé)援助甲、乙兩鄉(xiāng)、已知從N市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為300元/噸、150元/

噸，從8市往甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的運(yùn)費(fèi)分別為200元/噸、100元/噸.

⑴設(shè)從《市往甲鄉(xiāng)運(yùn)送x噸物資，從/、8兩市向甲、乙兩鄉(xiāng)運(yùn)送物資的總運(yùn)費(fèi)為了元，求了與x的函數(shù)解

析式.

⑵請?jiān)O(shè)計(jì)運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)送方案，并求出最低運(yùn)費(fèi).

【答案】（l）^=50^+45000（10<x<120）；

⑵見解析

【分析】Q）根據(jù)A市的120噸物資運(yùn)往甲鄉(xiāng)x噸，運(yùn)往乙鄉(xiāng)（120-x）噸，B市的130噸物資運(yùn)往甲鄉(xiāng)（140-x）

噸，運(yùn)往乙鄉(xiāng)（110-120+x）噸的費(fèi)用求和，即可確定了與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可確定運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)送方案和最低運(yùn)費(fèi).

【詳解】(1)解：由題意可得，y=300x+150(120-x)+200(140-x)+100(110-120+x)=50x+45000,

x>0,120-x>0,140-x>0,110-120+x>0,

.”的取值范圍是10JW120,

???V與X的函數(shù)解析式為>=50x+45000(104x4120)；

(2)?■-50>0,

?.J隨著x增大而增大，

當(dāng)x=10時，了取得最小值，最小值為50x10+45000=45500(元)，

此時從A市往甲鄉(xiāng)運(yùn)送10噸物資，從A市往乙鄉(xiāng)運(yùn)送110噸物資，從8市往甲鄉(xiāng)運(yùn)送130噸物資物資，從8

市往乙鄉(xiāng)運(yùn)送0噸物資，

答：運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)送方案是：從A市往甲鄉(xiāng)運(yùn)送10噸物資，從A市往乙鄉(xiāng)運(yùn)送110噸物資，從B市往甲鄉(xiāng)運(yùn)

送130噸物資物資，從8市往乙鄉(xiāng)運(yùn)送0噸物資，最低運(yùn)費(fèi)為45500元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?河南鄭州?八年級河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)4月23日是"世界讀書日"，某書店在這一天舉行了

購書優(yōu)惠活動，有兩種優(yōu)惠方案可以選擇：

方案一：享受當(dāng)天購書按標(biāo)價總額8折的普通優(yōu)惠；

方案二：50元購買一張“書香城市紀(jì)念卡”，當(dāng)天憑卡購書，享受標(biāo)價總額在普通優(yōu)惠的基礎(chǔ)上再打7.5折的

優(yōu)惠.

設(shè)小明當(dāng)天購書標(biāo)價總額為x(x>50)元，方案一應(yīng)付弘元，方案二應(yīng)付外元.

⑴當(dāng)尤=150時，請通過計(jì)算說明選擇哪種購書方案更劃算；

⑵直接寫出3%與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑶小明如何選擇購書方案才更劃算？

【答案】⑴小明用方案一購書更劃算；計(jì)算見解析；

⑵必=0.5x,y2=0.6x+50；

⑶見解析.

【分析】(1)當(dāng)X=150時，根據(jù)方案一和方案二計(jì)算出實(shí)際花費(fèi)，然后比較即可；

(2)根據(jù)題意給出的等量關(guān)系即可求出答案；

（3）根據(jù)y關(guān)于x的函數(shù)解析式，求出兩種方案所需費(fèi)用相同時的書本數(shù)量，從而可判斷哪家書店省錢.

【詳解】（1）解：當(dāng)x=150時，

方案一：150x0.8=120（元），

方案二：50+150x0.8x0.75=50+90=140（元），

?1?120<140,

???小明用方案一購書更劃算；

（2）解：由題意得：方案一：必=0.8x；

方案二：%=50+0.8*0.75x=0.6x+50；

???必與x的函數(shù)關(guān)系式為必=0.8x；%與x的函數(shù)關(guān)系式為%=0-6X+50；

（3）解:當(dāng)%>為時，即0.8x>0.6x+50,

解得x>250；

當(dāng)必時，§P0.8x<0.6x+50,

解得x<250；

當(dāng)必=為時，即0.8x=0.6x+50,

解得x=250.

.?.當(dāng)x<250時，方案一更劃算，當(dāng)x>250時，方案二更劃算，當(dāng)x=250時，方案一和方案二一樣劃算.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型.

2.（2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）暑期將至，某健身俱樂部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動，活動方

案如下.

方案一：購買一張學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按六折優(yōu)惠；

方案二：不購買學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按八折優(yōu)惠.

設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費(fèi)用為必（元），且+按照方案二所需費(fèi)用為必

（元），且上=魚立其函數(shù)圖象如圖所示.

⑴求左i和6的值，并說明它們的實(shí)際意義；

⑵求打折前的每次健身費(fèi)用和質(zhì)的值；

⑶八年級學(xué)生小華計(jì)劃暑期前往該俱樂部健身7次，應(yīng)選擇哪種方案所需費(fèi)用更少？請說明理由.

【答案】（1）后的實(shí)際意義是：打六折后的每次健身費(fèi)用為15元.6的實(shí)際意義是：每張學(xué)生暑期專享卡的

價格為30元

⑵打折前的每次健身費(fèi)用為25（元），e=20

⑶選擇方案一所需費(fèi)用更少.理由見解析

【分析】⑴直接根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行解答；

⑵根據(jù)方案一打折后每次健身費(fèi)用是15元，因?yàn)槭谴蛄?，故可求打折前的費(fèi)用；然后根據(jù)方案二再打八

折即可求得后；

⑶根據(jù)（1）（2）即可得到%=左》+6,%=&x,當(dāng)必=%時，解得：x=6.即可得到答案.

【詳解】（1）解：必=/x+6的圖象過點(diǎn)（0,30）和點(diǎn)（10,180）,

J30=6,J左=15,

'[180=10/+6「1b=30..

自的實(shí)際意義是：打六折后的每次健身費(fèi)用為15元.

b的實(shí)際意義是：每張學(xué)生暑期專享卡的價格為30元.

（2）打折前的每次健身費(fèi)用為15+0.6=25（元）

k2=25x0.8=20.

（3）選擇方案一所需費(fèi)用更少.理由如下：

由（1）知左=15,6=30,

弘=15x+30.

由（2）知僅=20,

y2=2Ox.

當(dāng)時,15x+30=20x,解得：x=6.

結(jié)合函數(shù)圖象可知，小華暑期前往該俱樂部健身7次，選擇方案一所需費(fèi)用更少.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，看懂圖象，理解題意，理解兩種優(yōu)惠方案之間的關(guān)鍵是解題的關(guān)

鍵.

【考點(diǎn)二一次函數(shù)的應(yīng)用一一最大利潤問題】

例題(2023春?貴州黔南?八年級統(tǒng)考期末)某地允許市場經(jīng)營主體在規(guī)范有序的條件下，采取‘店鋪外擺”"露

天市場”方式進(jìn)行銷售.個體業(yè)主小王響應(yīng)號召，采取“店鋪外擺"方式銷售甲、乙兩種特價商品，兩種商品

的進(jìn)價與售價如表所示：

甲商品乙商品

進(jìn)價(元/件)4010

售價(元/件)5015

小王計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小王購進(jìn)甲商品x件，甲、乙兩種商品全部銷售完后

獲得的利潤為y元.

⑴求出夕與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若購進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的4倍，當(dāng)購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件時，可使得甲、乙兩種

商品全部銷售完后獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】⑴y=5x+500

(2)當(dāng)購進(jìn)甲種商品20件，乙種商品70件時，可使得甲、乙商品全部銷售完后獲得的利潤最大為600元

【分析】(D設(shè)購進(jìn)甲商品x件，則購進(jìn)乙商品(100-x)件，根據(jù)題意即可列出>與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)購進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的4倍，可得當(dāng)x=20時，y取得最大值，即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可得：^=(50-40)x+(15-10)(100-^)=5x+500,

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=5x+500；

(2)解：由題意，得100-x24x,解得無V20.

??,y=5x+500,

???左二5〉0,

隨X增大而增大，

.,.當(dāng)x=20時，y的值最大，y=5x20+500=600,

此時100-20=70,

答：當(dāng)購進(jìn)甲種商品20件，乙種商品70件時，可使得甲、乙商品全部銷售完后獲得的利潤最大為600

元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣西南寧?八年級?？计谀┬《谀尘W(wǎng)店選中A,8兩款玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售.兩

款玩偶的進(jìn)貨價和銷售價如表：

A款玩偶3款玩偶

進(jìn)貨價（元/個）2015

銷售價（元/個）2820

⑴第一次小冬用550元購進(jìn)了A,3兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進(jìn)多少個；

⑵第二次小冬進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過8款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半.小冬計(jì)劃購進(jìn)兩款

玩偶共45個，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

【答案】⑴A款玩偶購進(jìn)20個，3款玩偶購進(jìn)10個

⑵按照A款玩偶購進(jìn)15個、8款玩偶購進(jìn)30個的方案進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是270元

【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；

（2）根據(jù)題意，可以寫出利潤與購進(jìn)A款玩偶數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得

超過3款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半，可以得到A款玩偶數(shù)量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分析，即

可得到答案.

【詳解】（1）解:設(shè)A款玩偶購進(jìn)x個，8款玩偶購進(jìn)（30-x）個，

由題意得：20x+15（30-x）=550,解得：x=20,

.-.30-x=30-20=10（:個），

答：A款玩偶購進(jìn)20個，8款玩偶購進(jìn)10個；

（2）解：設(shè)A款玩偶購進(jìn)。個，B款玩偶購進(jìn)（45-a）個，獲利了元，

由題意得：>=（28-20%+（2。-15）（45-。）=3。+225,

??T款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過8款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半.

a—（45—a）,解得a415,

,/y=3a+225,

由上=3>o,可知了隨。的增大而增大,

...當(dāng)a=15時，>最大=3xl5+225=27°(兀),

款玩偶為:45-15=30（個），

答：按照A款玩偶購進(jìn)15個、B款玩偶購進(jìn)30個的方案進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是270元.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函

數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

2.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考二模）俄烏戰(zhàn)爭仍在繼續(xù)，人們對各種軍用裝備倍感興趣，某商家購進(jìn)坦克模型（記

作/）和導(dǎo)彈（記作8）兩種模型，若購進(jìn)/種模型10件，8種模型5件，需要1000元；若購進(jìn)/種模型

4件，2種模型3件，需要550元.

⑴求購進(jìn)力,8兩種模型每件分別需多少元？

⑵若銷售每件N種模型可獲利潤20元.每件B種模型可獲利潤30元.商店用1萬元購進(jìn)模型，且購進(jìn)/

種模型的數(shù)量不超過2種模型數(shù)量的8倍，設(shè)總盈利為少元，購買2種模型6件，請求出沙關(guān)于6的函數(shù)

關(guān)系式，并求出當(dāng)6為何值時，銷售利潤最大，并求出最大值.

【答案】⑴/、2兩種模型每件分別需要25元，150元

⑵卬=8000-906,購進(jìn)/模型226件，2模型29件利潤最大為5390元

【分析】（1）設(shè)購進(jìn)48兩種模型每件分別需要x元，y元，列方程組求解即可.

（2）設(shè)購買/種模型。件，購買3種模型6件，由題意列出方程組，求出6的范圍，再列出少與6的函

數(shù)關(guān)系式，求最值即可.

【詳解】（1）設(shè)購進(jìn)/、3兩種模型每件分別需要x元，y元，由題意得:

10x+5^=1000

4x+3y=550

尤=25

解得

7=150

答：/、3兩種模型每件分別需要25元，150元.

（2）設(shè)購買/種模型a件，8種模型6件,

25a+1506=10000

a<Sb

解得62一

則購買4種模型為咽答絲件，即（400-66）件,

則w=20x(400-6b)+306,即w=8000-90b

v-90<0,

???當(dāng)6取最小值時總利潤最大，由（2）得6為整數(shù)，

.?.當(dāng)6=29時，w=8000-90x29=5390,

???購進(jìn)/模型226件，B模型29件利潤最大為5390元

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系,

正確列出方程組，函數(shù)關(guān)系式，不等式組是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三一次函數(shù)的應(yīng)用一一行程問題】

例題：（2023春?山東淄博?七年級統(tǒng)考期中）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出

發(fā)開往乙地.如圖，線段04表示貨車離甲地距離M千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系；折線3。表示

轎車離甲地距離y（千米）與M小時）之間的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖象解答下列問題：

⑴求線段CD對應(yīng)的函數(shù)解析式.

（2）貨車從甲地出發(fā)后多長時間被轎車追上？此時離甲地的距離是多少千米？

⑶轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地多少千米.

【答案】⑴線段。對應(yīng)的函數(shù)解析式為＞=110xT95

⑵貨車從甲地出發(fā)后3.9小時被轎車追上，此時離甲地的距離是234千米

（3）轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地30千米

【分析】（1）設(shè)線段。對應(yīng)的函數(shù)解析式為V=h+b,由待定系數(shù)法求出其解即可；

（2）設(shè)04的解析式為方=/x,由待定系數(shù)法求出解析式，由一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系建立方程求

出其解即可.

（3）先由函數(shù)圖象求出貨車在轎車到達(dá)乙地是時需要的時間，由路程=速度x時間就可以求出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為、=區(qū)+6,由題意，得

[80=2.5左+b

1300=4.5左+b'

解得：U優(yōu)-=119105-

則y=110口-195.

答：線段。對應(yīng)的函數(shù)解析式為V=H0x-195；

(2)設(shè)04的解析式為春=《x,由題意，得

300=5左，

解得：左=60,

y貨=60x.

,當(dāng)〉=y貨時,

110195=60x,

解得：x=3.9.

離甲地的距離是：3.9x60=234千米.

答：貨車從甲地出發(fā)后3.9小時被轎車追上，此時離甲地的距離是234千米；

(3)由題意，得60x(5-4.5)=30千米.

答：轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地30千米.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與

一元一次方程的運(yùn)用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.Q023?河北滄州??？寄M預(yù)測)航模興趣小組在操場上進(jìn)行航模試驗(yàn)，甲型航模從距離地面20米處出發(fā),

以。米/分的速度勻速上升，乙型航模從距離地面50米處同時出發(fā)，以15米/分的速度勻速上升，經(jīng)過6分

鐘，兩架航模距離地面高度都是6米，兩架航模距離地面的高度y米與時間x分鐘的關(guān)系如圖.兩架航模都

飛行了20分鐘.

⑴直接寫出a、b的值；

⑵求出兩架航模距離地面高度y.、（米）與飛行時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式;

（3）直接寫出飛行多長時間，兩架航模飛行高度相差25米？

【答案】⑴"20,6=140；

⑵稀=20X+20,=15%+50；

⑶飛行1分鐘或者11分鐘時，兩架航模飛行高度相差25米

【分析】（1）利用速度、路程、時間的關(guān)系直接計(jì)算即可.

（2）根據(jù)一次函數(shù)中一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際意義直接列函數(shù)關(guān)系式即可.

（3）令隔-%|=25,解方程得到x的值，即可得到答案.

【詳解】（1）6分鐘時，乙型航模距離地面高度為：50+15x6=140（米），

."=140.

a=20,b=140.

（2）由題意可得：=15x+50,

設(shè)h=b+20,把（6,140）代入得，6k+20=140,解得左=20,

二.y甲=20%+20.

（3）y甲一）乙=20%+20—（15%+50）=5%—30,

令甲—y乙|=25,

則5%一30=25,或5%-30=-25,

解得X=ll,或x=l.

答：飛行1分鐘或者11分鐘時，兩架航模飛行高度相差25米.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解函數(shù)圖象表示的意義是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?江蘇淮安?九年級校考期中）如圖1,甲、乙兩車分別從相距480km的A、5兩地相向而行，乙

車比甲車先出發(fā)1小時，并以各自的速度勻速行駛，甲車到達(dá)。地后因有事立刻按原路原速返回A地.乙車

從5地直達(dá)A地，兩車同時到達(dá)A地.甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程V（千米）與甲車出發(fā)所用的時間工

（小時）的關(guān)系如圖2,結(jié)合圖像信息解答下列問題：

⑴乙車的速度是_千米/時，乙車行駛一小時到達(dá)A地；

⑵求甲車從C地按原路原速返回A地的過程中，甲車距它出發(fā)地的路程了與它出發(fā)的時間x的函數(shù)關(guān)系式;

⑶求甲車出發(fā)多長時間兩車相距60千米？

【答案】⑴80,6

(2)J=-120x+600

⑶甲車出發(fā)經(jīng)過1.7h,2.3h,3.5h,兩車相距60千米.

【分析】(1)結(jié)合題意，利用速度=路程+時間，可得乙的速度、行駛時間；

(2)找到甲車到達(dá)C地和返回A地時x與了的對應(yīng)值，利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式；

(3)分三種情況，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回/地時，根據(jù)甲、乙兩車相距60千米分情況討

論即可求解.

【詳解】(1),??乙車比甲車先出發(fā)1小時，由圖象可知乙行駛了80千米，

二乙車速度為：80千米/時，乙車行駛?cè)痰臅r間t=480-80=6(小時)；

故答案為：80,6；

(2)根據(jù)題意可知甲從出發(fā)到返回A地需5小時，

???甲車到達(dá)C地后因立即按原路原速返回A地，

結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=g時，)=300；當(dāng)x=5時，y=0；

設(shè)甲車從C地按原路原速返回A地時，即

甲車距它出發(fā)地的路程了與它出發(fā)的時間x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

5—k+b=300

將(5,300),(5,0)函數(shù)關(guān)系式得：2,

2[5k+b=0

快=-120

解得：IhAnn,

[b=600

故甲車從C地按原路原速返回A地時，

甲車距它出發(fā)地的路程y與它出發(fā)的時間x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-120%+600；

（3）由題意可知甲車的速度為：—=120（千米/時），

設(shè)甲出發(fā)經(jīng)過加小時兩車相距60千米，有以下三種情況：

①120加+80（加+1）+60=480,解得加=1.7

②120機(jī)+80（加+1）=480+60,解得比=2.3

（3）120（m-2.5）+60=（m-2.5）+100,解得加=3.5

綜上，甲車出發(fā)經(jīng)過1.7h,2.3h,3.5h,兩車相距60千米，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用問題，解答此題的關(guān)鍵是要理解分段函數(shù)圖象所表示的實(shí)際意義,

準(zhǔn)確找到等量關(guān)系.

【考點(diǎn)四一次函數(shù)的應(yīng)用一一幾何問題】

例題：（2023春?河南南陽?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形/3CZ）的邊長為4,P為正方形邊上一動點(diǎn),

運(yùn)動路線是。-Cf設(shè)尸點(diǎn)經(jīng)過的路程為x,以點(diǎn)月、P、。為頂點(diǎn)的三角形的面積是乃則下列

圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

【分析】根據(jù)動點(diǎn)從點(diǎn)。出發(fā)，首先向點(diǎn)C運(yùn)動，此時y隨x的增加而增大，當(dāng)點(diǎn)P在。C上運(yùn)動時，丁不

變，當(dāng)點(diǎn)尸在上運(yùn)動時，V隨著x的增大而減小，據(jù)此作出選擇即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)。向點(diǎn)C運(yùn)動，即04x44時，y=g4D-x=gx4x=2x；

當(dāng)點(diǎn)尸在8C上運(yùn)動，即4<x<8時，y=1x4x4=8,是一個定值;

當(dāng)點(diǎn)P在24上運(yùn)動，即8<xV12時，了隨x的增大而減小.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解決動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)了隨x的變化而變化的

趨勢.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021春?福建漳州?七年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知動點(diǎn)尸從2點(diǎn)出發(fā)，以每秒2cm的

速度在圖①的邊（相鄰兩邊互相垂直）上按CfOfE”尸“/的路線移動，相應(yīng)的A/BP的面積

S（cm2）與點(diǎn)尸的運(yùn)動時間Ms）的圖象如圖②所示，且4B=6cm.當(dāng)S=30cm2時，，=.

【答案】7s或11s

【分析】從圖象上分析可知，由于速度是2cm/s,圖中0~4的過程為尸點(diǎn)在線段3C上，故8c=4x2=8cm,

4~6為CD=4,6~9為DE=6,9?10為斯=2,10至畀為E4,FA=BC+DE=14,6=10+14+2=17,

根據(jù)A4BP的面積為30cm2,底邊48=6cm可知高為10cm,也就是尸點(diǎn)距離48的距離是10cm,從數(shù)據(jù)上

可知，尸在線段上有一個符合條件的點(diǎn)，在線段"'上有一個符合條件的點(diǎn)，求出對應(yīng)的t值.

【詳解】解：由圖可知，

尸點(diǎn)的運(yùn)動速度為2cm/s,

BC=4x2=8（cm）,CD-2x2=4（cm）,Z）E=3x2=6（cm）,EF=1x2=2（cm）,

FA=BC+DE=\^cm）,

■：S=30cm2,AB=6cm,

???點(diǎn)P至IjAB的距離為30x2+6=10（cm）,

故可知P在線段DE上和線段相上各有一個尸點(diǎn)滿足條件,

^D=10-8=2（cm）,

.?/=(3C+CO+Oq)+2=7(s),

當(dāng)月在線段川上時：P2F=AF-10,

P2F=14-10=4(cm),

t=(BC+CD+DE+EF+FP℃=ll(s),

故答案為：7s或Ils.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的圖象，一次函數(shù)和動點(diǎn)問題的應(yīng)用，三角形的面積公式.

2.(2023春?安徽宿州?七年級?？计谥?如圖，在長方形48CQ中，BC=8,CD=6,點(diǎn)、E為邊AD上一動

點(diǎn)，連接CE,隨著點(diǎn)￡的運(yùn)動，的面積也發(fā)生變化.

⑴寫出△￡>色的面積了與NE的長x(0<x<8)之間的關(guān)系式;

(2)當(dāng)x=3時，求y的值.

【答案】⑴N=-3x+24

⑵15

【分析】(1)可求DE=8-x,由〉=3S)?￡>￡即可求解；

(2)將x=3代入解析式即可求解.

【詳解】(1)解：由題意得：

DE=8—x,

y=-CDDE

2

=；x6x（8一%）

=—3x+24.

答：4DCE的面積y與/E的長x（O<x<8）之間的關(guān)系式為y=-3x+24.

（2）解:當(dāng)x=3時，

y=-9+24=15,

答：當(dāng)x=3時，>=15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)在動點(diǎn)問題中的應(yīng)用，掌握‘化動為靜”的方法解決動點(diǎn)問題的方法是解題

的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）市自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，采

取月用水量分段收費(fèi)辦法，某戶居民應(yīng)交水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系如圖，若該用戶本月用

水21噸，則應(yīng)交水費(fèi)（）

A.52.5元B.48元C.45元D.42元

【答案】D

【分析】當(dāng)尤>15時，可設(shè)>=辰+6"30）,結(jié)合圖形，利用待定系數(shù)法即可求出V與x的函數(shù)解析式；將

x=21代入以上所求的函數(shù)解析式中，求出了值，即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)直線42解析式為V=E+6（x>15）,把（15,27）,（20,39.5）代入得：

"+6=27

說左+6=39.5'

住=2.5

解得[6=-10.5

y=2.5x-10.5,

當(dāng)x=21時，y=2.5x21-10.5=42（元）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法.

2.（2023?陜西西安??？级＃┰谖锢韺?shí)驗(yàn)課上，小鵬利用滑輪組及相關(guān)器材進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，他把得到的拉力下

（N）和所懸掛物體的重力G（N）的幾組數(shù)據(jù)用電腦繪制成如圖所示的圖象（不計(jì)繩重和摩擦），請你根據(jù)

圖象判斷以下結(jié)論不正確的是（）

B.當(dāng)拉力尸=1.5N時，物體的重力G=6N

C.當(dāng)物體的重力G=7N時，拉力尸=1.9N

D.當(dāng)滑輪組不懸掛物體時，所用拉力為0.5N

【答案】B

【分析】由函數(shù)圖象可以直接判斷設(shè)出拉力廠與重力G的函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,

G=6,7,0,代入函數(shù)解析式求值即可判斷8,C,D.

【詳解】解：由圖象可知，拉力廠隨著重力的增加而增大，故/說法正確，選項(xiàng)不符合題意；

???拉力廠是重力G的一次函數(shù)，

.,.設(shè)拉力廠與重力G的函數(shù)解析式為尸=2+/左=0），

6=0.5

左+6=0.7

,拉力廠與重力G的函數(shù)解析式為尸=0.2G+0.5,

當(dāng)G=6時，拉力尸=02x6+0.5=1.7,故3說法錯誤，選項(xiàng)符合題意；

當(dāng)G=7時，拉力F=0.2x7+0.5=1.9,故C說法正確，選項(xiàng)不符合題意；

???G=0時，拉力尸=0.5,故。說法正確，選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

3.（2023春?重慶九龍坡?八年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校統(tǒng)考階段練習(xí)）在5.1勞動節(jié)期間，甲乙兩人相約一起

去登山，登山過程中，甲先爬了100米、乙才開始追趕甲，乙行了2分鐘后，速度變成甲登山速度的3倍,

甲、乙兩人距地面的高度y（米）與乙登山時間x（分）之間的函數(shù)圖像如圖所示，根據(jù)圖像所提供的信息

有下列說法：①甲的登山速度10米/分；②/=11分；③當(dāng)乙行了6.5分鐘后，甲乙相遇；④甲乙相遇后,

甲再經(jīng)過1分鐘與乙相距20米，其中正確的有（）

A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①根據(jù)圖象可知道山的高度和所用時間，即可求出乙登山的速度；

②當(dāng),>2時，根據(jù)高度=初始高度+速度x時間，即可得出V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，令夕=300可求出相應(yīng)x

的值，即可得到（的值；

③先求出甲、乙距離底面函數(shù)解析式，再根據(jù)路程之間的關(guān)系列出方程求解即可；

④求出兩個解析式后，分別根據(jù)時間計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)值，作差即可求解.

【詳解】解：①甲的登山高度是200米，用時20分鐘，故速度是20+20=10米/分，故①正確；

②當(dāng)x〉2時，,y=30+10x3（x—2）=30x—30,

當(dāng)y=30x—30=300時，%=11,故，=11,

故②正確；

③乙提速后距地面的高度了（米）與登山時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為：

^=30x-30（2<x<ll）；

甲登山全程中，距地面的高度〃米）與登山時間打分）之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=10x+100（0W2W20）

當(dāng)10x+100=30x-30時

解得:x=6.5；

故③正確；

④令x=7.5,30x-30=195,10x+100=175,

195-175=20,

甲乙相遇后，甲再經(jīng)過1分鐘與乙相距20米，故④正確；

綜上，①②③④均正確，故正確答案為。.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式.

二、填空題

4.（2023春?山東荷澤?八年級?？茧A段練習(xí)）拖拉機(jī)工作時，油箱中的余油量。（升）與工作時間1（時）d

關(guān)系式為。=40-5j當(dāng)"4時，Q=升，從關(guān)系式可知道這臺拖拉機(jī)最多可工作小時.

【答案】208

【分析】根據(jù)題意，將f=4代入計(jì)算。即可得到答案，令020即可求出最多工作的時間.

【詳解】解：當(dāng)7=4時，2=40-5x4=20；

根據(jù)拖拉機(jī)工作時必須有油，得：。2。，

代入得到：。=40-5d0,

解得：/48,

故答案為：20；8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用，做題是要注意自變量的取值范圍，例如油

量不可以為負(fù)數(shù).

5.（2023春?安徽宿州?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，李大爺要圍成一個長方形菜園/BCD,菜園的一邊利用

足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊總長度恰好為32m.設(shè)2C邊的長為xm,N8邊的長為沖，則y與x

之間的關(guān)系式是.

墻

【答案】y=~^x+16

【分析】根據(jù)矩形周長公式寫出〉與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可.

【詳解】解：???三邊總長恰好為32m,設(shè)8c邊的長為xm,邊的長為沖，

=g（32-x）=—gx+16.

故答案為：了=-]X+16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握矩形周長公式.

6.（2023春?北京石景山?七年級統(tǒng)考期末）小石的媽媽需要購買盒子存放15升的食物，且要求每個盒子要

裝滿.現(xiàn)有48兩種型號的盒子，單個盒子的容量和價格如下表.

型號AB

單個盒子容量（升）23

單價（元）1315

（1）寫出一種購買方案，可以為;

（2）恰逢五一假期，A型號盒子正在做促銷活動，即購買三個及三個以上可一次性返現(xiàn)金10元，則購買盒

子所需要的最少費(fèi)用為元.

【答案】購買方案為3個A型號，3個3型號（答案不唯一）74

【分析】（1）設(shè)購買A型號為。個，購買3型號為6個，根據(jù)題意列二元一次方程即可解答；

（2）設(shè)購買A型號的盒子無個，則購買8型號的盒子個數(shù)為工一個，并設(shè)購買盒子所需要的費(fèi)用為V元，

根據(jù)題意列一次函數(shù)即可解答.

【詳解】解：（1）???小石的媽媽需要購買盒子存放15升的食物，

???設(shè)購買A型號為。個，購買8型號為6個，

??.2a+3b=15,

.??a=3,6=3,

購買方案為3個A型號，3個3型號；

故答案為：購買方案為3個A型號，3個B型號；

(2)設(shè)購買A型號的盒子x個，則購買&型號的盒子個數(shù)為上于個，并設(shè)購買盒子所需要的費(fèi)用為了元,

第一種情況：沒有接受A型號盒子促銷活動的一次性返現(xiàn)金10元，

即當(dāng)0Vx<3時，

y=13x+———xl5=3尤+75,

3

???一次函數(shù)的解析式為>=3X+75,

.,J隨x的增大而增大，

???當(dāng)x=0時，了有最小值，

???購買盒子所需要的最少費(fèi)用為75；

第二種情況：有接受A型號盒子促銷活動的一次性返現(xiàn)金10元，

即當(dāng)x23時,

15-2x

y=13XH----------xl5-10=3x+65,

3

???一次函數(shù)的解析式為y=3x+65(xN3),

?,J隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=3,丁有最小值，

???購買盒子所需要的最少費(fèi)用為74,

???75>74,

???購買盒子所需要的最少費(fèi)用為74,

故答案為74.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與實(shí)際問題，二元一次方程與實(shí)際問題，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

三、應(yīng)用題

7.（2023?廣東深圳?深圳市桂園中學(xué)校考模擬預(yù)測）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計(jì)劃分兩次購進(jìn)/、2兩種花草,

第一次分別購進(jìn)4、8兩種花草30棵和15棵，共花費(fèi)675元；第二次分別購進(jìn)/、8兩種花草12棵和5

棵.共花費(fèi)265元；若兩次購進(jìn)的“、2兩種花草價格均分別相同.

⑴48兩種花草每棵的價格分別是多少元？

⑵若購買/、8兩種花草共30棵，且8種花草的數(shù)量少于/種花草數(shù)量的2倍，請你給出一種費(fèi)用最省的

方案，并求出該方案所需費(fèi)用.

【答案】（1）/種花草每棵的價格是20元，8種花草每棵的價格是5元.

⑵購進(jìn)/種花草的數(shù)量為11株、2種19株，費(fèi)用最省，最省費(fèi)用是315元.

【分析】（1）設(shè)/種花草每棵的價格x元，8種花草每棵的價格〉元，根據(jù)第一次分別購進(jìn)/、8兩種花草

30棵和15棵，共花費(fèi)940元；第二次分別購進(jìn)/、3兩種花草12棵和5棵，兩次共花費(fèi)675元；列出方

程組，即可解答.

（2）設(shè)/種花草的數(shù)量為加株，則2種花草的數(shù)量為（31-加）株，根據(jù)3種花草的數(shù)量少于4種花草的數(shù)

量的2倍，得出加的范圍，設(shè)總費(fèi)用為沙元，根據(jù)總費(fèi)用=兩種花草的費(fèi)用之和建立函數(shù)關(guān)系式，由一次

函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)/種花草每棵的價格x元，2種花草每棵的價格丁元，根據(jù)題意得：

j30x+15k675

[12x+5y=265'

fx=20

解得：<，

答：/種花草每棵的價格是20元，8種花草每棵的價格是5元.

（2）設(shè)/種花草的數(shù)量為〃?株，則8種花草的數(shù)量為（30-加）株，

?:B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍，

30-m<2m,

解得：加>10,

?:m是正整數(shù)，

???加最小值=11，

設(shè)購買樹苗總費(fèi)用為少=20機(jī)+5（30-%）=15機(jī)+150,

k>0,

二少隨X的減小而減小，

當(dāng)加=11時，％小值=15x11+150=315（元）.

答：購進(jìn)/種花草的數(shù)量為11株、2種19株，費(fèi)用最省，最省費(fèi)用是315元.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組和一次函數(shù)，找準(zhǔn)等量列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

8.（2023秋?廣東茂名?八年級校聯(lián)考期中）某文具商店文具促銷給出了兩種優(yōu)惠方案：①買一支鋼筆贈送

一本筆記本，多于鋼筆數(shù)的筆記本按原價收費(fèi)；②鋼筆和筆記本均按定價的八折收費(fèi).已知每支鋼筆定價

為15元，每本筆記本定價為4元.某顧客準(zhǔn)備購買x支鋼筆和筆記本（x+10）本，設(shè)選擇第一種方案購買所

需費(fèi)用為,元，選擇第二種方案購買所需費(fèi)用為為元.

⑴請分別寫出必，為與》之間的關(guān)系式：_，

⑵若該顧客準(zhǔn)備購買10支鋼筆，且只能選擇其中一種優(yōu)惠方案，請你通過計(jì)算說明選擇哪種方案更為優(yōu)

惠.

【答案】⑴%=15X+40,%=15.2X+32,

⑵選擇方案②更為優(yōu)惠，見解析

【分析】（1）根據(jù)兩種優(yōu)惠方案，列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）將x=10代入兩個函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，進(jìn)行比較即可.

【詳解】（1）解：由題意，得：m=15x+4x（x+10-x）=15x+40,

%=[15無+4（x+10）]x80%=15.2x+32；

（2）當(dāng)x=10時，^=15x10+40=190；%=15.2x10+32=184

?1-190>184,

..?選擇方案②更為優(yōu)惠.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，正確的列出一次函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵.

9.（2023春?貴州貴陽?九年級?？茧A段練習(xí)）為進(jìn)行垃圾分類，我校準(zhǔn)備購買A,8兩種型號的垃圾箱，通

過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：購買1個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需340元；購買5個A型垃圾箱和2個B型垃圾

箱共需540元.

⑴求每個A型垃圾箱和3型垃圾箱各多少元？

⑵若需要購買A,5兩種型號的垃圾箱共30個，其中購買A型垃圾箱不超過15個，當(dāng)購買A型垃圾箱多

少個時總花費(fèi)w（元）最少，最少費(fèi)用是多少？

【答案】⑴每個A型垃圾箱50元，每個8型垃圾箱145元

⑵購買A型垃圾箱15個時總花費(fèi)可（元）最少，最少費(fèi)用是2925元

【分析】（1）設(shè)每個N型垃圾箱x元，每個8型垃圾箱y元，根據(jù)"購買1個A型垃圾箱和2個8型垃圾箱

共需340元；購買5個A型垃圾箱和2個8型垃圾箱共需540元"，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組,

解之即可得出答案；

（2）設(shè)購買加個/型垃圾箱，則購買（30-刃）個8型垃圾箱，根據(jù)總價=單價x購進(jìn)數(shù)量，即可得出w關(guān)于

x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題.

【詳解】（1）解：設(shè)每個A型垃圾箱x元，每個8型垃圾箱了元,

x+2y=340

由題意得:

5x+2y=540

x=50

解得:

歹=145

答:每個A型垃圾箱50元，每個6型垃圾箱145元;

（2）設(shè)購買，九個A型垃圾箱，則購買（30-加）個8型垃圾箱,

由題意得：w=50m+145（30-m）=-95m+4350（0<w<15,且加為整數(shù)），

-95<0,

w隨州的增大而減小，

.?.當(dāng)加=15時，卬取最小值，最小值為-95x15+4350=2925,

答：購買A型垃圾箱15個時總花費(fèi)卬（元）最少，最少費(fèi)用是2925元.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出

二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，找出w關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式，并學(xué)會利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最

值問題.

10.（2023春?貴州黔西?八年級校聯(lián)考期末）為慶祝中華人民共和國七十周年華誕，某校舉行書畫大賽，準(zhǔn)

備購買甲、乙兩種文具，獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的師生，已知購買2個甲種文具，1個乙種文具共需要花費(fèi)

35元，購買1個甲種文具，3個乙種文具共需要花費(fèi)30元.

⑴求購買一個甲種文具，一個乙種文具各需多少錢？

⑵若學(xué)校計(jì)劃購買這兩種文具共120個，投入資金不少于955元，又不多于1000元，求有多少種購買方案?

⑶學(xué)校投入資金少元，在(2)的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？

【答案】⑴購買一個甲種文具15元，一個乙種文具5元

⑵有5種購買方案

⑶購買甲種文具36個，乙種文具84個時需要的資金最少，最少資金是960元

【分析】(1)設(shè)購買一個甲種文具。元，一個乙種文具6元，根據(jù)“購買2個甲種文具、1個乙種文具共需

花費(fèi)35元；購買1個甲種文具、3個乙種文具共需花費(fèi)30元"列方程組解答即可;

(2)設(shè)購買甲種文具x個，根據(jù)題意列不等式組解答即可;

(3)求出物與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)設(shè)購買一個甲種文具。元，一個乙種文具b元，由題意得:

2a+b=35。=15

a+36=30，解得

b=5

答：購買一個甲種文具15元，一個乙種文具5元;

(2)設(shè)購買甲種文具x個,

根據(jù)題意得:

955<15x+5(120-x)<1000,

解得35.5VxW40,

??.X是整數(shù),

x=36,37,38,39,40

，有5種購買方案;

(3)FT=15%+5(120-x)=1Ox+600,

vl0>0,

二.少隨工的增大而增大,

當(dāng)x=36時，%小=10x36+600=960(元),

...120—36=84.

答：購買甲種文具36個，乙種文具84個時需要的資金最少，最少資金是960元.

【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列

出方程.

11.(2023春?吉林長春?八年級校考期中)甲，乙兩輛汽車分別從4,2兩地同時出發(fā)，沿同一條公路相向

而行，已知甲車勻速行駛；乙車出發(fā)2h后休息，與甲車相遇后繼續(xù)行駛，結(jié)果同時分別到達(dá)瓦/兩地.設(shè)

甲、乙兩車與5地的距離分別為眸(km),%(km),甲車行駛的時間為x(h),蹄、y乙與x之間的函數(shù)圖

象如圖所示，結(jié)合圖象解答下列問題：

⑵求甲車的速度.