2024年中考模擬試卷數(shù)學（湖南卷）

2024年中考第一次模擬考試（湖南卷）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．有理數(shù)的相反數(shù)是（）A． B． C． D．2．下列計算中，正確的是（）A． B． C． D．3．一元一次方程不等式組的解在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．4．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是中心對稱圖形的是（

）A．

B．C．

D．

5．據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數(shù)據(jù)7358萬用科學記數(shù)法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×1066．如圖，的半徑為5，弦，則的長為（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖所示幾何體的俯視圖是（

）A．

B．

C．

D．

8．如圖，在“經(jīng)典誦讀”比賽活動中，某校10名學生參賽成績如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法錯誤的是（）A．眾數(shù)是90分 B．方差是10 C．平均數(shù)是91分 D．中位數(shù)是90分9．如圖，正方形的對角線交于點O，M是邊上一點，連接，過點O作交于點N，若四邊形的面積是4，則的長為（

）A．2 B． C．4 D．10．拋物線的對稱軸是直線，拋物線與x軸的一個交點在點和點之間，其部分圖象如圖所示，下列結論①；②；③關于x的方程有兩個不相等實數(shù)根；④當時，y隨x增大而增大；⑤；⑥y的最小值為．其中正確的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）11．因式分解：．12．若在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是．13．圓錐的底面半徑是，母線長，則它的側面展開圖的圓心角的度數(shù)為．14．如圖，直線，將含有角的三角形板的直角頂點C放在直線b上，若，則的度數(shù)為．15．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，實數(shù)m的取值范圍是．16．如圖所示，在平行四邊形中，點在上，且，則．17．《九章算術》中記載：“今有人共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數(shù)、羊價各幾何？”譯文：“今有人合伙買羊，若每人出五錢，還差四十五錢；若每人出7錢，還差三錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？”設合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，可列方程組為．18．《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內接正方形的邊長為．三、解答題（本大題共8個小題，第19、20、21題每題6分，第22、23題每題8分，第24、25題每題10分，第26題12分，共66分）19．計算：20．先化簡，再求值：，其中．21．如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌，小李在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為．沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為，已知山坡的坡度，米，米．(1)求點距水平面的高度；(2)求廣告牌的高度．22．如圖，在中，，點為中點，過點分別作的平行線，相交于點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)連接，若，求的長．23．為了解九年級學生的投籃命中率，組織了九年級學生定點投籃，規(guī)定每人投籃3次．現(xiàn)對九年級（1）班每名學生投中的次數(shù)進行統(tǒng)計，繪制成如下的兩幅統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題．(1)九年級（1）班的學生人數(shù)人，扇形統(tǒng)計圖中%；(2)扇形統(tǒng)計圖中“3次”對應的圓心角的度數(shù)為°；(3)在投中3次的學生中，有2個男生2個女生，現(xiàn)要抽調兩名學生參加學校投籃比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．24．如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸上，軸，點的坐標為，將向下方平移，得到，且點的對應點落在反比例函數(shù)的圖象上，點的對應點落在軸上，連接．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求反比例函數(shù)的表達式；(3)求平移的距離及線段掃過的面積．25．如圖，在中，，是的直徑，交于點D，過點D的直線交于點E，交的延長線于點P，是的切線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求圖1中陰影部分的周長；(3)如圖2，若，連接，交于點N，若，求的值．26．定義：在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點坐標為，那么我們把經(jīng)過點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．【特例感知】(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標為______．【深入探究】(2)經(jīng)過點和的拋物線與軸交于點，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為，請用含的代數(shù)式表示點的坐標．【拓展運用】(3)在（2）的條件下，設拋物線的頂點為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對稱軸于點．①當時，求點的坐標．②若直線與直線關于極限分割線對稱，是否存在使點到直線的距離與點到直線的距離相等的的值？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

2024年中考第一次模擬考試（湖南卷）數(shù)學·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．有理數(shù)的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可．【詳解】有理數(shù)的相反數(shù)是，故選：．【點睛】此題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．2．下列計算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法對各選項進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，，正確，故A符合要求；，錯誤，故B不符合要求；，錯誤，故C不符合要求；，錯誤，故D不符合要求；故選：A．【點睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法．熟練掌握積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法是解題的關鍵．3．一元一次方程不等式組的解在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是一元一次不等式組的解法及在數(shù)軸上表示解集，在數(shù)軸上表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵．先分別解出兩個不等式，然后找出解集，表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：，由①得，?，由②得，，故原不等式組的解集為：．在數(shù)軸上表示為：故答案為：D．4．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：一個圖形沿某個點旋轉180度后能與原圖完全重合的；由此問題可求解．【詳解】解：選項A、B、D不能找到一個點繞其旋轉180度后能與原圖完全重合，所以都不是中心對稱圖形，而C選項可以找到一個點繞其旋轉180度后能與原圖完全重合，所以是中心對稱圖形；故選C．【點睛】本題主要考查中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關鍵．5．據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數(shù)據(jù)7358萬用科學記數(shù)法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106【答案】A【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，表示較大的數(shù)，利用科學記數(shù)法的法則解答即可．【詳解】解：7358萬，故選：A．6．如圖，的半徑為5，弦，則的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，由于于點C，所以由垂徑定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．熟練運用垂徑定理并結合勾股定理是解答本題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，在中，，由勾股定理可得：．故選：C．7．如圖所示幾何體的俯視圖是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形判定即可．【詳解】解：從上面看得該幾何體的俯視圖是：

．故選：D．【點睛】此題主要考查了簡單組合體的三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．8．如圖，在“經(jīng)典誦讀”比賽活動中，某校10名學生參賽成績如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法錯誤的是（）A．眾數(shù)是90分 B．方差是10 C．平均數(shù)是91分 D．中位數(shù)是90分【答案】B【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義和統(tǒng)計圖中提供的數(shù)據(jù)分別列出算式，求出答案．【詳解】解：A、∵90出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是90；故此選項不符合題意；B、方差是：；故此選項符合題意；C、平均數(shù)是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此選項不符合題意；D、∵共有10個數(shù)，∴中位數(shù)是第5、6個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是（90+90）÷2＝90；故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了折線統(tǒng)計圖，用到的知識點是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，能從統(tǒng)計圖中獲得有關數(shù)據(jù)，求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差是解題的關鍵．9．如圖，正方形的對角線交于點O，M是邊上一點，連接，過點O作交于點N，若四邊形的面積是4，則的長為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】本題考查正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．過點O作，證明，進而得到四邊形的面積等于正方形的面積，進而求出的長，即可得解．【詳解】解：過點O作于點E，于點F，則：，∵四邊形是正方形，∴，∴，四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴正方形的面積等于四邊形的面積，∴，∴（負值已舍掉）；∴；故選：C．10．拋物線的對稱軸是直線，拋物線與x軸的一個交點在點和點之間，其部分圖象如圖所示，下列結論①；②；③關于x的方程有兩個不相等實數(shù)根；④當時，y隨x增大而增大；⑤；⑥y的最小值為．其中正確的個數(shù)是（）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了的圖象與性質，根據(jù)對稱軸確定拋物線與x軸的另一個交點，補全圖象是解題關鍵．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，∴，即：，故①正確；∵拋物線與x軸的一個交點在點和點之間，對稱軸是直線，∴拋物線與x軸的另一個交點在點和點之間，補全圖象如下：

∴當時，，故②正確；由圖象可知：拋物線與直線有兩個交點，故關于x的方程有兩個不相等實數(shù)根，故③正確；由圖象可知：當時，y隨x增大而減小，故④錯誤；∵圖象開口向下，∴∵，∴結合拋物線與x軸的兩個交點范圍可知，拋物線與軸負半軸相交，∴，∴，故⑤錯誤；由圖象可知：y的最大值為，故⑥錯誤；故選：B第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）11．因式分解：．【答案】【分析】此題考查了多項式分解因式，正確掌握因式分解的方法是解題的關鍵．利用提公因式法和平方差公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．12．若在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關定義是解題關鍵．直接利用二次根式有意義則被開方數(shù)大于或等于零即可得出答案．【詳解】解：在實數(shù)范圍內有意義，故，解得：．故答案為：．13．圓錐的底面半徑是，母線長，則它的側面展開圖的圓心角的度數(shù)為．【答案】【分析】設圓錐的側面展開圖的圓心角為，根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到，然后解關于的方程即可．【詳解】解：設圓錐的側面展開圖的圓心角為，根據(jù)題意得解得，即圓錐的側面展開圖的圓心角為．故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．14．如圖，直線，將含有角的三角形板的直角頂點C放在直線b上，若，則的度數(shù)為．【答案】/18度【分析】如圖，過B作直線a的平行線，則直線，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，過B作直線a的平行線，

∵直線，∴直線，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質．解題的關鍵在于明確角度之間的數(shù)量關系．15．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，實數(shù)m的取值范圍是．【答案】/【分析】利用方程有兩個不相等的實數(shù)根時，，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．16．如圖所示，在平行四邊形中，點在上，且，則．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，設，，，則，利用相似三角形的性質求出平行四邊形的面積，即可解決問題，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題．【詳解】解：設，，，則，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為:．17．《九章算術》中記載：“今有人共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數(shù)、羊價各幾何？”譯文：“今有人合伙買羊，若每人出五錢，還差四十五錢；若每人出7錢，還差三錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？”設合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，可列方程組為．【答案】【分析】根據(jù)“若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢”中的等量關系分別列二元一次方程，即可求解．【詳解】解：設合伙人數(shù)為x人，羊價為y元，依據(jù)“若每人出5錢，還差45錢”得：5x+45=y，依據(jù)“若每人出7錢，還差3錢”得：7x+3=y，因此可列方程組為：，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．18．《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內接正方形的邊長為．【答案】/【分析】先設正方形的邊長為x，再表示出，，然后說明∽，并根據(jù)對應邊成比例得出答案.【詳解】根據(jù)題意可知，．設正方形的邊長為x，則，.∵四邊形是正方形，∴．∵，∴∽，∴，即，解得.所以正方形的邊長為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質和判定，相似三角形的對應邊成比例是求線段長的常用方法．三、解答題（本大題共8個小題，第19、20、21題每題6分，第22、23題每題8分，第24、25題每題10分，第26題12分，共66分）19．計算：【答案】【分析】直接利用零指數(shù)、絕對值、立方根、特殊角的函數(shù)化簡計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關鍵是掌握零指數(shù)、絕對值、立方根、特殊角函數(shù)值，熟練計算．20．先化簡，再求值：，其中．【答案】，．【分析】原式第二項變形后約分，然后通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式===當時，原式=.【點睛】此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式．21．如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌，小李在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為．沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為，已知山坡的坡度，米，米．(1)求點距水平面的高度；(2)求廣告牌的高度．【答案】(1)米；(2)廣告牌的高度約為米．【分析】（1）在中，通過解直角三角形求出、即可；（2）過作于在解直角三角形求出的長，進而可求出即的長，在中，，則，由此可求出的長，然后根據(jù)即可求出廣告牌的高度．【詳解】（1）解：在中，∴，∴米；（2）過作于，如圖所示：

由（1）得：米，米，中，，∴米，中，，米，∴米，∴米答：廣告牌的高度約為米．【點睛】此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．22．如圖，在中，，點為中點，過點分別作的平行線，相交于點．(1)求證：四邊形為矩形；(2)連接，若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的判定，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質，三角函數(shù)，及勾股定理即可得出結果．【詳解】（1）證明：由題意得，四邊形是平行四邊形，，點為中點，，即，四邊形為矩形；（2）解：∵四邊形為矩形，，∵點為中點，在中，，解得：在中，，故的長為．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握定理與性質是解題的關鍵．23．為了解九年級學生的投籃命中率，組織了九年級學生定點投籃，規(guī)定每人投籃3次．現(xiàn)對九年級（1）班每名學生投中的次數(shù)進行統(tǒng)計，繪制成如下的兩幅統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題．(1)九年級（1）班的學生人數(shù)人，扇形統(tǒng)計圖中%；(2)扇形統(tǒng)計圖中“3次”對應的圓心角的度數(shù)為°；(3)在投中3次的學生中，有2個男生2個女生，現(xiàn)要抽調兩名學生參加學校投籃比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．【答案】(1)40，55(2)36(3)【分析】（1）根據(jù)投中1次的人數(shù)及所占百分數(shù)求總人數(shù)，求出投中2次的人數(shù)，除以總人數(shù)即可求出所占的百分數(shù)；（2）求出投中3次的人數(shù)所占比例，乘以360度即可；（3）畫樹狀圖表示出所有等可能的情況，再從中找出抽到一男一女的情況數(shù)，利用概率公式求解．【詳解】（1）解：九年級（1）班的學生人數(shù)（人），投中2次的人數(shù)為：（人），扇形統(tǒng)計圖中，故答案為：40，55；（2）解：扇形統(tǒng)計圖中“3次”對應的圓心角的度數(shù)為：，故答案為：36；（3）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能的情況，其中恰好抽到一男一女的情況有8種，，即恰好抽到一男一女的概率是．【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、列表或畫樹狀圖法求概率，解題的關鍵是將條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖間的信息進行關聯(lián)，掌握列表或畫樹狀圖法求概率的原理．24．如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸上，軸，點的坐標為，將向下方平移，得到，且點的對應點落在反比例函數(shù)的圖象上，點的對應點落在軸上，連接．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求反比例函數(shù)的表達式；(3)求平移的距離及線段掃過的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)5，24【分析】（1）利用平移的性質，可得出，由軸且在軸上，可得出，結合，可得出，由，可得出，再利用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，可證出四邊形為平行四邊形；（2）連接，易證四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質，可得出，結合，可得出三點共線，易證四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質，可得出的長，結合，可得出點的坐標，再利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，可求出的值，進而可得出反比例函數(shù)的表達式；（3）連接，在中，利用勾股定理，可求出的長，由此可得出平移的距離為，由，可得出四邊形是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質及三角形的面積公式，即可求出線段掃過的面積．【詳解】（1）證明：由平移的性質，得：，軸，且在軸上，，．，，四邊形為平行四邊形；（2）解：連接，如圖所示．

四邊形為平行四邊形，，又，四邊形是平行四邊形，，，三點共線．軸，在軸上，，四邊形是平行四邊形，．點的坐標為，，點的坐標為．點在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的表達式為；（3）解：連接，如圖所示．

在中，，，平移的距離為，四邊形是平行四邊形，，線段掃過的面積為．【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了平移的性質、平行四邊形的判定與性質、平行線的性質、反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、勾股定理以及三角形的面積，解題的關鍵是：由平移的性質及平行線的性質，找出及；（2）利用平移的性質及平行四邊形的性質，找出點的坐標；（3）利用勾股定理及平行四邊形的性質，求出的長及平行四邊形的面積．25．如圖，在中，，是的直徑，交于點D，過點D的直線交于點E，交的延長線于點P，是的切線．

(1)求的度數(shù)；(2)若，，求圖1中陰影部分的周長；(3)如圖2，若，連接，交于點N，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角進行解答即可；（2）證明是等邊三角形，可得，再由弧的長度，在中，求出，，則陰影部分的周長為；（3）連接，，過作于點，利用同弧所對的圓周角相等，得到，設，則，求出，由得：，證明，得出，即可求出．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∴．（2）解：連接，如圖所示：

∵，∴，∵是的切線，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．∴，∴弧的長度，在中，，，∴，∴，∴陰影部分的周長為：．（3）解：連接，，過作于點，如圖所示：

∵，∴設，則，，由得：，∵，，∴，