2024年中考模擬試卷數(shù)學（長沙卷）

2024年中考第一次模擬考試（湖南長沙卷）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列四個實數(shù)中，最小的是(

)A． B．4 C．1 D．2．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．下列計算中，正確的是（）A． B．C． D．4．據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數(shù)據(jù)7358萬用科學記數(shù)法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×1065．如圖，把一個含有角的直角三角板放在兩條平行線m，n上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖，是的直徑，，則（）A． B． C． D．7．一元一次方程不等式組的解在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．8．如圖，在“經(jīng)典誦讀”比賽活動中，某校10名學生參賽成績?nèi)鐖D所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法錯誤的是（）A．眾數(shù)是90分 B．方差是10 C．平均數(shù)是91分 D．中位數(shù)是90分9．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象可能是（

） A B C D10．“千門萬戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”．春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，古人常用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)在，人們常用貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿．某商家在春節(jié)期間開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“?！弊?、春聯(lián)、燈籠這三類禮品中免費領取一件．禮品領取規(guī)則：顧客每次從裝有大小、形狀、質(zhì)地都相同的三張卡片(分別寫有“福”字、春聯(lián)、燈籠)的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品．現(xiàn)有2名顧客都只領取了一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是(

)A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．12．分式方程的解是．13．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，實數(shù)m的取值范圍是．14．如圖，扇形的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長（結果保留π）．15．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的交點，已知點A，，在坐標軸上，，的面積為16，則．16．《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形的邊長為．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）17．計算：18．先化簡，再求值：，其中．19．如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔，在點A處用測角儀測得塔頂端點P的仰角是，向前走9米到達B點，用測角儀測得塔頂端點P和塔底端點C的仰角分別是和．(1)求的度數(shù)；(2)求該鐵塔的高度．（結果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）20．為了進一步加強中小學國防教育，教育部研究制定了《國防教育進中小學課程教材指南》．某中學開展了形式多樣的國防教育培訓活動．為了解培訓效果，該校組織七、八年級全體學生參加了國防知識競賽（百分制），并規(guī)定90分及以上為優(yōu)秀，分為良好，分為及格，59分及以下為不及格．該學校七、八兩個年級各有學生300人，現(xiàn)隨機抽取了七、八年級各20名學生的成績進行了整理與分析，下面給出了部分信息．a(chǎn)．抽取七年級20名學生的成績?nèi)缦拢?5875796796789977710083698994589769788188b．抽取七年級20名學生成績的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）c．抽取八年級20名學生成績的扇形統(tǒng)計圖如圖2所示．d．七年級、八年級各抽取的20名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下表：年級平均數(shù)中位數(shù)方差七年級81八年級82請根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)補全七年級20名學生成績的頻數(shù)分布直方圖，寫出表中的值；(2)估計七、八兩個年級此次競賽成績達到優(yōu)秀的學生共有多少人；(3)若本次競賽成績達到81分及以上的同學可以獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，七、八兩個年級中哪個年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數(shù)更多？并說明理由．21．如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，．(1)求證：；(2)若時，求的長；(3)點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．22．某服裝店老板到廠家選購A、B兩種型號的服裝，若購進A種型號服裝9件與B種型號服裝10件共需要1810元；若購進A種型號服裝12件與B種型號服裝8件共需要1880元．(1)A、B兩種型號的服裝每件分別為多少元？(2)若銷售1件A型服裝可獲利18元，銷售1件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場需求，服裝店老板決定購進A型服裝的數(shù)量要比購進B型服裝的數(shù)量的2倍還多4件，這樣服裝全部售出后可使總的獲利不少于732元，問至少購進B型服裝多少件？23．如圖，四邊形為矩形，點在邊上，，連接，過點作交于點，分別過點、作、且、相交于點．(1)求證：；(2)連接，若，點是的中點，求的長．24．如圖，A，B，C是上的三點，且，，點D為優(yōu)弧上的動點，且．(1)如圖1，若，延長到F，使得，連接，求證：是的切線；(2)如圖2，若的角平分線與相交于E，求的半徑與的長；(3)如圖3，將的邊所在的直線繞點A旋轉得到，直線與相交于M，N，連接．在運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化規(guī)律．25．定義：在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點坐標為，那么我們把經(jīng)過點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．【特例感知】(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標為______．【深入探究】(2)經(jīng)過點和的拋物線與軸交于點，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為，請用含的代數(shù)式表示點的坐標．【拓展運用】(3)在（2）的條件下，設拋物線的頂點為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對稱軸于點．①當時，求點的坐標．②若直線與直線關于極限分割線對稱，是否存在使點到直線的距離與點到直線的距離相等的的值？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

2024年中考第一次模擬考試（湖南長沙卷）數(shù)學·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列四個實數(shù)中，最小的是(

)A． B．4 C．1 D．【答案】D【分析】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法．正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴最小的數(shù)是，故選：D．2．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是中心對稱圖形的是（

）A．B．C．D．

【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：一個圖形沿某個點旋轉180度后能與原圖完全重合的；由此問題可求解．【詳解】解：選項A、B、D不能找到一個點繞其旋轉180度后能與原圖完全重合，所以都不是中心對稱圖形，而C選項可以找到一個點繞其旋轉180度后能與原圖完全重合，所以是中心對稱圖形；故選C．【點睛】本題主要考查中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關鍵．3．下列計算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法對各選項進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，，正確，故A符合要求；，錯誤，故B不符合要求；，錯誤，故C不符合要求；，錯誤，故D不符合要求；故選：A．【點睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法．熟練掌握積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法是解題的關鍵．4．據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數(shù)據(jù)7358萬用科學記數(shù)法表示為（）A．7.358×107 B．7.358×103 C．7.358×104 D．7.358×106【答案】A【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，表示較大的數(shù)，利用科學記數(shù)法的法則解答即可．【詳解】解：7358萬，故選：A．5．如圖，把一個含有角的直角三角板放在兩條平行線m，n上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可求，，即可求解．【詳解】解：如圖：

，，是的一個外角，，，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關鍵．6．如圖，是的直徑，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角的性質(zhì)．由是的直徑可得，又由“同弧或等弧所對圓周角相等”可得，從而可求得．【詳解】∵是的直徑，∴，∵∴，∴．故選：C7．一元一次方程不等式組的解在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是一元一次不等式組的解法及在數(shù)軸上表示解集，在數(shù)軸上表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵．先分別解出兩個不等式，然后找出解集，表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：，由①得，?，由②得，，故原不等式組的解集為：．在數(shù)軸上表示為：，故答案為：D．8．如圖，在“經(jīng)典誦讀”比賽活動中，某校10名學生參賽成績?nèi)鐖D所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法錯誤的是（）

A．眾數(shù)是90分 B．方差是10 C．平均數(shù)是91分 D．中位數(shù)是90分【答案】B【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義和統(tǒng)計圖中提供的數(shù)據(jù)分別列出算式，求出答案．【詳解】解：A、∵90出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是90；故此選項不符合題意；B、方差是：；故此選項符合題意；C、平均數(shù)是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此選項不符合題意；D、∵共有10個數(shù)，∴中位數(shù)是第5、6個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是（90+90）÷2＝90；故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了折線統(tǒng)計圖，用到的知識點是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，能從統(tǒng)計圖中獲得有關數(shù)據(jù)，求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差是解題的關鍵．9．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象可能是（

） A B C D【答案】D【分析】本題主要考查正比例函數(shù)的系數(shù)和一次函數(shù)常數(shù)項決定圖象所過象限的知識點．【詳解】解：．由函數(shù)得，與圖象的矛盾，故本選項不符合題意；．函數(shù)所過象限錯誤，故本選項不符合題意；．函數(shù)所過象限錯誤，故本選項不符合題意；．由函數(shù)得，與圖象的一致，故本選項符合題意．故選：D．10．“千門萬戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”．春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，古人常用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)在，人們常用貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿．某商家在春節(jié)期間開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“福”字、春聯(lián)、燈籠這三類禮品中免費領取一件．禮品領取規(guī)則：顧客每次從裝有大小、形狀、質(zhì)地都相同的三張卡片(分別寫有“福”字、春聯(lián)、燈籠)的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品．現(xiàn)有2名顧客都只領取了一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】分別用表示寫有“?！弊?、春聯(lián)、燈籠的三張卡片，利用列表法求出概率即可．【詳解】解：分別用A，B，C表示寫有“福”字、春聯(lián)、燈籠的三張卡片，列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9中等可能的結果，其中他們恰好領取同一類禮品有種等可能的結果，∴；故選C．【點睛】本題考查列表法求概率，解題的關鍵是正確的列出表格．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關定義是解題關鍵．直接利用二次根式有意義則被開方數(shù)大于或等于零即可得出答案．【詳解】解：在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，故，解得：．故答案為：．12．分式方程的解是．【答案】【分析】先去分母，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．【詳解】解：去分母得：，解得：，檢驗：當時，，∴原方程的解為．故答案為：【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．解分式方程注意要檢驗．13．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，實數(shù)m的取值范圍是．【答案】/【分析】利用方程有兩個不相等的實數(shù)根時，，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．14．如圖，扇形的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長（結果保留π）．

【答案】/【分析】先求解，再利用弧長公式計算即可．【詳解】解：由作圖知：垂直平分，∵，∴，∵扇形的半徑是1，∴的長．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，弧長的計算，熟記弧長公式是解本題的關鍵．15．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的交點，已知點A，，在坐標軸上，，的面積為16，則．

【答案】【分析】由平行四邊形面積轉化為矩形面積，在得到矩形面積，應用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的意義即可．【詳解】解：如圖，過點做軸于點．

四邊形為平行四邊形，，又軸，為矩形，，，為對角線交點，軸，四邊形為矩形面積為8，即，設點坐標為，．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義以及平行四邊形的性質(zhì)，理解等底等高的平行四邊形與矩形面積相等是解題的關鍵．16．《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形的邊長為．【答案】/【分析】先設正方形的邊長為x，再表示出，，然后說明∽，并根據(jù)對應邊成比例得出答案.【詳解】根據(jù)題意可知，．設正方形的邊長為x，則，.∵四邊形是正方形，∴．∵，∴∽，∴，即，解得.所以正方形的邊長為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的對應邊成比例是求線段長的常用方法．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）17．計算：【答案】【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，先計算特殊角三角函數(shù)值，零次冪，負整數(shù)次冪，絕對值，再進行加減運算即可，正確計算是解題的關鍵．【詳解】解：18．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a的值代入進行計算即可．【詳解】解：原式當時，原式．19．如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔，在點A處用測角儀測得塔頂端點P的仰角是，向前走9米到達B點，用測角儀測得塔頂端點P和塔底端點C的仰角分別是和．

(1)求的度數(shù)；(2)求該鐵塔的高度．（結果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)米【分析】本題考查了仰角的定義、解直角三角形、三角函數(shù)；（1）延長交直線于點F，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；（2）設米，根據(jù)，構建方程求出x即可．【詳解】（1）延長交直線于點F，則，

依題意得：，，∴．（2）設米，∵，，∴，∴，∴米，在中，，，在中，，∴，∴，∴，∴（米），即該鐵塔的高度約為米．20．為了進一步加強中小學國防教育，教育部研究制定了《國防教育進中小學課程教材指南》．某中學開展了形式多樣的國防教育培訓活動．為了解培訓效果，該校組織七、八年級全體學生參加了國防知識競賽（百分制），并規(guī)定90分及以上為優(yōu)秀，分為良好，分為及格，59分及以下為不及格．該學校七、八兩個年級各有學生300人，現(xiàn)隨機抽取了七、八年級各20名學生的成績進行了整理與分析，下面給出了部分信息．a(chǎn)．抽取七年級20名學生的成績?nèi)缦拢?5875796796789977710083698994589769788188b．抽取七年級20名學生成績的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）c．抽取八年級20名學生成績的扇形統(tǒng)計圖如圖2所示．

d．七年級、八年級各抽取的20名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下表：年級平均數(shù)中位數(shù)方差七年級81八年級82請根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)補全七年級20名學生成績的頻數(shù)分布直方圖，寫出表中的值；(2)估計七、八兩個年級此次競賽成績達到優(yōu)秀的學生共有多少人；(3)若本次競賽成績達到81分及以上的同學可以獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，七、八兩個年級中哪個年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數(shù)更多？并說明理由．【答案】(1)補全條形統(tǒng)計圖見解析；(2)七、八兩個年級此次競賽成績達到優(yōu)秀的學生共有165人(3)七年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數(shù)更多；理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得七年級成績位于的有4人；七年級成績位于第10位和第11位的是81和83，即可求解；（2）先求出八年級成績優(yōu)秀的所占的百分比，再分別用300乘以各自的百分比，即可求解；（3）分別求出七、八兩個年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數(shù)，然后進行比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：七年級成績位于的有4人，補全圖形如下：

七年級成績位于第10位和第11位的是81和83，∴七年級成績的中位數(shù)；（2）解：根據(jù)題意得：八年級成績良好的所占的百分比為∴八年級成績優(yōu)秀的所占的百分比為，∴八年級成績達到優(yōu)秀的學生有（人），七年級成績達到優(yōu)秀的學生有人，（人），答：七、八兩個年級此次競賽成績達到優(yōu)秀的學生共有165人．（3）解：八年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數(shù)約為：（人），七年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數(shù)約為：（人），∵，∴七年級獲得參加挑戰(zhàn)賽的機會的學生人數(shù)更多．【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，求中位數(shù)，用樣本估計總體，明確題意，準確從統(tǒng)計圖中獲取信息是解題的關鍵．21．如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時，求的長；(3)點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由即可證明；（2）證明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解；（3）證明，即可求解．【詳解】（1）解：由題意，可知，，．．即．．（2）在中，，．．，，．．．在中，．（3）由（2）可知，．當最小時，有的值最小，此時．為等腰直角三角形，．．即的最小值為．【點睛】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．22．某服裝店老板到廠家選購A、B兩種型號的服裝，若購進A種型號服裝9件與B種型號服裝10件共需要1810元；若購進A種型號服裝12件與B種型號服裝8件共需要1880元．(1)A、B兩種型號的服裝每件分別為多少元？(2)若銷售1件A型服裝可獲利18元，銷售1件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場需求，服裝店老板決定購進A型服裝的數(shù)量要比購進B型服裝的數(shù)量的2倍還多4件，這樣服裝全部售出后可使總的獲利不少于732元，問至少購進B型服裝多少件？【答案】(1)A種型號服裝每件90元，B種型號服裝每件100元．(2)至少購進B型服裝10件．【分析】本題考查了一元一次不等式的應用、一元一次方程的應用，準確地找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意可知，本題中的相等關系是“A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，需要1810元”和“A種型號服裝12件，B種型號服裝8件，需要1880元”，列方程組求解即可．（2）利用兩個不等關系列不等式，結合實際意義求解．【詳解】（1）設A種型號服裝每件x元，B種型號服裝每件y元．依題意可得：，解得：，答：A種型號服裝每件90元，B種型號服裝每件100元．（2）設B型服裝購進m件，則A型服裝購進件．根據(jù)題意得：，解不等式得，答：至少購進B型服裝10件．23．如圖，四邊形為矩形，點在邊上，，連接，過點作交于點，分別過點、作、且、相交于點．(1)求證：；(2)連接，若，點是的中點，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)即余角的性質(zhì)得到，可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，可證明，由此即可求證；（2）根據(jù)題意可證四邊形是正方形，在中由勾股定理求出的長，且是等腰直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖所示，連接，

∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∵，點是的中點，∴，∵，在中，，∴，∵四邊形是正方形，∴是等腰直角三角形，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是證明，由勾股定理求出的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到．24．如圖，A，B，C是上的三點，且，，點D為優(yōu)弧上的動點，且．(1)如圖1，若，延長到F，使得，連接，求證：是的切線；(2)如圖2，若的角平分線與相交于E，求的半徑與的長；(3)如圖3，將的邊所在的直線繞點A旋轉得到，直線與相交于M，N，連接．在運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化規(guī)律．【答案】(1)見解析(2)的半徑為，(3)在運動的過程中，的值不發(fā)生變化，其值為25【分析】（1）連接，先證，推出，得到四邊形是平行四邊形，，再得到，即可證得結論；（2）連接交于H，連接，由垂徑定理得，根據(jù)，求出，設的半徑為x，則，，在中，由勾股定理求出，的半徑為，根據(jù)角平分線定義及同弧所對圓周角相等得到，由此得到；（3）連接，并延長交于Q，連接，過點A作于P，證明，得到，由（2）可知，點A到直線的距離為3，直線繞點A旋轉得到，A到直線的距離始終等于3，不會發(fā)生改變，由此得到．【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接交于H，連接，如圖2所示：∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，設的半徑為x，則，，在中，由勾股定理得：，解得：，∴的半徑為，∵平分，∴，∵，∴，∴；（3）解：連接，并延長交于Q，連接，過點A