山東省淄博市2023-2024學(xué)年高一年級上冊期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）

參照秘密級管理★啟用前

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知全集°=023,4},集合/={1,2},8={2,3},則令（ZU8）（）

A,{1,3,4}B,{3,4}C.{3}D.{4}

【答案】D

【解析】

【分析】先求45的并集再求補(bǔ)集即可.

【詳解】易知NEB：{1,2,3},則為（2。8）={4},

故選：D.

2,函數(shù)/（x）=l°g[（2xT）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

2

A|一叫:[―y]C.1,+s1

D.-,+℃

【答案】C

【解析】

【分析】由真數(shù)大于零可得.

【詳解】要使函數(shù)/（x）=l°g[（2xT）有意義,

2

則有2x-1>0,解得X〉（則函數(shù)"X）的定義域?yàn)間,+8.

故選：c.

3./(x)=(加2—加—是幕函數(shù)，且在xe(O,+s)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)加=()

A.2B.-1C.4D.2或-1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)和定義即可求解.

【詳解】由于/(x)=(/—加—1)--2加-3是幕函數(shù)，所以/一加_i=i,解得加=2或加=-1,

由于/(X)在xe(O,+8)上是減函數(shù)，所以加2一2加一3＜0，故-1＜根＜3,

因此加二2,

故選：A

4.已知扇形的半徑為2c加，面積為8。加2,則扇形圓心角的弧度數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

1

設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為則根據(jù)扇形面積公式S=—9列出方程求解即可.

2

1,

【詳解】設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為a,則根據(jù)扇形面積公式S=-a/,

2

1,

代入可得：8=—ax22=2&,解得a=4,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式，考查學(xué)生的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)/為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級「可定

義為尸=0.61g/,若6.5級地震釋放的相對能量為4，7.4級地震釋放的相對能量為記〃=?，〃約等

于()

A.16B.20C.32D.90

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得/=10與分別代值計(jì)算，比較即可

【詳解】?.?r=0.6/g/,

5r、[,竺

/=]05當(dāng)尸=6-5時，4=]06,

37

當(dāng)r=7.4時，/2=io^>

j37653

：.n=^=10T-10T=10?=10x710-32故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化及指數(shù)與對數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)試題.

6.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=4"=6°，那么下列關(guān)系正確的是（）

111112

A.a+2b-cB.ac+bc=2abc.-+—=-D.—l—二一

a2bcabc

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)指對互化，利用對數(shù)表示4c,再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算判斷選項(xiàng).

【詳解】由3"=4"=6°=左，得。=log3k,b=log4k,c=log6k,

/1砥3,二1幅4,：=1啕6,則《=小幅4=1崎2,

根據(jù)log*3+log￡2=log/6可知，-+^-=-

a2bc

故選：C

7.已知sina+cosa=；,且ae（0,7i）,則sina—cosa的值為（

）

1R后

'-3D.-------------D.叵或一M

333

【答案】C

【解析】

4

【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可得sinacosa9-,根據(jù)ae（0,兀）即可求得結(jié)果.

2

【詳解】將sina+cosa=一兩邊同時平方可得,sina+COS-a+2sinacosa=—,

39

4

可得sintzcosa=——；

9

又ae（0,兀），所以sina>0,cosa<0；

('22217J]7

易知(sina-cosa)=sina+cos。-2sinacosa=5,可得sina-cosa=±-----;

.J17

又sina>0,cosa<0,所以sina-cosa-------

3

故選：c

1—/73a—1

8.已知sin6=——,cos6=-------，若。為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（）

1+a1+。

A.aGB.a=1

1

C.”1或D.CI——

99

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系即可結(jié)合角的范圍求解.

2

1—Q3d—11-a3(7—1

【詳解】由sin8=-----,cos6=■,可得sin2，+cos2，=+I=ln或

1+41+a1+a1+。!9

1—/73a—1

由于。為第二象限角，所以sin8=——>0,cos6=-------<0,

1+。1+4

1—a

故當(dāng)a=1時，sin6=——=0,不符合要求,

1+a

則符合要求,

9

故選：D

二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結(jié)論成立的是（）

A.若。,則區(qū)<1B.,貝！Ja>分

bCC

C.若。>6,貝！J---<---D.若）〉/，貝

a-cb-c

【答案】BD

【解析】

【分析】選項(xiàng)AC,特值法可排除；選項(xiàng)B,由不等式的性質(zhì)可得；選項(xiàng)C,由幕函數(shù)性質(zhì)可得.

【詳解】選項(xiàng)A,當(dāng)。=-2/=-1時，Q<6,但色=2>1,故A錯誤;

b

ab

選項(xiàng)B,由F〉F知，02〉0，所以。>b,故B正確；

cc

選項(xiàng)C,當(dāng)Q=5,6=2,C=3時，a>b,

則」一=1,'=—1,此時故c錯誤;

a-c2b-ca-cb-c

選項(xiàng)D,由幕函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)，

/i\3/,x3

11I-1[-

由后，得加>Iji,即a>b,故D正確.

I7IJ

故選：BD.

10.如圖，已知矩形。表示全集，48是。的兩個子集，則陰影部分可表示為()

A.B.2(/CB)C.D.3⑷，

【答案】AD

【解析】

【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素x,分析元素x與各集合的關(guān)系，即可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素x,則xe/且xeB,即xe令Z且xeB,

所以陰影部分可表示為(d/)C5,A對；

xeB且xe(/cB),陰影部分可表示為d(/cB),而//3,故C錯誤；

xe(4u5)且了e/,陰影部分可表示為冷入6)4,D對；

顯然，陰影部分區(qū)域所表示的集合為令(ZcB)的真子集，B選項(xiàng)不合乎要求.

故選：AD.

11.下列說法正確的有()

A."axeR,使得x—1=0”的否定是“VxeR,者B有

B.若函數(shù)y=log2(加/+4》+1)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［0,4］

C.若a,夕eR,貝！］“夕>/”的充要條件是“sina〉sin夕”

D.若a>l,則a+)-的最小值為9

a—1

【答案】BD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,由存在量詞命題的否定形式可得；選項(xiàng)B,函數(shù)y=log2(掰V+4x+l)的值域?yàn)镽轉(zhuǎn)化

為研究函數(shù)8(X)=M2+4》+1的值域，分心=0與加wO兩類情況分析可得；選項(xiàng)C,特值法可知；選項(xiàng)

D,利用基本不等式求最值可得.

【詳解】選項(xiàng)A,“*eR,使得--x-1=0”的否定是“VxeR,都有爐―x—1彳0"，故A錯誤；

選項(xiàng)B,因?yàn)楹瘮?shù)y=log2(加x?+4x+l)的值域?yàn)镽,

設(shè)函數(shù)g(x)=mx2+4x+l值域?yàn)?，則M衛(wèi)R+,

當(dāng)加=0時，g(x)=4x+1,值域Af=R,滿足題意；

當(dāng)加。0時，g(x)=加/+4x+l為二次函數(shù)，要使值域M衛(wèi)R+,

則g(x)圖象開口向上，且與工軸有公共點(diǎn)，

所以有加〉0且A=16-4加20,解得0〈加《4,

綜上可得0?加《4,即實(shí)數(shù)冽的取值范圍是[0,4],故B正確；

兀

選項(xiàng)C,當(dāng)(/=兀力=5■時，e>〃，但sinor=O,sin￡=1,

不滿足sina〉sin〃，故C錯誤；

選項(xiàng)D,由。>1,則a+^-=a—l+^-+122、(a—1>^-=2而+1=9,

o-la-1V'a-\

當(dāng)月.僅當(dāng)a—1=也，即a=5時等號成立，

a-\

故-的最小值為9,故D正確.

a-\

故選：BD.

TTTTqrJr

12.設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(x—萬)為奇函數(shù)，/(》+萬)為偶函數(shù)，當(dāng)時，/(x)=cosx,

則下列結(jié)論正確的是()

57r

A./(—)=-1B./(x)在(3兀,4兀)上為增函數(shù)

37r

C.點(diǎn)(三,0)是函數(shù)/(x)的一個對稱中心D.方程/(x)-lgx=0僅有5個實(shí)數(shù)解

【答案】BC

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性，對稱性以及周期性逐一判斷選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,由/(X—')為奇函數(shù)，得/(一X—］)=—/(x—］)，即

/(-X-7t)=-/W，

7TITIT

由/(X+5)為偶函數(shù)，#/(-X+-)=/(%+-),即/(一X+7T)=/(X),則/(一%+兀)=一/(一工一兀)，

即/(x+27T)=-“X),于是/(x+47T)=-/(x+2兀)=/(x),函數(shù)/(x)是周期為4兀的周期函數(shù)，

對于A,當(dāng)xe［—,—］時，/(x)=cosx,f(—)=/(—卜2兀)=_/(—)=—cos—=0,A錯誤;

222222

對于B,/(x)在［-弓⑼上單調(diào)遞增，由/(—X—兀)=—/(x),知/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(一*0)對稱，

則/(X)在［-匹-§上單調(diào)遞增，即函數(shù)/(X)在［-n,0］上單調(diào)遞增,因此/(x)在(371,471)上單調(diào)遞增,

B正確；

對于C,由C(x+2兀)=—)(X)及/(—X+兀)=/(x),得/(x+2兀)=-f(-x+兀)，即f(x+3兀)=-f(-x),

3九

因此函數(shù)/(X)圖象關(guān)于點(diǎn)(晝,0)對稱，C正確；

對于D,當(dāng)時，0<由函數(shù)/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)($0)對稱，

知當(dāng)—相,—Q］時，—l4/(x)W0，則當(dāng)xe［——,—］Hyl',—lV/(x)Vl,

由/(—X+7T)=/(X),知函數(shù)/(x)圖象關(guān)于直線x=T對稱，則當(dāng)xe［巴，女］時，-1</(X)<1,

222

37r57r

于是當(dāng)xe［一5,萬］時，-而函數(shù)/(x)的周期是4兀，因此函數(shù)/(x)在R上的值域?yàn)?/p>

方程/(x)Tgx=0,即/(x)=1gx,因此/(x)Tgx=0的根即為函數(shù)y=/(%)與y=lgx圖象交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)V=/(x)與y=lgx的部分圖象，如圖，

觀圖知，y=〃x)與歹=lgx圖象在(0,；-)上有且只有3個公共點(diǎn)，而當(dāng)工2萬時，/(x)<l,lgx>l,

7兀

即函數(shù)V=/(X)與y=lgx圖象在(彳,+q)無公共點(diǎn)，所以方程/(x)-lgx=0僅有3個實(shí)數(shù)解，D錯誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)V=/(x)的定義域?yàn)?。，X/xeD,

⑴存在常數(shù)a,b使得/(x)+/(2a—x)=26=/(a+x)+/(a—x)=2b,則函數(shù)y=〃x)圖象關(guān)于點(diǎn)

(a,6)對稱.

(2)存在常數(shù)。使得/(x)=/(2a—x)o/(a+x)=/(a—x),則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

10g23

13.log381-log98-log23-2+lgV2+lgV5=—.

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合換底公式進(jìn)行求解即可.

10&3

【詳解】log381-log98-log,3-2+lgV2+lgV5

43

=log33-log322-log23-3+1g6)

=0,

故答案為：0

14.若“iceR,sinx<a”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(-1,+s)

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知卜山工)皿<。，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.

【詳解】若FxeR,sinx<a”為真命題，則(sinx/n<。，

TT

可知當(dāng)x=2Mi——,k€Z時，歹=sinx取到最小值—1,

2

可得〃〉-1,所以實(shí)數(shù)q的取值范圍為(-1,+8).

-

故答案為：(15+°°).

,,.7112r,1371

15.若sm|a+—\=——，貝ijcos------a

I3j136

12

【答案】—

13

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.

【詳解】Qsinf(z+yj=12

13

13兀12兀7171

/.cos------a二cos----+——acos~~a

666

7171兀

二cos---FCC二sin—Fa

233

12

13

12

故答案為：——

13

113T,x<2

16.設(shè)機(jī)是不為0的實(shí)數(shù)，已知函數(shù)/(x)=

x2-10x+24,x>2

7個零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是

【答案】(0,2)

【解析】

【分析】作出/(x)的圖象，然后由尸(x)=0,得/(x)=0或2/(x)—加=0,由圖象可知/(x)有3個

零點(diǎn)，所以2/(x)-加=0就有4個零點(diǎn)，再結(jié)合圖象可求出結(jié)果.

【詳解】作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示,

由尸(x)=/(x)[2/(x)—加]=0,得/(切=0或2/(x)—加=0,

當(dāng)/(x)=0時，/(x)有3個零點(diǎn),

則當(dāng)2/(x)-加=0時，/(x)=y(zn^0),即y=/(%)與了=￡?有4個交點(diǎn),

m

結(jié)合圖形可得0〈一＜1,解得0＜小＜2,

2

即加的取值范圍為(0,2)

故答案為：(0,2).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

17.已知角0的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過定點(diǎn)尸(2,3).

(1)求sina、cosa的值;

(2)求的值.

【答案】(1)sina=M32V13

cosa=

1313

2

(2)

3

【分析】(1)由求出點(diǎn)r=|CP|的值，結(jié)合三角函數(shù)定義可得;

(2)利用誘導(dǎo)公式化簡可得.

【小問1詳解】

由題意知，因角a的終邊與無軸的正半軸重合，且終邊過點(diǎn)P(2,3),

則點(diǎn)P到原點(diǎn)0的距離r=\OP\=A/22+32=V13，

rV1313

x_22^/13

cosa

r-V13-13

【小問2詳解】

-sinacosa+2sinacosa

-smasma

25

_cosa_13_2

sina3A/133

13

18.已知函數(shù)/(x)為一元二次函數(shù)，/(x)的圖象過點(diǎn)(0』)，對稱軸為》=-；，函數(shù)/(x)在R上的最

大值為--

4

(1)求/(x)的解析式；

(2)當(dāng)xe|m-2,向，加eR時，求函數(shù)/(x)的最大值(用含參數(shù)機(jī)的分段函數(shù)表示).

【答案】(1)/(x)=-x*2-*4x+l

-m~-m+l.m<----

2

，、513

(2)y=s—,—<m<—

422

-m2+3m-l,m>—

2

【分析】(1)由已知設(shè)出二次函數(shù)解析式，由條件代入解析式待定系數(shù)可得;

(2)分類討論軸與區(qū)間的關(guān)系，通過函數(shù)的單調(diào)性求最值可得.

【小問1詳解】

由題意，設(shè)函數(shù)/(x)=a(x—/z)2+左(aw0),

由對稱軸為x=-；,函數(shù)/(x)在R上的最大值為:,

1,5

可得/(x)=a(x+5)、K，

將點(diǎn)（0,1）代入可得l='a+3,解得0=-1,

44

故/（x）=-1x+g］+1-=-x2-x+1.

故函數(shù)/（X）的解析式為〃X）=f2T+1;

【小問2詳解】

f（x）的對稱軸為%=,

2

當(dāng)加時，/（x）在區(qū)間［加—2,加］單調(diào)遞增,

則/（x）max=f（m）=-m2-m+l；

當(dāng)加一2<-工<加，即一▲（機(jī)<3時，/（x）在區(qū)間7〃-2,-工］單調(diào)遞增,

2222

在區(qū)間（T，加單調(diào)遞減，故/（XL=/（—；）=:

13

當(dāng)加一22—,即加N—時,/（X）在區(qū)間［加—2,加］單調(diào)遞減,

22

故/（X）max=/（加一2）=-（加—2）2—（加—2）+1=-/+3加一1;

-m2

-2

513

綜上，/（幻的最大值y=?—<m<—

4,22

3

-m2+3m-l,m>

2

19.已知集合/={x|x?-8x+12=o},B=^a+l,a2-231,C=|ax2-x+6=Oj

（1）若集合/=B,求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若集合CqZ,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）a=5

（2）a>—或a=0

24

【解析】

【分析】（I）先化簡集合Z={X|X2_8X+12=0},然后根據(jù)條件4=8即可確定實(shí)數(shù)。的值;

（2）由條件集合?？?知，集合C中至多有2個元素，對集合。={刈依2-》+6=0}中的元素個數(shù)進(jìn)行

分類討論即可.

【小問1詳解】

（1fa+l=2fa+1=6

易知集合/={x|x-8x+12=0}={2,6},.,.由4=5得：<2”_（或《2”—解得：。=5.

a—23—oa—23—2

【小問2詳解】

（1）當(dāng)折0時。={6}滿足。之幺；

（2）當(dāng)awO時

①當(dāng)△=：（—24a<0即?！倒r，C=0滿足:.a>上.

24—24

②當(dāng)A=l—24a=0即a=A時，。=卜|=/—x+6=o}={12},不滿足（7口/.

[-=8

1/7

③當(dāng)△=：（—24a>0即a〈——時，滿足CuZ,只能。=/,無解.

24-6=12

、a

綜上所述：a>—或a=0.

24

20.我們知道存儲溫度x（單位：°C）會影響著鮮牛奶的保鮮時間T（單位：h）,溫度越高，保鮮時間越

短.已知x與T之間的函數(shù)關(guān)系式為T（x）=e"1^"（e為自然對數(shù)的底數(shù)），某款鮮牛奶在5℃的保鮮時間為

180h,在25℃的保鮮時間為45h.（參考數(shù)據(jù)：應(yīng)=1,41）

（1）求此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間約為幾小時（結(jié)果保留到整數(shù)）；

（2）若想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于90h,那么對存儲溫度有怎樣的要求？

【答案】20.254小時;

21.存儲溫度要不IWJ于15℃.

【解析】

【分析】（1）把給定的數(shù)對代入函數(shù)關(guān)系，求出e5m=變，并確定a<0,再求出7（0）即得.

2

（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即得.

【小問1詳解】

5m+n_1Q/A

依題意，把（5,180）,（25,45）分別代入T（x）=eE,得25,“+：，

-r.曰JO冽451rj||5,\/2八

十是e=二—,則tenl=—，m<0,

18042

T⑼=/=粵=挈=180屆180x1.41=253.8

當(dāng)x=0時，I'e5mV2，

V

此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間為254小時.

【小問2詳解】

依題意，T（x）=emx+n>90,由（1）知』°喂；，

顯然15m+）,=e5m+n-e10m=180--=90,于是'm+n>el5m+n,則envc>el5m>

e2e——

因此加x215加，而加<0,則有x?15,

所以想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于90h,存儲溫度要不高于15℃.

21.已知函數(shù)/（x）=cos（2x+6）（-■|<6<|'），滿足函數(shù)了=是奇函數(shù).

JT3兀

⑴求函數(shù)y=3-sin（2x+0）-2cos2（2x+。），xe—的值域；

JTZV/JT

（2）函數(shù)/（x）在區(qū)間-彳,二和3a,—上均單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

_32J|_6

-7'

【答案】（1）-,2

_8

2兀

（2）—71,—

[93」

【解析】

【分析】（1）先由奇函數(shù)解得，，再將sin,x-g]看成整體，將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域求解即可;

（2）將復(fù)合函數(shù)單調(diào)性利用換元法轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解參數(shù)范圍.

【小問1詳解】

因?yàn)?（x）=cos（2x+^）1I,

由y=71工一力）=?！?]21一￡+6）是奇函數(shù)，

所以cos[—￡+eJ=O,則—￡+6=—T+hr(keZ),

解得e=一1+E(左ez),

又—二＜e＜二，則夕=—巴.

223

驗(yàn)證：當(dāng)6=-1時，/[x—^1)=cos[2x—]]=sin2x,

由sin(-2x)=-sin2x,得y=sin2x是奇函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)y=3-sin(2x+。)-2cos2(2x+。)=3-sin(2x-^)-2cos2(2x-3

.兀、17

=2sin(2x)——+一，

348

,713兀TT717兀

由x￡一,—貝[j2x—€

44365T

所以5也［2》_］卜

,1

2

故當(dāng)sin12x_/]=；時，j；min=1;

當(dāng)sin12x—3]=一1■或1時,ymax=2.

7

故所求函數(shù)