山東省聊城市2023-2024學年高二年級上冊11月期中數學試題（解析版）

2023-2024學年度第一學期期中教學質量檢測

高二數學試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

L答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫

到答題卡和試卷規(guī)定的位置上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應的位

置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正

帶.

4.不按以上要求作答的答案無效.

第I卷選擇題（60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設aeR,則“直線。'+1-1二°與直線、+型+】=。平行”是“。=±1”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用直線平行的性質，分別判斷充分性和必要性即可.

a3—1=0

na=l

【詳解】若直線6+丁-1二°與直線-礙T1二°平行，則,充分性成立；；

當。=1時，則直線=°與直線丫+丁+1=°平行，

當時，兩直線重合，不滿足題意，必要性不成立；

所以直線a、+】一：=°與直線'+牛'+1=°平行是a=±1的充分不必要條件.

故選：A.

2.經過兩條直線L二T二】,=l的交點，且直線的一個方向向量‘二一《"I的直線方程為

（）

A2.t-,v-l=0B2i+,v-3=0

c3T-2,r-5=0D2x4-5=0

【答案】D

【解析】

【分析】求出交點，由方向向量可得斜率，然后由點斜式可得方程.

1詳解】聯立。解得：1V=1,

即直線"F=%"，1丁=1的交點為“11,

又直線的一個方向向量丫=*-6-41所以直線的斜率為-3,

y-\=--(x-1)r-工cn

故該直線方程為：3,即3=0

故選：D.

3.已知S4J■平面ABC,-正工^4-^-1,書,則空間的一個單位正交基底可以為

【答案】A

【解析】

【分析】根據正交基地的定義可知，三個向量兩兩互相垂直，且模長為1.

【詳解】因為J?平面ABC,AB.AC都在面ABC內，

所以&1_L45,￡4_Lj(7.

因為XB，/,AB-\,BC=6所以4C=2,又SA=I,

所以空間的一個單位正交基底可以為

故選：A

4.橢圓164

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.焦距相等D.頂點相同

【答案】C

【解析】

【分析】根據方程求出a,b,c后比較可得.

x|_____

【詳解】橢圓164中a=4,b=2,c=也6-4=2百,

橢圓中弘+乂中a'=6,b*-2>/6,c'=->J36-24=1,

只有半焦距相等，因此焦距相同，其他都不相同,

故選：C.

5.已知圓M截直線i+】'=0所得線段的長度是二6,則圓〃與圓

M「\-19+。-1)'=1的位置關系是

A.內切B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【解析】

d_a

【詳解】化簡圓“/+Wa)'=a'nM(O,a),/i=anM到直線I+J=O的距離至

L+2=a3=>a=2=>A/|0,2).5=2

又ML1)e=卜+S|=兩圓相交選B

6.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案

(如圖1),把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體.若圖3中每

個正方體的棱長為1,則點A到平面的距離是()

?

圖1

1

A.4

【答案】C

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，求平面。的法向量，用點到平面的距離公式計算即可.

【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示:

則。。L0）,。（10二），G（O.O」），出1」,0）,eC=（-1.2-2）,而=（-1。0）.於=（-1,1.0）,

nQC=0—i=o

設平面QGC的法向量為「（、》,：）,貝!j,QG=°,即工=0,則平面QGC的一個法向量

為“=（°L】），

d降」

則點A到平面03°的距離FI■

故選：C

7.已知圓C:（x-2）,+y=64,kT0為圓內一點，將圓折起使得圓周過點尸（如圖），然后將紙

片展開，得到一條折痕，，這樣繼續(xù)下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線,

則該圓錐曲線的方程為（）

—+y3=l

A.：612B.4

X,V*Qxy".

+1=I——+—=1

C.4D164

【答案】A

【解析】

【分析】記點尸關于折痕，的對稱點為A,折痕LC相交于點尸，分析"1+因的值，結合橢圓定

義可解.

【詳解】由題知，'號-'"CUS,記點尸關于折痕，的對稱點為A,折痕”）41相交于點P,

則點A在圓周上，折痕,為線段月產的垂直平分線，如圖所示:

則有網=可知1陰+因卜EI+\PC\=\AC\^>\FC\=4

所以點尸的軌跡是以FC為左、右焦點的橢圓，其中長軸2a=5,焦距2c=4,

所以a=4,,-=二;、二手,

x2y2

所以點尸的軌跡方程，即折痕圍成輪廊的圓錐曲線的方程為1612.

故選：A.

8.如圖，在正方體必2一型￡〃中，0是zc中點，點廠在線段車；上，若直線8與平面Q"

所成的角為6,則寂nd的取值范圍是（）

11

413

【答案】A

【解析】

生=a（o“4】）

【分析】建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1,AA,先利用空間向量法表示出線面

角的正弦值，再結合二次函數求范圍即可.

-^-=1（0<1￡1）一—

【詳解】如圖，設正方體棱長為1,A4,則’4G,

以。為原點，分別以D4口匚所在直線為L,二軸建立空間直角坐標系.

則4L0.0)C(0J0)C。)故福=K?(TLO)不

又4mL則吁")，所嚴

在正方體力88一4反。自中，可知體對角線4°±平面烏40,

所以二0-1L1」?是平面中「的一個法向量，

所以當2時，取得最大值3,當4-0或1時，s】n什取得最小值3.

sin^e-^-w—

所以33-.

故選：A.

【點睛】求空間中直線與平面所成角的常見方法為：

(1)定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；

(2)等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦

值；

(3)向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若直線過點'1二I且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線，'方程可能為()

【答案】ABC

【解析】

【分析】討論直線過原點時和直線不過原點時，分別求出對應的直線方程即可.

上=

【詳解】當直線經過原點時，斜率為1-0所求的直線方程為y=2x,即＞一.『=°；

當直線不過原點時，設所求的直線方程為無土產瓦把點A(1,2)代入可得1-29,或1+2=人，

求得或仁3,故所求的直線方程為'一1+】=°,或|+丁-3二°；

綜上知，所求的直線方程為、一】'=°、x-J'+l=O,或x+J'-3=O.

故選：ABC.

【點睛】本題考查了利用分類討論思想求直線方程的問題，是基礎題.

10.已知點尸在圓c：P+j''_4x=°上，直線48：.r=x+t,則()

A.直線48與圓C相交B.直線45與圓C相離

C.點P到直線,45距離最大值為20+?D.點P到直線距離最小值為1

【答案】BC

【解析】

【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可判斷.

【詳解】解：圓G丁+丁-430,即(”-2)+i=4,圓心為C(2Q),半徑「=:,

則圓心c到直線兒§的距離-L，所以直線45與圓c相離，

又點P在圓二'上，所以點P到直線.45距離最大值為20+2,點尸到直線.43距離最小值為

-7^-2,故正確的有B、C.

故選：BC

11.正方體，北。。小耳，。1的棱長為1,已知平面a,/q,則關于,“截此正方體所得截面的判斷正確

的是()

A.截面形狀可能為正三角形

B.截面形狀可能為正方形

C.截面形狀可能為正六邊形

D.截面面積最大值為.

【答案】AC

【解析】

【分析】借助正方體，畫出截面圖形，再對選項進行一一判斷.

【詳解】如圖，在正方體檢8-44C1A中，連接43、4。、BD.AC,

因為兒4■1?平面MCD,BDu平面/BCD,則

因為四邊形-必°。為正方形，則

又因為乂CC=4,<Cu平面必℃,所以，BD/平面441clC,

因為4￡u平面以。￡則4cl_LBZ),同理可證陽J_4況

因為43cAD=B,ABBOu平面4'。，則<。1~*■平面司嗎

所以平面a與平面43。平行或重合，

所以平面a與正方體的截面形狀可以是正三角形，

當E、F、N、M、G、斤分別為對應棱的中點時，截面瓦為正六邊形，

因為￡、H分別為3反、4媯的中點，則石月工?51,

因為EHa平面4且0,43u平面430,則AH〃平面43Q,

同理可得M〃平面43°,

又因為RHAEF=E,EH、RFu平面EFNMGH,則平面XFMlOf〃平面其口,

所以，4c,平面EF?v?fGH,此時，截面為正六邊形，c對；

將平面a平移，可知截面不可能是正方形，B錯；

如圖設截面為多邊形OM&7A歸，

則GH=ME=NF=,MG=HN=BF=右0-x).MN=6.

所以多邊形OMWK%，的面積為兩個等腰梯形的面積和，

S=!9H+MN}%+%(MV+M%

所以22

因為％/而71誓獷=即

5=l(V2x+>/2)將…+口夕+而一切

所以

=-V3x3+>/3x+--?

*>

103yf3

x=—S=——

當？時，54,D錯.

故選：AC.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查空間幾何體的截面問題，求解時要注意從動態(tài)的角度進行分析問題和求解

問題，結合函數思想求解最值.

12.已知橢圓259'分別為它的左右焦點，A，分別為它的左右頂點，點尸是橢圓上的一

個動點，下列結論中正確的有（）

5P居

A.存在P使得2

B.COSN寫尸用的最小值為8

9

c.直線月4與直線斜率乘積為定值工

D.P3Q則"附的面積為9

【答案】AD

【解析】

【分析】A選擇可由數量積求夾角余弦值來判斷」TRT的最大角是否大于等于直角即可；B選項利用橢

圓的定義以及余弦定理結合基本不等式的知識可解；C選項直接求上〃結合橢圓方程化簡可得定

值，也

=_竺

可以記住k”k”一了這個小結論直接判斷；D選項由橢圓定義和勾股定理可求網閥I的值，再

利用面積公式求答案.

C=1

【詳解】設橢圓「上下頂點為由題知橢圓-59中，0=5力=3<=4,

6(-40)其(4,0)/(-5,0)/(5,0),。(0,3)笈(0.-3)

所以,

對于A選項,由于D及=(T-3),。居(4.-3),D。Z)^=-16+9=-7<0

Z_PPPs二

所以一尸尸匠的最大角為鈍角，故存在「使得一’72,故A正確；

對于B選項，記冏卜E.|P引=”，則用+力=10,

._m3+n3-64（m+n）2-2mn-6436-2mn18,

cosN招產K=--------------------；-------------=----------------1

由余弦定理：-加〃2wi2mnmn

當且僅當I尸"1|=附1時取=,B不正確；

對于C選項,設尸（”“"均，川-5.0|05.0）

對于D選項,由于尸區(qū)心入，故1/+/=64

S=—wt=9.D

所以一；2正確；

故選：AD.

第n卷非選擇題（90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.與圓丁+/-入+4\+'=°同圓心，且過點"I的圓的方程是：.

【答案】一+/-2.v+4r-4=0

【解析】

【分析】設所求方程為「+~：I+±1'+E=0,然后代入點T"即可求解.

【詳解】設所求圓的一般式方程為1-八++’+"一口,

代入點”1,可得1+1-二+4+巾=0,解得巾=-4,

所以，所求圓的方程為--?+4r-4=0

14.如圖，月41平面世。。，底面/CD是正方形，夙尸分別為PQ,9B的中點，點G在線段"

上，ZC與3。交于點。，PA=AB=2,若0G〃平面面。，則4G=.

【答案】3

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，求出平面即C的法向量，根據亢CG=O求解即可.

【詳解】如圖所示，以A為坐標原點，，必-愈一好的方向分別為?二軸的正方向建立空間直角坐標

系，

由題意可得尸(0.0Q.B(2.0,0a(0：0lC01Q(LL0)

則尸|L0,11,00,1,11,

所以后而=(一】］必，

設平面即C的法向量為*=,A-v-rl,

nFC-0x+2j-:=O

則［方尸8=01-x+"0，令X=1,則得一個法向量為5?(LL3)

因為。G//平面邱匕，則彳。6=0,

設G(°￡a),則8=(-Ia),所以7-1+1=0,

a--G（0.0.5]AG=—

解得3,所以l,九即3.

故答案為：3

15.點尸（TT）到直線/12+34）*+（1+&JT-3Z=0（%為任意實數）的距離的最大值是

【答案】M

【解析】

【分析】求出直線所過定點坐標，由定點與尸的連線和直線，垂直時距離最大可得結論.

【詳解】直線，：（2+3Z）x+（l+a）尸2-3/1=0可化為：（2x+.v-2）+Z（3.t+.v-3）=0,

2“+y-2=0x=l

由13x+r-3=o,解得U=o,

直線，恒過定點4二。,，

陽=>+（0+D'=眄

二月41,時距離最大，點尸L-->到直線的距離為,1。，

故答案為：Vio.

16.2023年第19屆亞運會在中國浙江杭州舉行，杭州有很多圓拱的懸索拱橋，經測得某圓拱索橋（如

圖）的跨度米，拱高I閉.10米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，則與0產相距

30米的支柱孫'的高度是米.（注意：麗力”62）

P

4MOB

【答案】648

【解析】

【分析】以點尸為坐標原點，°尸所在直線為.「軸，過點戶且平行于48的直線為1.軸，建立平面直角坐

標系，求得點A的坐標，設所求圓的半徑為，，由勾股定理可列等式求得r的值，進而可求得圓的方程，

然后將、=-30代入圓的方程，求出點N的縱坐標，進而即可計算出小N的長.

【詳解】以點P為坐標原點，°尸所在直線為J軸，過點戶且平行于二3的直線為x軸，建立平面直角坐

標系，

由題意可知，點A的坐標為‘—5。一】山，設圓拱橋弧所在圓的半徑為「,

由勾股定理可得+

又閉.10即(10廠+5丁=3，解得「=130,

所以圓心的坐標為加，則圓的方程為『+"+130)’=130’,

將x=-30代入圓的方程得。'+】30)'=130a-(-30)'=16000,

又解得J>=40而'-130,

,AW=|40/10-130)-(-101="407i0-120?648八八

所ccl以>5(米).

故答案為:648

四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其它每題共70分.解答應寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.已知直線/儂-J'+l-m=0和圓C一+。'-】)'=5.

(1)求證：對任意實數川，直線，'和圓「總有兩個不同的交點；

(2)設直線，和圓。交于43兩點.若7回.而'，求，的傾斜角.

【答案】(1)證明見解析

兀2n

(2)3或3

【解析】

【分析】(1)解法1：聯立方程結合A>0分析判斷；解法2：利用點到直線的距離判斷直線與圓的位置

關系；解法3：根據直線過定點，結合點與圓的位置關系分析判斷；

(2)根據弦長關系求直線，的斜率，進而求直線的傾斜角.

【小問1詳解】

解法1：將，=1+向L】I代入f+(.r?D'=5,

,I1+.rrj：II3--5=U

何B，

因為△=16w2+20>0,故直線，和圓?？傆袃蓚€不同的交點；

解法2：由題意可知：圓’「的圓心為0°'“，半徑，

Hr^z

圓心C(0J)到直線，的距離Vl+m3V1+m1<1<r,

于是直線，和圓?？傆袃蓚€不同的交點;

解法3直線LE-.r+lf=O,gpm（x-l）+l-y=O

T-】=0T=1

令l】-F=。，解得U=l,即直線，恒過定點尸（6）,

因為內卜"+（1?1）'=】＜6,所以點尸在圓。內，

于是直線，和圓。總有兩個不同的交點.

【小問2詳解】

K2n

即直線，的斜率為土相，所以，的傾斜角為閂或S.

18.如圖，在四棱錐尸-,45CD中，月4,平面-P3與底面所成的角為45。，底面X5CD為直角

梯形，ZABC=ZBAD=90°,AD=2,PA=BC=\,

（i）求直線與平面尸8。所成角的正弦值；

（2）求平面R43與平面FCD所成的銳二面角的余弦值.

73

【答案】（1）9

皿

（2）6

【解析】

【分析】（1）以A為坐標原點，建立的空間直角坐標系°一°;，求得向量尸‘=",一"，和平面

尸8。的一個法向量"一?，＞,結合向量的夾角公式，即可求解；

（2）由平面尸45’的一個法向量入T°,陽，求得平面尸?？诘囊粋€法向量為町結合向量的夾

角公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：因為P4_L平面/3CD,且平面/8CQ,所以R414B,PA1AD,

又因為44D=90°,所以X51疝），

因為PB與底面所成的角為45',所以」瓦4=*。，故,45-24=1,

以A為坐標原點，.43,AD,/1P所在直線分別為1軸，.「軸，二軸建立的空間直角坐標系°一11二,

如圖所示，

因為Q=?,尸H=BC=1,可得3（】?°）,。（°，二01,尸901），QLL0）

所以》P5=（1.0,-l|；PD=（0.2,-l）

73

所以直線FC與平面尸8D所成角的正弦值為口.

【小問2詳解】

—I-4

r>.八為二—AD?I0,01

解：根據題意，平面月48的一個法向量2,

&PC=a+b-c=0

設平面尸CD的一個法向量為7=（。?瓦。），可得I巧,2D*》-二=°

取，5=1,則c=2,a=l,所以%

則環(huán)力麗

亞

所以平面R45與平面尸CD所成的銳二面角的余弦值為6.

19已知圓C4+./-4X-6J，+9=0

（1）過點”*5i作圓C的切線，，求，的方程；

⑵若圓d'+*-4j'-4=°與圓C相交于A、B兩點，求解.

【答案】⑴4x+3.r-17=0或］，=5

3V6

(2)2

【解析】

【分析】(1)設切線方程為6-'+'-3七=°,根據圓心到直線距離等于半徑即可求解;

(2)利用兩圓方程消去丁??丁求得公共弦所在直線方程，再由弦長公式可解.

【小問1詳解】

圓°方程可化為+(k3)=4,

則圓心C/2Ti,半徑為2,

由(3_：『+，。_受［＞4,可知點尸在圓外，

由圖可知，過點尸的直線斜率存在，

設，的方程為'-5="(*一刈，即H-.v+5-3k=°,

即產那一_4

則圓心°到直線，的距離為川+上’,解得上=0或3,

/的方程為4T+31-：=0或.、?=5.

【小問2詳解】

x3+.rJ-4x-6v+9=0

由卜+『+"4.1=0消去F.『，

整理得直線AB方程為6、+】3-13=0,

h2+6-l^加

則圓心C到直線AB的距離-VIO4,直線與圓相交，

|朋=乂4-/=濁

所以??2.

20.已知橢圓,T'獷'’的焦距和短軸長相等，上頂點為工"口〔

(1)求E的方程;

PMJ3\i.MN=—,

（2）過點‘7斜率為左的直線，與橢圓后交于不同的兩點A/、N,且7，求大的值.

--+Y=I

【答案】⑴2

⑵k=土后

【解析】

【分析】（1）根據題意即可得6=Lc=l,然后可解；

（2）設直線'1'=-+/，聯立橢圓消去》然后由弦長公式列方程可解.

【小問1詳解】

26=2e

由題知，焦點在X軸上，[6=1

所以6=11=1,

所以a'=b'+c'=2,

r4r+/=l

所以橢圓E的方程為2

【小問2詳解】

根據題意,設直線'】'=—+石，MlWj.M一二，

.v=a+/

整理得（1+"'"+4回+4=0

則

△=（4版）'-4x4x（l+"1=l&=l6>0即1>]

—叫―」

l+"?*J1+2*1,

4丑+產）仔一1）80

[MV|=Jl+上'7+丐）'-4丫吊=

l+丁7,

19

gpl7F-32*J-57=0,解得：左2=3或17（舍去），

k=±>/3

21.如圖，四棱臺?函1'°一＜5；匕口中，上、下底面均是正方形，且側面是全等的等腰梯形，

X5=14&=4,E、尸分別為DC、的中點，上下底面中心的連線0。垂直于上下底面，且°】。

與側棱所在直線所成的角為45°.

⑴求證：3卬/平面G期;

3V22

（2）邊月C上是否存在點A/,使得直線4"與平面"即所成的角的正弦值為一三一，若存在，求出

線段球/的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在，BM=1

【解析】

【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，由空