福建省部分高中2024-2025學年高二上學期第二次階段性質量檢測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省部分優(yōu)質高中2024-2025學年高二上學期第二次階段性質量檢測數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線，直線斜率為0，所以直線傾斜角為.故選：D.2.已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B. C. D.2024【答案】B【解析】由，可得，同理可得，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，則.故選：B.3.如圖，在四面體中，為棱的中點，點，分別滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知.故選：D．4.已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且，若，則橢圓離心率為（）A B. C. D.【答案】D【解析】設,則，因，由余弦定理：，則，，則.故選：D5.已知等差數(shù)列的前和為，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.6.在平面直角坐標系中,點為圓上一動點,點到直線的距離記為，當變化時，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知的圓心為，半徑為；且直線過定點0,2，當圓心與定點的連線與直線垂直時，圓心到直線距離最大為，因此可知圓上的點到直線距離的最大值為.故選：B7.已知雙曲線的右焦點為F，圓M的方程為若直線l與圓M切于點，與雙曲線C交于A，B兩點，點P恰好為AB的中點，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設直線l的斜率為k，則，所以，因為點在圓上，，即，設點，，則，.兩式相減，得則，即，所以雙曲線C的方程為.故選：B.8.經(jīng)過拋物線的焦點F的直線交C于A，B兩點，與拋物線C的準線交于點P，若成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，拋物線的準線方程為，因為過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，且與拋物線的準線相交，所以直線的斜率存在且不為0，設直線方程為，與聯(lián)立得，設，顯然，則，，故，設直線傾斜角為，則，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是B.直線經(jīng)過第一、二、三象限C.過點且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為D.過點，且傾斜角為90°的直線方程為【答案】ABD【解析】對于A，令x=0，求得，則直線在y軸上的截距為，故A正確；對于B，直線

的斜率為，在y軸上的截距為，易知直線經(jīng)過第一、二、三象限，B正確；對于C，當直線經(jīng)過原點時，設，代入點，求得，此時直線方程為y=2x；當直線截距不為0時，設方程為，代入點，求得，此時直線方程為，故C錯誤；對于D，傾斜角為90°的直線斜率不存在，則過點并且傾斜角為90°的直線方程為，故D正確.故選：ABD.10.給出下列命題，其中是真命題的是（）A.在空間直角坐標系中，點關于軸對稱點的坐標是B.已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，用基底表示向量C.向量在向量上的投影向量為D.已知正方體棱長為2，點在線段上運動，則的最小值為【答案】BC【解析】點關于軸對稱點的坐標是，故選項A為假命題；顯然不共面，，所以選項B為真命題；向量在向量上的投影向量為，所以選項C為真命題；由題可得示意圖圖一，將放在同一個平面上得圖二，當三點共線的時候有最小值為,由題可知，由余弦定理可知，所以選項D為假命題；故選：BC11.分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行白圈的個數(shù)為,其前n項和為；黑圈的個數(shù)為，其前n項和為，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于每一個白圈產(chǎn)生下一行的1白1黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的1個白圈2個黑圈，第n行白圈的個數(shù)為，黑圈的個數(shù)為，所以，所以B錯誤，所以由，得，，，所以A正確，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以D正確，因為，所以，因為，，所以，所以，所以C錯誤，故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是橢圓上的一點,且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點，直線的斜率為，則的面積為_____________.【答案】【解析】設，且，由可得故，故，，則，平方可得，化簡可得，求得，故，故答案為：13.已知過拋物線的焦點的直線與交于，兩點，線段的中點為，且．若點在拋物線上，動點在直線上，則的最小值為________．【答案】【解析】由題知，設Ax則，，又，所以，拋物線方程為，聯(lián)立，得，無解，則直線與拋物線沒有公共點，設與拋物線相切且與平行的直線為，則聯(lián)立，得，則，解得，則的最小值為.故答案為：14.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（不含端點），給出下列結論：①存在點，使得；②不存在點，使得異面直線與所成的角為；③點到平面的距離有最小值無最大值；④當點自向處運動時，直線與平面所成的角逐漸增大．其中正確結論的序號是______．【答案】②④【解析】以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，對于①，假設存在點，使得，則，所以，解得，不符合題意，所以①錯誤；對于②，假設存在點，使得異面直線與所成的角為，因為，所以，此時方程無解，所以不存在點使得異面直線與所成的角為，所以②正確；對于③，如圖所示，連接，設，因為，所以，無最小值也無最大值，又因為平面，且是線段的中點，可得點到平面的距離為，所以三棱錐的體積，無最大值也無最小值，又的面積為定值，則三棱錐的高也即點到平面的距離，也無最大值和最小值，所以③錯誤；對于④，由，設平面的法向量為，則，令，則，所以，因為，設直線與平面所成的角為，可得，所以，當點自向處運動時，的值由到變大，單調遞增，因為在為增函數(shù)，所以也逐漸增大，所以④正確.故答案為：②④.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切．（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．解：（1）設圓的方程為，由已知得，解得，，，所以圓的方程為，即；（2）①若直線有斜率，可設的方程為，即，由已知，則圓心到直線的距離解得，此時，直線的方程為，即；②若直線沒有斜率，則的方程為，將其代入，可得或，即得，，滿足條件，綜上所述，直線的方程為或．16.已知拋物線，其焦點為，點在拋物線C上，且．（1）求拋物線的方程；（2）為坐標原點，為拋物線上不同的兩點，且，求證：直線AB過定點；解：（1）拋物線，,其焦點為，準線方程為，可得，且，解得，或（舍去），，則拋物線的方程為；（2）如圖，設直線的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，所以，由，可得即，解得，或（舍去），所以直線恒過定點.17.在四棱錐中，側面底面，側面為正三角形，底面為矩形，是的中點，且與平面所成角的正弦值為.（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成夾角的正弦值.解：（1）底面為矩形，則，又因為側面底面，側面底面，平面，所以平面，而平面，所以，又側面為正三角形，是中點，所以，又，平面，所以平面；（2）取中點，連接，則，又因為側面底面，側面底面，平面，所以平面，以為原點，過平行于的直線為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，則，，，，則，，平面的一個法向量是，因為與平面所成角的正弦值為.，所以，解得（負值舍去），，，所以直線與直線所成角的余弦值為；（3）由（2）知，設平面的一個法向量是，則，取，則，，所以為平面的一個法向量，，，，設平面的一個法向量是，則，取，則，，所以為平面的一個法向量，，設平面與平面所成夾角為，則，從而．所以平面與平面所成夾角的正弦值為．18.已知雙曲線的中心在原點，過點，且與雙曲線有相同的漸近線.（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知，是雙曲線上的兩點，且線段AB的中點為，求直線AB的方程；（3）設雙曲線C：的半焦距為，直線過兩點，已知原點到直線的距離為，求雙曲線的離心率.解：（1）因為雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，不妨設雙曲線的方程為，因為雙曲線經(jīng)過點，解得，則所求雙曲線的標準方程為；（2）不妨設,，,，因為線段的中點為，所以，，因為，兩點都在雙曲線上，所以，可得，即，則，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，則，故直線與雙曲線有兩個交點，從而可得直線方程為，即.