黑龍江省大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)二部2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)20242025學(xué)年度上學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共60分.1.已知集合，，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，集合中的元素在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，A不是；對(duì)于B，集合中的元素在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，B不是；對(duì)于C，集合中的每個(gè)元素，按照，在集合中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，C是；對(duì)于D，集合中的元素在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，D不是.故選：C2.已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，及韋恩圖求陰影部分對(duì)應(yīng)的集合.【詳解】由題設(shè)或，或，所以，由圖知，陰影部分為，所以.故選：D3.已知：，.若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.0,1 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式、對(duì)數(shù)不等式求對(duì)應(yīng)范圍，結(jié)合充分不必要條件有，即可得范圍.【詳解】由，可得；由，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則.故選：C4.函數(shù)在上的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性，可排除B；由時(shí)，可排除選項(xiàng)CD，可得出正確答案【詳解】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B，又，排除選項(xiàng)CD，故選：A5.已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，若函數(shù)，則（）A.2024 B.2025 C.4048 D.4049【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知有，進(jìn)而可得、，利用對(duì)稱性求目標(biāo)式的值.【詳解】由題可知：，則，所以，且，則.故選：D6.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.1,+∞C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有在上遞減，且函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，利用單調(diào)性和對(duì)稱性解不等式求解集.【詳解】由題設(shè)，在上遞減，且函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)，則，所以，可得.故選：D7.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)及對(duì)應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)知的對(duì)稱軸為且求參數(shù)關(guān)系及范圍，進(jìn)而求目標(biāo)式范圍.【詳解】由題設(shè)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則，且，即，所以，可得，所以.故選：B8.設(shè)函數(shù)，正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，則，整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)判斷A、B、C，應(yīng)用作差法判斷D.【詳解】A：時(shí)有，錯(cuò)；B：由，必有，對(duì)；C：由，即，則，對(duì)；D：，，且，，，故，所以，即，對(duì).故選：BCD10.已知，若，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，用表示出，結(jié)合各項(xiàng)判斷正誤.【詳解】A：時(shí)，，，故，，所以，對(duì)；B：同A分析，，，若，則，對(duì)；C：由B分析，，則或，錯(cuò)；D：同C分析，，則或，錯(cuò).故選：AB11.已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則（）A. B.C. D.的最小值是32【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)解析式畫出的大致圖象，數(shù)形結(jié)合研究與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，得，并由對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)得、，進(jìn)而判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)的大致圖象如下，，，，為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由圖知，，，A錯(cuò)；且，，B、C對(duì)；由，而，所以，無(wú)最小值，D錯(cuò).故選：BC12.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.是偶函數(shù)C.若，則D.若當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】A令判斷；B令結(jié)合在上的不恒為零判斷；C令得，再由已知求；D若，由題設(shè)得，令結(jié)合單調(diào)性定義及已知判斷單調(diào)性.【詳解】A：令，可得，對(duì)；B：令，則，由在上的不恒為零，故不恒成立，錯(cuò)；C：令，則，則，令，則，對(duì)；D：若，則，即，取，則，顯然，即，所以，即，故在單調(diào)遞減，對(duì).故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則不等式的解集是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，再分析該函數(shù)的單調(diào)性即可得．【詳解】，則，又，故的定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，有均為單調(diào)遞增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故該函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，即可得，解得．故答案為：．14.定義：x表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)新定義及分式型函數(shù)的值域，求在、x∈0,+∞上對(duì)應(yīng)值域，即可得結(jié)果.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，則.所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：15.函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分別研究當(dāng)與時(shí)在上的單調(diào)性，且在恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，且，令，則其對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，且在恒成立，則，解得，②當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，且在恒成立，則，解得，綜述：或.故答案為：.16.已知函數(shù)，若的圖象上存在不同的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的圖象上存在不同的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱列方程，利用換元法來(lái)求得的取值范圍.【詳解】，由于的圖象上存在不同的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f?x即，①，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，則①可化為，依題意，此方程在上有解，當(dāng)，解得，當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，不符合題意.當(dāng)，即②時(shí)，設(shè)，的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，要使在上有零點(diǎn)，則或，解得或，結(jié)合②得.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)稱點(diǎn)條件的正確使用：在列出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的條件時(shí)，容易因條件代入不準(zhǔn)確而導(dǎo)致方程錯(cuò)誤.在運(yùn)用對(duì)稱點(diǎn)條件時(shí)，需確保每個(gè)代入步驟的符號(hào)處理正確.一元二次方程的解集判斷：在判斷一元二次方程的解的存在性時(shí)，特別是對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行分類討論時(shí)，容易遺漏某些特殊情況或邊界條件.因此，在討論每種情況時(shí)，要確保所有可能性都得到了充分考慮.四、解答題：本大題共6小題，其中17題滿分10分，其余各題滿分12分，共70分.17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?（1）求集合，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由根式、對(duì)數(shù)性質(zhì)求函數(shù)定義域，確定集合；（2）根據(jù)包含關(guān)系列不等式求參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意，，即，解得，即，由題意，，因?yàn)椋瑒t，可得，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，解得，又，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的值域；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)有，應(yīng)用換元法，令，將問(wèn)題化為求二次函數(shù)的值域；（2）同（1）換元，問(wèn)題化為，能成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求右側(cè)最大值，即可得范圍.【小問(wèn)1詳解】由，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以函數(shù)的值域?yàn)?,4.【小問(wèn)2詳解】由，令，則又，能成立，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，所以，由不等式在上有解，得，因此，的取值范圍是.19.已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）若，求；（2）已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得或，結(jié)合奇偶性即可求解，進(jìn)而可得的表達(dá)式，代入即可求解，（2）利用單調(diào)性的定義求解的單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)的最值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，即可求解.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，不是奇函數(shù)，舍去，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意.∴，∵，∴.【小問(wèn)2詳解】關(guān)于的不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，下面先研究函數(shù)的單調(diào)性，不妨設(shè)，則，∵，∴，，，∴，即，故在上單調(diào)遞增，∴，由題意，，解得，所以的取值范圍是.20.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）求的值；（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得的最小值為0？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到恒等式，求參數(shù)值即可；（2）由題設(shè)有，應(yīng)用換元法，令且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間位置研究最小值，即可得參數(shù)值.【小問(wèn)1詳解】因函數(shù)（）是偶函數(shù)，故，因x∈R且不恒為0，故，得.【小問(wèn)2詳解】由（1），得，則，設(shè)，因，則，，其對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，不符題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上先減后增，故，解得，故；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，不符題意，舍去.故存在，使得的最小值為0.21.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于給定的，若存在，使得函數(shù)滿足：①函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)在上的值域是，則稱是函數(shù)的級(jí)“理想?yún)^(qū)間”.（1）判斷函數(shù)fx=1x，x∈0,+∞是否存在1級(jí)“理想?yún)^(qū)間（2）證明：函數(shù)存3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”；（3）設(shè)函數(shù)，，已知函數(shù)hx單調(diào)遞增，若函數(shù)hx存在級(jí)“理想?yún)^(qū)間”，求的值.【答案】（1）存在，（2）證明見(jiàn)解析（3）2或3.【解析】【分析】（1）直接由“理想?yún)^(qū)間”的定義判斷即可.（2）由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，由零點(diǎn)存在定理知有零點(diǎn)，，所以方程組有解，即函數(shù)存在3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”（3）根據(jù)函數(shù)在上為單調(diào)遞增得到，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在至少有一個(gè)實(shí)根.分、三種情況，分別求得滿足條件的k即可.【小問(wèn)1詳解】存在.【小問(wèn)2詳解】設(shè)函數(shù)存在3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”，則存在區(qū)間，使的值域是.因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，可知，，，，由零點(diǎn)存在定理知，存在，，使，.設(shè)，，所以方程組有解，即函數(shù)存在3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”.【小問(wèn)3詳解】若函數(shù)存在級(jí)“理想?yún)^(qū)間”，則存在區(qū)間，函數(shù)的值域是.因?yàn)椋稳?，且，有，因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).所以，于是方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根.即在上有兩個(gè)不等實(shí)根.顯然是方程的一個(gè)解，所以在至少有一個(gè)實(shí)根.（1）當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍；（2）當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，舍；（3）時(shí)，,所以，解出.所以，又因?yàn)椋曰?22.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：①對(duì)，，都有；②時(shí)，；③不存在，使得.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：在上單調(diào)遞增；（3）若，不等式對(duì)恒成立，試求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）賦值法求得，然后再令可證得奇函數(shù)；（2）由已知先證得，再根據(jù)單調(diào)性定義可得答案；（3）由已知求出，然后已知不等式化簡(jiǎn)后由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，從而求得的范圍，最后再由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，得，解得或，又不存在，使得，∴，令，得，∴，，∴為奇函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】時(shí)，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，又不存在，使得，∴，∴時(shí)，，又∵為奇函數(shù)，∴時(shí)，，∴對(duì)，，任取，則，，而，∴，又，∴，∴，∴，，∴在上單調(diào)遞增；【小