江西財經(jīng)大學統(tǒng)計學第九章相關(guān)與回歸分析

STAT

第九章相關(guān)與回歸分析統(tǒng)計實例STAT統(tǒng)計實例

賬單與小費的關(guān)系在西方國家，餐飲等服務行業(yè)有一條不成文的規(guī)定，即發(fā)生餐飲等服務消費時須給侍者一定數(shù)額的小費。許多人都聽說小費應是賬單的16%左右，是否真的如此？統(tǒng)計實例STAT

我們必須關(guān)注的問題是：

1.賬單與小費之間是否確實有關(guān)？

2.若有關(guān)，則屬于何種關(guān)系？

3.如何根據(jù)賬單來推算小費的數(shù)額？本章的重點就是根據(jù)成對出現(xiàn)的樣本數(shù)據(jù)做出一些推論。并力求描述賬單與小費之間的數(shù)量關(guān)系，這樣就能找出人們留小費時所應遵循的規(guī)則。第九章相關(guān)與回歸分析STAT

本章重點

1.相關(guān)關(guān)系與回歸方程概述；

2.相關(guān)關(guān)系的測定；

3.回歸方程的擬合：方程的擬合；擬合優(yōu)度的判定指標：判定系數(shù)，估計標準誤

4.回歸方程的應用（估計與預測）。

本章難點

1.積差法相關(guān)系數(shù)的計算；

2.擬合優(yōu)度的判定。第九章相關(guān)與回歸分析STAT第一節(jié)相關(guān)關(guān)系概述一、問題的提出

1.單個變量的研究

分布、平均及標準差、推斷等；

2.多個變量的研究

有無關(guān)系、何種關(guān)系、如何推算變量間的影響。（1）計件工資與產(chǎn)量；（2）原材料消耗與產(chǎn)量、單位產(chǎn)量消耗和原材料價格；（3）糧食產(chǎn)量與施肥量；（4）香煙消費與癌癥發(fā)生率；（5）血壓與年齡；（6）父母身高與子女身高；（7）家庭收入與打屁股次數(shù)；（8）工資增加與酒價上漲第九章相關(guān)與回歸分析STAT二、變量間的相互關(guān)系（一）函數(shù)關(guān)系

1.定義：完全確定的（數(shù)量）關(guān)系。一一對應關(guān)系?。?）某一變量的變動可由另一（組）變量的變動完全解釋；

計件工資（y）與產(chǎn)量（x）

y=f（x）=10x；原材料消耗總額（y）與產(chǎn)量（x1）、單位產(chǎn)量消耗（x2）和原材料價格（x3）

y=x1·x2·x3。（2）y

被解釋變量（因變量）；x

解釋變量（自變量）。（二）相關(guān)關(guān)系

1.定義：不完全確定的關(guān)系。統(tǒng)計關(guān)系，平均對應關(guān)系！第九章相關(guān)與回歸分析STAT身高（y）與體重（x）；

A：x=60kg、y=1.70m；B：x=60kg、y=1.72m；

C：x=60kg、y=1.68m；D：x=60kg、y=1.65m。

表述：y=f（x）+

2.相關(guān)關(guān)系的成因（1）某些影響因素尚未被認識；（2）雖已認識但無法測量；（3）測量誤差。

某種水果2元/斤：購買額y=2x

購買量

y=4元、x=2斤

y=2x+=2×1.9+0.2=4元

3.數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式第九章相關(guān)與回歸分析STAT（1）單一因果關(guān)系糧食產(chǎn)量與施肥量；（2）互為因果關(guān)系身高與體重；（3）伴隨關(guān)系教師的薪金與酒價。三、相關(guān)關(guān)系的種類（一）按相關(guān)的程度分

1.完全相關(guān)：函數(shù)關(guān)系；

2.不相關(guān)：沒有關(guān)系；[例]蘇格蘭：虱子數(shù)與健康狀況。

3.不完全相關(guān)。（二）按相關(guān)的方向分

1.正相關(guān)：變量的變動方向一致（同增同減）；

2.負相關(guān)：變量的變動方向相反（一增一減）。第九章相關(guān)與回歸分析STAT（三）按相關(guān)的形式分

1.線性相關(guān)；

2.非線性相關(guān)。相關(guān)程度密切相關(guān)程度不密切第九章相關(guān)與回歸分析STAT（四）按影響因素的多少分

1.單（簡）相關(guān)：只有一個自變量。

學習成績與學習時間；血壓與年齡；畝產(chǎn)量與施肥量。

2.復（多元）相關(guān)：兩個或兩個以上的自變量；

經(jīng)濟增長與人口增長、科技水平、自然資源、管理水平等之間的關(guān)系；體重與身高、食欲、睡眠時間之間的關(guān)系。

3.偏相關(guān)：就多個變量測定其中兩個變量的相關(guān)程度而假定其他變量不變。

就y=ax1+bx2+，研究y與x1之間的關(guān)系，假定x2不變。第九章相關(guān)與回歸分析STAT第二節(jié)線性相關(guān)關(guān)系的測定[目的]測定變量間的相關(guān)方向與密切程度。一、相關(guān)圖表（一）相關(guān)表

1.單變量分組相關(guān)表：自變量分組且計算次數(shù)，因變量只計算平均數(shù)。第九章相關(guān)與回歸分析STAT

2.雙變量分組相關(guān)表：對自變量與因變量均進行分組。注：自變量X軸；因變量Y軸。（二）相關(guān)圖：散點圖。

不足：難以精確反映相關(guān)的密切程度。第九章相關(guān)與回歸分析STAT●橫軸代表各省份田地種植水稻比例，上海為最高，約90%?！窨v軸代表各省份居民傾向集體主義的比例，上海、江西和重慶為前三位。第九章相關(guān)與回歸分析STAT二、（線性）相關(guān)系數(shù)※（計算方法：積差法，方差法）（一）積差法計算公式變型公式：協(xié)方差是兩個隨機變量相互關(guān)系（“互動性”）的一種統(tǒng)計測度。第九章相關(guān)與回歸分析STAT（二）協(xié)方差sxy的作用

1.顯示x與y之間的相關(guān)方向。（一）

+

+（三）

–

–

sxy

>0

正相關(guān)：r>0第九章相關(guān)與回歸分析STAT[負相關(guān)]（二）

–

+（四）

+

–

Sxy

0

負相關(guān)：r0第九章相關(guān)與回歸分析STAT

2.顯示x與y之間的相關(guān)程度。第九章相關(guān)與回歸分析STAT[負相關(guān)]第九章相關(guān)與回歸分析STAT[判定兩變量是否存在相關(guān)關(guān)系]第九章相關(guān)與回歸分析STAT[歸納]sxy的作用第一，顯示x與y之間的相關(guān)方向第二，顯示x與y之間的相關(guān)密切程度（同一變量水平下）問題：如果變量x>p，y>q（即不同一變量水平下）

；且sxy

>spq

能否認為x與y之間的相關(guān)程度一定會高于p與q？

第九章相關(guān)與回歸分析STAT（三）sx、sy的作用

1.使不同變量的協(xié)方差標準化直接對比。第九章相關(guān)與回歸分析STAT[例]甲、乙兩人有關(guān)食量與體重資料如下（單位：斤）第九章相關(guān)與回歸分析STAT

150152160

-0.76-0.381.13第九章相關(guān)與回歸分析STAT

2.使第九章相關(guān)與回歸分析STAT附：r的變型計算公式推導第九章相關(guān)與回歸分析STAT[r的變型計算公式推導]第九章相關(guān)與回歸分析STAT[r的變型計算式]第九章相關(guān)與回歸分析STAT（四）線性相關(guān)的判斷準則

[例]為了解營業(yè)員每人月平均銷售額（萬元）和利潤率（%）之間的關(guān)系，特從100家商店中隨機抽取10家，得到如下資料，試計算樣本相關(guān)系數(shù)。第九章相關(guān)與回歸分析STAT計算過程：第九章相關(guān)與回歸分析STAT經(jīng)計算得：x=50，y=110.8，x2=294，y2=1465，

xy=654.9，n=10答：人均銷售額與利潤率之間存在著高度的正相關(guān)關(guān)系。第九章相關(guān)與回歸分析STAT問：若令人均銷售額為y，利潤率為x，則r的取值是否改變

?第九章相關(guān)與回歸分析STAT（五）樣本相關(guān)系數(shù)的特性

1.兩變量均為隨機變量。

2.兩變量的地位是平等的rxy=ryx。

3.其接近于1的程度與樣本容量n有關(guān)。

n

小，r1。特例：當n=2時，r=1。

[例]樣本（x,y）為（6,12.6）,（1,3.0）,n=2。第九章相關(guān)與回歸分析STAT一些人相信手掌生命線的長度可以來預測他們的壽命。M.E.Wilson和L.E.Mather在《美國醫(yī)學協(xié)會學報上》發(fā)表的一封信中，通過對尸體的研究對此給予了駁斥。死亡時的年齡與手掌生命線的長度被一起記錄下來。作者得出死亡時的年齡與生命線的長度不存在顯著相關(guān)的結(jié)論。手相術(shù)失傳了，手也就放下了?？词窒啵旱诰耪孪嚓P(guān)與回歸分析STAT（六）線性相關(guān)的顯著性檢驗(不講)

1.t檢驗（R.A.Fisher檢驗）（1）提出假設：H0：＝0

H1：0

（2）計算檢驗統(tǒng)計量；（3）將檢驗統(tǒng)計量與臨界值比較，如檢驗統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值，則拒絕原假設；反之亦反。

2.r檢驗法：查《相關(guān)系數(shù)檢驗表》，在給定下，若rr

（n-2）,則拒絕H0。第九章相關(guān)與回歸分析STAT

[例]為了解營業(yè)員每人月平均銷售額（萬元）和利潤率（%）之間的關(guān)系，特從100家商店中隨機抽取10家，得到如下資料，試計算樣本相關(guān)系數(shù)并進行檢驗（＝0.05）。

解：提出假設：H0：＝0

H1：0已知：r＝0.987，n＝10所以，拒絕原假設而接受備擇假設，即檢驗結(jié)果表明，月平均銷售額與利潤率之間確實存在著線性相關(guān)關(guān)系。第九章相關(guān)與回歸分析STAT[r檢驗法]

已知：r＝0.987，n＝10

n-20.050.016780.7070.6660.6320.8340.7980.765相關(guān)系數(shù)檢驗表第九章相關(guān)與回歸分析STAT第三節(jié)回歸分析一、回歸分析概述（一）概念

1.相關(guān)分析的不足：無法表明兩變量之間的數(shù)量規(guī)律無法從一個變量（x）的變化來推測另一個變量（y）的變化。第九章相關(guān)與回歸分析STAT

2.回歸分析：通過一個（些）變量的變化解釋另一變量的變化y=a+bx、

y=ax1+bx2

。

英國生物學家F·Galton

首次提出。父輩身高

子輩身高

xy

y=f（x）+

人類平均身高（二）回歸分析的種類

1.按自變量的多少分（1）簡單（一元）回歸：自變量只有一個。

y=a+bx

（2）復（多元）回歸：自變量為2個或2個以上。

y=0+1x1+2x2+…+nxn第九章相關(guān)與回歸分析STAT

2.按回歸方程式的特征分（1）線性回歸：因變量為自變量的線性函數(shù)。

y=a+bx

（2）非線性回歸：因變量為自變量的非線性函數(shù)。第九章相關(guān)與回歸分析STAT（三）回歸分析的步驟

1.確定自變量和因變量。消費支出（y，果）國民收入（x，因）；

自變量篩選問題：

■消除無關(guān)的變量。農(nóng)副產(chǎn)品出口額＝-107.66+0.13社會商品零售總額+0.22

農(nóng)副產(chǎn)品收購額

社會商品零售總額與農(nóng)副產(chǎn)品出口額無直接關(guān)系，更不是影響農(nóng)副產(chǎn)品出口額的原因。

■消除不重要的變量。生產(chǎn)資料進口額＝0.73輕工業(yè)投資+0.18生產(chǎn)消費等

輕工業(yè)投資對生產(chǎn)資料進口額雖有影響，但不重要，或不第九章相關(guān)與回歸分析STAT完全，應選擇全社會固定資產(chǎn)投資額?！鱿华毩⒌淖兞?。農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值＝0.78+0.24糧食產(chǎn)量+0.05農(nóng)機動力-0.21

受災面積糧食產(chǎn)量受農(nóng)機動力和受災面積的影響，它們存在相關(guān)性。

2.確定樣本回歸方程消費支出y與收入x的回歸方程：y=a+bx=200+0.70x

3.統(tǒng)計檢驗：

(1)回歸模型的顯著性檢驗，即反映回歸方程對樣本觀測值的擬合優(yōu)度如何。判定系數(shù)檢驗

(2)回歸參數(shù)的顯著性檢驗，即檢驗變量y與變量x之間能否用線性關(guān)系來描述。線性相關(guān)檢驗

4.預測或控制。已知

x確定y：估計或預測;已知y確定x：控制第九章相關(guān)與回歸分析STAT回歸分析與相關(guān)分析的關(guān)系

(1)聯(lián)系：

■兩者具有互為補充關(guān)系；■兩者存在計算上的聯(lián)系。

(2)區(qū)別：

■兩者在關(guān)心變量性質(zhì)上不同；

■兩者的任務和目的不同；■兩者的使用范圍不同。應用相關(guān)與回歸分析應注意的問題

■必須以定性分析為基礎(chǔ)。

■要注意變量間相關(guān)關(guān)系發(fā)生作用的范圍。如施肥量與農(nóng)作物產(chǎn)量;由愛生恨

■應用回歸方程時不能一概認為自變量與因變量存在因果關(guān)系。第九章相關(guān)與回歸分析STAT二、一元線性回歸方程的擬合（一）總體回歸模型→Y=A+BX+第九章相關(guān)與回歸分析STAT總體回歸方程→E(Y)=A+BX第九章相關(guān)與回歸分析STAT回歸模型建立的假定條件：

1.

y是隨機變量，y的分布是正態(tài)分布，y的平均值在給定x的值的回歸線上。

2.對于任何x值，y分布的方差相等，即具有同方差，即Var()=

2

。

3.隨機誤差項的期望值為零，即；隨機誤差項是相互獨立的，不存在序列相關(guān)。即cov(i，

j)=0，(i≠j)。

4.對多元線性回歸模型，y=a+b1x1+b2x2+…+bkxk+，各個變量是相互獨立的，不存在多重共線性，即cov(xi，xj)=0，(i≠j)。第九章相關(guān)與回歸分析STAT樣本回歸方程的擬合思想:

抽樣N

n，第九章相關(guān)與回歸分析STAT（二）樣本回歸方程的擬合

從總體中隨機取樣，獲取一組樣本觀察值。第九章相關(guān)與回歸分析STAT圖示：步驟：1.擬合樣本回歸方程；2.樣本回歸方程的擬合優(yōu)度第九章相關(guān)與回歸分析STAT（三）樣本回歸方程的擬合方法

常用方法：最小二乘法（OLS法）基本思路：使殘差平方和最小的直線“最優(yōu)直線”。第九章相關(guān)與回歸分析STAT總可以設法找到一對a、b的取值，使Q為最小值。第九章相關(guān)與回歸分析STAT[整理]相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b之間的關(guān)系：第九章相關(guān)與回歸分析STAT（1）兩者是同向的；（2）r反映變量的相關(guān)方向與密切程度；

b反映某一變量變動一個單位時另一變量的平均變動量。第九章相關(guān)與回歸分析STAT

[例]為研究收入與食品支出的關(guān)系，隨機抽取了10戶家庭的樣本（百元），請擬合樣本回歸方程。第九章相關(guān)與回歸分析STAT解：通過散點圖可近似看出收入與食品支出之間呈線性關(guān)系，故設兩者有關(guān)系

經(jīng)濟意義：當收入為0時，亦須有217.26元的食品支出，收入每增加100元，食品支出平均增加20.23元。第九章相關(guān)與回歸分析STAT

參數(shù)a、b的經(jīng)濟含義是：

a代表直線的起點值，為直線的縱軸截距，它表示x=0時y的常數(shù)項。

b稱為回歸系數(shù)，表示自變量x增加一個單位時因變量y的平均增加值?；貧w系數(shù)的正負號與相關(guān)系數(shù)是一致的，因此回歸系數(shù)的正負號可用來判斷兩變量相關(guān)的方向，也可利用b求相關(guān)系數(shù)r

。估計與預測：第九章相關(guān)與回歸分析STAT利用b求相關(guān)系數(shù)r解：第九章相關(guān)與回歸分析STAT三、回歸方程的方差分析（回歸方程的擬合優(yōu)度）（一）總離差平方和的分解第九章相關(guān)與回歸分析STAT由：第九章相關(guān)與回歸分析STAT（二）判定系數(shù)(可決系數(shù))→回歸模型擬合程度的測度指標第九章相關(guān)與回歸分析STAT■判定系數(shù)的作用

r2越接近與1，說明模型越有效，r2越接近與0，模型越無效。第九章相關(guān)與回歸分析STAT■判定系數(shù)r2與相關(guān)系數(shù)r的關(guān)系第九章相關(guān)與回歸分析STAT■相關(guān)系數(shù)也從另一角度說明了回歸直線的擬合優(yōu)度，相關(guān)系數(shù)越接近±1，說明回歸直線對觀測數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度越高，但需謹慎！因為r的絕對值總是大于r2

的值（0和1除外）。

例：

r=0.5時，r2=0.25→只能解釋總變差的25%第九章相關(guān)與回歸分析STAT（三）估計標準誤差

1.定義：觀測值與回歸值之間的平均離差。均方殘差的平方根

→說明各觀測值在直線周圍的分散程度?？煽醋魇桥懦藊對y的線性影響后，y隨機波動大小的一個估計量。實際意義上，它反映了用估計的回歸方程預測因變量y時預測誤差的大小。

2.公式注：由于求a、b參數(shù)時有兩個方程的約束，所以n-2第九章相關(guān)與回歸分析STAT圖示：第九章相關(guān)與回歸分析STAT估估計標準誤差與判定系數(shù)r2的關(guān)系：

作為回歸模型擬合優(yōu)度的判斷和評價標準，估估計標準誤差顯然不如判定系數(shù)r2，判定系數(shù)