第二章 平面向量及其應(yīng)用 單元測試（含解析）-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

第二章平面向量及其應(yīng)用單元測試學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈直線ABB．P?直線ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D．以上都不對2．在中，角，，的對邊分別是，，．若，，，則（

）A． B． C．3 D．3．設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．8 D．5．如圖所示，在中，為中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)，，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．不確定6．在中，，，，D是內(nèi)一點(diǎn)，且設(shè)，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知F，E分別是靠近C，D的四等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．8．已知向量，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三、填空題9．若三角形三邊長之比為，那么這個(gè)三角形的最大角是．10．已知，，，則向量在向量上的投影向量為．11．平面四邊形中，，若四點(diǎn)共圓，則該四邊形的面積為.12．已知向量，，，中，相互平行的向量是．四、解答題13．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若是邊上的點(diǎn)，平分，且，，求的值.14．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.（1）若，求的值；（2）若，，求△ABC的面積.15．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求.16．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若，點(diǎn)在線段上且滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.參考答案：題號12345678答案AADCCBADAC1．A【分析】利用減法法則化簡已知得，再根據(jù)，有公共起點(diǎn)A，即可判斷得解.【詳解】因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)·＋n，即＝n()，即，所以與共線．又，有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.故選：A2．A【分析】借助余弦定理計(jì)算即可得.【詳解】根據(jù)余弦定理可得．故選：A.3．D【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解?故選：D4．C【分析】由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】向量，，且，則有，解得.故選：C.5．C【分析】根據(jù)題意，利用作為基底表示向量，進(jìn)而根據(jù)向量相等求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谥?，為中點(diǎn)，，，所以，設(shè)，所以，即所以.故選：C6．B【分析】根據(jù)Rt△ABC構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，可知B、C的坐標(biāo)分別為(1，0)、(0，2)，應(yīng)用含參數(shù)的坐標(biāo)表示向量，由平面向量基本定理，坐標(biāo)運(yùn)算求得參數(shù)λ、μ的關(guān)系即可求判斷選項(xiàng).【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)

∵∠DAB＝45°，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，m)(m≠0)則λ＝m，且μ＝m，∴，即故選：B7．AD【分析】結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對選項(xiàng)A：，正確；對選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：，正確.故選：AD8．AC【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求，判斷A，根據(jù)向量垂直的向量表示結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求，判斷B，由兩邊平方可得，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求，再求判斷C，由條件可得，且向量與不共線，列不等式的取值范圍，判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，所以，所以，A正確；對于B，因?yàn)?，所以，所以，又，，所以，所以，B錯(cuò)誤；對于C，由可得，，所以，所以，由，，可得，所以，所以，，所以，C正確；對于D，由向量與的夾角為銳角，可得，且向量與不共線，所以，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，D錯(cuò)誤；故選：AC.9．【分析】確定最大角所對邊，再利用余弦定理求解即得.【詳解】設(shè)三角形三邊長分別為，且，則邊長為的邊所對角最大，記為，令，由余弦定理得，而，解得，所以這個(gè)三角形的最大角是.故答案為：10．【分析】根據(jù)因?yàn)?，得，再利用則向量在向量上的投影向量的定義代入計(jì)算得結(jié)果；【詳解】因?yàn)?，所以，則向量在向量上的投影向量為，故答案為：11．【分析】由余弦定理結(jié)合圓的性質(zhì)可求得,繼而利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以,由余弦定理知，，即,解得,則，則平面四邊形的面積為.故答案為：.12．【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即得.【詳解】∵向量，，∴，∴，又，∴，所以與不共線，又∴，∴，故答案為：13．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，然后可求出答案；（2）由條件和余弦定理消去可得，求出的值，然后由角平分線的性質(zhì)可得，然后可得答案.【詳解】（1）由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，?（2）由，得，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②得，則，所以，依題意得，因?yàn)椋?4．（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理化簡得到，求出，利用二倍角公式求出2A的正余弦值，利用和差角公式求出的值；（2）利用余弦定理求出，直接利用面積公式求出△ABC的面積.【詳解】（1）因?yàn)椋谜叶ɡ淼茫海?，因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所以，，所以?）由余弦定理得，又因?yàn)?，，所以所以三角形ABC的面積是.15．(1)(2)【分析】（1）解法1：由可得，由正弦定理和余弦定理將等式邊化角即可求出；解法2：由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，化簡可得，再由余弦定理代入即可求出；（2）由可得，再由余弦定理即可求出；解法2：由正弦定理邊化角化簡已知表達(dá)式可得，再結(jié)合兩角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化簡即可求出.【詳解】（1）解法1：代入，得.解法2：由正弦定理可得：：代入化簡，則，則，因?yàn)?，所以，解得：；由余弦定理可得：，代入化簡得，解得（?fù)值舍）.（2）解法1：，，又所以.解法2：因?yàn)?，所以，代入，，，因?yàn)椋瑒t，化簡：，當(dāng)時(shí)，則，則，舍去不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，所?16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，得到，求得，即可求解.（2）由