廣東省深圳市第二高級中學2024-2025學年高二上學期第二次階段測試數(shù)學試題

第1頁/共1頁2024-2025學年深圳市第二高級中學第二階段考試高二數(shù)學命題人:劉曉華審題人:伍友時間:120分鐘滿分:150分一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，點關于面對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)關于面對稱的點的特征求解即可.【詳解】點關于面對稱的點的坐標為.故選：A.2.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行求得，再結(jié)合兩平行線間距離公式運算求解.【詳解】若直線與直線平行，則，解得，此時兩直線方程分別為和，兩直線平行，符合題意，所以這兩條直線間的距離為.故選：B.3.橢圓右焦點關于直線的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設點A的坐標為，由對稱的關系表示出點Q的坐標，再將點Q的坐標代入橢圓方程中化簡可求出橢圓的離心率【詳解】設點Q的坐標為，因為F關于直線的對稱點Q，所以，即，解得，所以點Q的坐標是，因為點Q在橢圓上，所以，得，又，即，所以所以該橢圓的離心率是.故選：C4.已知雙曲線，則過點與有且只有一個公共點的直線共有（）A.4條 B.3條 C.2條 D.1條【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點和雙曲線的位置關系確定滿足條件的直線的條數(shù).【詳解】分析條件可得：點在雙曲線的漸近線上，且位于第一象限，和雙曲線的右頂點有相同橫坐標，如圖：所以過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線只有兩條：一條是切線：x=2，一條是過點且與另一條漸近線平行的直線.故選：C5.四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若，則等于（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】運用向量的線性運用表示向量，對照系數(shù)，求得，代入可得選項.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.6.已知中心在原點，半焦距為4的橢圓被直線方程截得的弦的中點橫坐標為-4，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由點差法可得弦的中點坐標與弦所在直線的斜率關系，運算可得解.【詳解】設直線與橢圓相交于兩點，弦中點坐標是，則，直線的斜率.由，得，得，所以，即，，，，，所以，所以橢圓的標準方程為.故選：C.7.如圖，二面角等于是棱上兩點，，且，則CD的長等于（）A.26 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】依題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，所以，由，得，又因為，所以，所以，即.故選：A.8.直線l：（參數(shù)，）的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】直線，因為，所以，設直線的傾斜角為，則直線的斜率，因為，所以，或.故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.點在圓上，點在圓上，則（）A.兩個圓的公切線有2條B.的取值范圍為C.兩個圓上任意一點關于直線的對稱點仍在該圓上D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】【分析】求出兩圓圓心坐標和半徑可判斷出兩圓外離，即A錯誤，D錯誤；利用圓上點最值關系可得B正確，易知直線即為兩圓對稱軸，可得C正確.【詳解】易知圓的圓心為，半徑將化為，可知圓心為，半徑；對于A，易知兩圓心距，可知兩圓外離，所以兩個圓的公切線有4條,即A錯誤；對于B，易知的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為，即B正確；對于C，顯然兩圓圓心，都在直線上，因此直線即為兩圓對稱軸，即可判斷C正確；對于D，由選項A可知兩圓外離，即不存在公共弦，所以D錯誤.故選：BC10.已知橢圓為橢圓上任意一點，分別為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于兩點，則的周長為8B.存在點使得的長度為4C.橢圓上存在4個不同的點，使得D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對A，先根據(jù)橢圓的基本量關系求解方程，再根據(jù)橢圓的定義求解即可；對B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷即可；對C，根據(jù)可得的軌跡，再分析與橢圓的交點個數(shù)即可；對D，根據(jù)的面積表達式分析即可.【詳解】對A，橢圓，則過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為，故A正確；對B，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，即，故，即不存在點，使得的長度為4，故B錯誤；對C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點，易得該圓與橢圓有四個交點，即橢圓上存在4個不同的點，使得，故C正確；對D，的周長為，設的內(nèi)切圓半徑為，則，故當最大時最大，此時為上下頂點，，則，解得，故D正確.故選：ACD11.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，為底面正方形內(nèi)（含邊界）的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值B.直線平面C.當時，點到平面的距離為D.當?shù)恼兄禐?時，動點P的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】由三棱錐的體積公式直接求出A正確；建立如圖所示空間坐標系，求出平面的法向量，利用兩向量的數(shù)量積不為零得到與不垂直可得B錯誤；求出平面的法向量，利用點到面的距離公式可得C正確；當?shù)恼兄禐?時，不變得到點的軌跡，再求其長度可得D正確；【詳解】對于A，如圖1，因，故A正確；對于B，如圖2建立空間直角坐標系，則，于是，，設平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，故B錯誤；對于C，由上圖建系，設P的坐標為，當，有，則，設平面的法向量，則，故．取平面一點A與點E構(gòu)成，所以點E到平面的距離，故C正確；對于D，因為P為底面正方形的動點，當?shù)恼兄禐?時，不變，由圓錐性質(zhì)可知，動點P的運動軌跡是以為高，為母線的圓錐的底面圓周，此時為底面半徑r，又因為P在正方形內(nèi)運動，所以P的軌跡是底面圓周的；當?shù)恼兄禐?，則為，所以P的軌跡長為，故D正確，故選：ACD．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量，則點到直線的距離為_____.【答案】##【解析】【分析】利用點到直線的空間向量距離公式求出答案.【詳解】，，故在上的投影向量的模為，故B點到直線的距離為.故答案為：.13.若直線與圓交于兩點，則弦長的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】可知直線過定點，可知圓心到直線的距離，即可得弦長的取值范圍.【詳解】直線的方程可化為，令得，所以直線過定點，因為，即點A在圓內(nèi)，圓的圓心為原點，半徑為，不妨設圓心到直線的距離為，當圓心在直線上時，圓心到直線的距離為，此時弦長取最大，為，當時，，，所以，即的斜率為，即，此時直線的方程為：，即；圓心到直線的距離為，此時弦長取最小，，所以弦長的取值范圍為；故答案為：.14.已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為_____.【答案】##【解析】【分析】設的左焦點為，由雙曲線的定義，得，又，，在中，由余弦定理可得，結(jié)合可得，求得答案.【詳解】設為坐標原點，則，從而.設的左焦點為，連接，由雙曲線的定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓C：的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設直線l：交橢圓C于A，B兩點，且，求m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通過短軸的一個端點到右焦點的距離可知，進而利用離心率的值計算即得結(jié)論；（2）設，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關系，再利用弦長公式即可得出.【詳解】解：（1）由題意可得，解得：，，橢圓C的方程為；（2）設，聯(lián)立，得，，，，解得.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)?韋達定理?弦長公式，屬于中檔題.16.如圖，在正方體中，點分別在上，且.（1）若，證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，故，得到線面平行；（2）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，利用法向量求解出面面角的余弦值.【小問1詳解】因為，，所以四邊形為平行四邊形，故，，又，，故，，又，，故，所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】以坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為3，則，可得，設平面的法向量為m=x,y,z，則，令得，，故，且平面的法向量為，設平面與平面夾角的大小為，則所以平面與平面夾角余弦值為.17.已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知直線過點，圓上恰有三個點到直線的距離等于1，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得圓C的方程；（2）利用點到直線距離公式和數(shù)形結(jié)合即可求得直線l的方程.【小問1詳解】設圓C的標準方程為，因為圓心C在直線上，①，因為圓經(jīng)過點，將A，B兩點代入圓方程可得：②，③，聯(lián)立①②③解得，，，，圓C的方程為.【小問2詳解】因為圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1，圓心C到直線l的距離，當直線l斜率不存在時，直線l的方程為，圓心C到直線l的距離為1，符合題意；當直線l斜率不存在時，設直線l的方程為，即，圓心C到直線l的距離，解得，直線l的方程為，即，綜上，所求直線l的方程為或.18.在等腰梯形中，為的中點，線段與交于點（如圖）．將沿折起到位置，使得平面平面（如圖）．（1）求證：；（2）線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）連接，證明四邊形是菱形，從而證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再證明，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】連接，因為在梯形中，，，為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，垂足為，且為的中點，所以，，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為為的中點，為的中點，所以，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】假設線段上存在點，設，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，在菱形中，，所以，，所以，，，所以，，設為平面的法向量，則有可取，因為，，所以，設與平面所成角為，則，所以，因為，所以，所以線段上存在點，時，使得與平面所成角的正弦值為．19.由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比．已知橢圓：與橢圓：相似．（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓與橢圓的相似比為，設為上異于其左、右頂點，的一點．①當時，過分別作橢圓的兩條切線，，切點分別為，，設直線，的斜率為，，證明：為定值；②當時，若直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，求的值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）首先得到、的長軸長、短軸長、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計算可得；（2）①設，則直線的方程為，進而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進而得，再根據(jù)即可求得答案；②由題知橢圓的標準方程為，進而結(jié)合點在橢圓上得，故設直線的斜率為，則直線的斜率為，進而得其對應的方程，再與橢圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達定理，弦長公式得、，進而得．【小問1詳解】對于橢圓：，則長軸長為，短軸長為，焦距為，橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.【小問2詳解】①由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因為直線與橢圓有且只有一個公共點，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關于的方程的兩根，所以．