廣東省廣州市育才中2024-2025學(xué)年學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁廣州市育才中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷命題者：羅文娟審核人：唐亞名本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），總分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共64分）一、單選題：（每題5分共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算．【詳解】因?yàn)榧?，所以，所以，故選：A．2.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件與必要條件的概念判斷即可.【詳解】“”不能推出“”，故充分性不成立；“”能推出“”，故必要性成立.綜上可知，“”是“”的必要而不充分條件.故選：B3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】使函數(shù)有意義得到不等式組，求解即得.【詳解】由有意義，可得，解得且.故選：D.4.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】對于ACD，利用不等式的性質(zhì)分析判斷，對于B，舉例判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，且，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，不滿足，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椋?，又，所以，故C正確；對于D，若，則，故D正確.故選：B.5.函數(shù)（）的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可求值域.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)（）的值域是故選：A.6.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A. B.?2 C. D.?8【答案】D【解析】【分析】由已知求得，代入得出的解析式以及單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，解得，所以，，.所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在處取得最小值.故選：D.7.已知函數(shù).在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在每一段上單調(diào)遞增，且，列不等式求取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：A8.若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t稱為“函數(shù)”．已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)“函數(shù)”的定義確定的值域?yàn)?，結(jié)合每段上的函數(shù)的取值范圍列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【分析】由題意可知的定義域?yàn)椋忠驗(yàn)楹瘮?shù)是“函數(shù)”，故其值域?yàn)?，而，則值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對稱軸且開口向上，則在上單調(diào)遞增，則，故由函數(shù)是“函數(shù)”可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.二、多選題（每題6分共24分）9.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先根據(jù)集合的研究對象求出兩集合，按選項(xiàng)分別求交集，并集和補(bǔ)集再判斷即得.【詳解】由函數(shù)有意義可得：即，故，由可得：.因，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；因，故C項(xiàng)正確；又，得.故D項(xiàng)正確.故選：BCD.10.下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的最小值為2B.若，則C.若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式可判斷A選項(xiàng)；利用作差看法可判斷B選項(xiàng)；由存在量詞命題的真假求出實(shí)數(shù)的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；由奇函數(shù)的性質(zhì)可得D正確；【詳解】對于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，但，故等號不成立，即函數(shù)的最小值不是2，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，若，，則，故，故B正確；對于C選項(xiàng)，若命題“”為假命題，即方程無實(shí)解，所以，，解得，故C正確；對于D選項(xiàng)，定義域滿足，解得且，即，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，又，所以為奇函數(shù)，故D正確；故選：BCD.11.給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是（）A.B.函數(shù)與不是同一函數(shù)C.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)镈.若函數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系分析判斷即可；對于B：根據(jù)函數(shù)相等分析判斷；對于C：根據(jù)抽象函數(shù)的定義域分析判斷；對于D：利用配湊法結(jié)合對勾函數(shù)值域分析求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)闉樽匀粩?shù)集，所以，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可知函?shù)與的對應(yīng)關(guān)系不同，所以函數(shù)與不是同一函數(shù)，故B正確；對于選項(xiàng)C：若的定義域?yàn)?，對于函?shù)，可得，解得，所以的定義域?yàn)?，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，由對勾函?shù)可知的值域?yàn)?，所以，故D正確；故選：BCD.12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如.設(shè)函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于軸對稱 B.的最大值為1，沒有最小值C. D.在上是增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的定義，結(jié)合的解析式，作出函數(shù)圖象，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】因?yàn)?，畫出的圖象如下：A選項(xiàng)，可以看出此函數(shù)不是偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，無最大值，有最小值0，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，故，，因?yàn)椋?，故，C正確；D選項(xiàng)，由圖象可知在R上不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題（每題5分共20分）13.計(jì)算___________【答案】2【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】.故答案為：214.已知fx=x+2,x≤?1x2,?1<x≤2【答案】或【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式列式進(jìn)行求解.【詳解】依題意，或或2x=0x>2，解得或.故答案為：或15.已知且，則的最小值為_____________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最小值為.故答案為：16.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出，利用，求出，最后代值即可.【詳解】是定義在的奇函數(shù)，，即，，且，解得，或當(dāng)時(shí)，定義域，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋项}意，，.故答案為：.四、解答題17.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可求；（2）由題意可得是的真子集，分和兩種情況討論即可求.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，所以或，又，所以.【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊背浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，滿足是的真子集，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，且不能同時(shí)取等號，解得，綜上，實(shí)數(shù)a取值范圍為或.18.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，（1）確定的解析式；（2）請用定義法證明在上的單調(diào)遞增；（3）解關(guān)于t的不等式．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)性質(zhì)可得，解可得的值，又由，解可得的值，將、的值代入函數(shù)解析式即可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)，由作差法分析可得結(jié)論；（3）由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解得，又由，則有，解得，則，所以，滿足條件，所以；【小問2詳解】由（1）知，證明：設(shè)，則，又由，所以、、則，，4?x12>0，則，則函數(shù)在上為增函數(shù)；【小問3詳解】根據(jù)題意，即

，即

，即，解得：，即不等式的解集為．19.為了貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)努力打造“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某生態(tài)水果的單株產(chǎn)量（單位：）滿足如下關(guān)系：，肥料費(fèi)用為（單位：元），其它成本投入（如培育管理等人工費(fèi)）為（單位：元）．已知這種水果的市場售價(jià)為10元，且供不應(yīng)求，記該生態(tài)水果的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該生態(tài)水果的單株利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為30元時(shí)，該生態(tài)水果的單株利潤最大，最大利潤是270元【解析】【分析】（1）根據(jù)收入減去成本等于利潤，分和即可得到解析式；（2）當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)單調(diào)性即可求出此范圍內(nèi)最值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式即可求出其最值，比較兩者最值即可.【小問1詳解】由題意可得，即，所以單株利潤的函數(shù)解析式為：【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，為開口向上的拋物線，其對稱軸為：，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，,，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，此時(shí)，綜上所述：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為元時(shí)，該生態(tài)水果的單株利潤最大，最大利潤是270元．20.設(shè)．（1）若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求的最小值；（3）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）（2）4（3）答案見解析【解析】【分析】（1）分和討論，當(dāng)時(shí)，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)開口方向和判別式列不等式組即可求解；（2）變形為，利用基本不等式求解可得；（3）整理得，根據(jù)二次系數(shù)是否為0、相應(yīng)二次函數(shù)開口分析、兩根的大小關(guān)系分類討論即可.【小問1詳解】由恒成立得：對一切實(shí)數(shù)x恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式為，不合題意；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜