2025屆高三數(shù)學(xué)九校聯(lián)考變式卷 (解析版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025屆高三數(shù)學(xué)九校聯(lián)考變式卷考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（本題5分）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域【分析】根據(jù)真數(shù)的概念可得集合A，根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于等于0可得集合B，利用集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.2．（本題5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)【分析】寫出，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算出，確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由題意得，則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C3．（本題5分）若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)、由圓心（或半徑）求圓的方程【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，解得或.故選：C.4．（本題5分）某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪（如圖所示），大輪有25個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，若小輪的半徑為，則小輪每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)給定條件，求出小輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)，再借助弧長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【詳解】由大輪有25個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，得小輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)為，因此小輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，所以小輪每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是.故選：C5．（本題5分）已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系的向量表示、求投影向量、向量夾角的計(jì)算【分析】先根據(jù)向量垂直得出，再根據(jù)投影向量公式得出夾角余弦進(jìn)而得出夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，所?因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴?，所以，即，所?又因?yàn)椋耘c的夾角是.故選:B.6．（本題5分）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場(chǎng)三勝制（先勝三場(chǎng)者獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“客客主主客”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為，客場(chǎng)取勝的概率為，且各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，則甲隊(duì)在落后的情況下最后獲勝的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用互斥事件的概率公式求概率、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】對(duì)甲隊(duì)在后幾場(chǎng)的比賽結(jié)果進(jìn)行分類討論，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，甲隊(duì)在第一場(chǎng)比賽輸了，若甲隊(duì)在落后的情況下最后獲勝，分以下幾種情況討論：①甲隊(duì)在第二、三、四場(chǎng)比賽都獲勝，概率為；②甲隊(duì)在第二場(chǎng)比賽輸了，在第三、四、五場(chǎng)比賽獲勝，概率為；③甲隊(duì)在第二、四、五場(chǎng)比賽獲勝，在第三場(chǎng)比賽輸了，概率為；④甲隊(duì)在第二、三、五場(chǎng)比賽獲勝，在第四場(chǎng)比賽輸了，概率為.綜上所述，所求概率為.故選：A.7．（本題5分）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若數(shù)列為等差數(shù)列，則的最小值是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和寫出前3項(xiàng)，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求公差d，進(jìn)而得到關(guān)于n的表達(dá)式，利用基本不等式求其最小值.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，．設(shè)公差為d，則，其前n項(xiàng)和為，所以，，，．因?yàn)閿?shù)列也為等差數(shù)列，所以，所以，解得，故，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：D8．（本題5分）設(shè)函數(shù)，正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)、基本不等式“1”的妙用求最值、指數(shù)函數(shù)的判定與求值【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，則，整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：B二、多選題（共18分）9．（本題6分）下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)、、、、的第百分位數(shù)是B．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則C．張彩票中只有張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)從中一次性抽取張，若其中至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于，則的最小值為D．已知數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)加入和兩個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的方差【答案】ACD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差求參數(shù)、根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)、指定區(qū)間的概率、總體百分位數(shù)的估計(jì)【分析】由百分位數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用古典概型的概率公式結(jié)合組合計(jì)數(shù)原理可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由，知數(shù)據(jù)、、、、的第百分位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，可得，解得，又因?yàn)?，所以，的最小值為，故C正確；對(duì)于D，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)仍為，由方差公式，得，解得，則新數(shù)據(jù)的方差，故D正確.故選：ACD.10．（本題6分）函數(shù)，，的最小正周期為，且方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則C．D．【答案】BCD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式五、六、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，求出解析式并結(jié)合圖象變換判斷AB；由給定實(shí)根計(jì)算判斷CD.【詳解】依題意，函數(shù)，由的最小正周期為，得，解得，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得，則，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，依題意，，解得，C正確；對(duì)于D，由，得，解得，由選項(xiàng)C知，，因此，D正確.故選：BCD11．（本題6分）祖暅原理也稱祖氏原理，是一個(gè)涉及求幾何體體積的著名數(shù)學(xué)命題，公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》時(shí)提到祖暅的開立圓術(shù)，祖暅在求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理，“冪勢(shì)既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高．意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面面積相等，則體積相等，更詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理，國(guó)外同一般稱之為卡瓦列利原理，已知將雙曲線：與它的漸近線以及直線，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體I，將雙曲線與直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體II，則關(guān)于這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體敘述正確的是（

）A．由垂直于軸的平面截旋轉(zhuǎn)體II，得到的截面為圓面B．旋轉(zhuǎn)體II的體積為C．將旋轉(zhuǎn)體I放入球中，則球的表面積的最小值為D．旋轉(zhuǎn)體I的體積為【答案】ACD【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、求旋轉(zhuǎn)體的體積、已知方程求雙曲線的漸近線【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體幾何特征確定截面的形狀判斷A；根據(jù)祖暅原理計(jì)算出旋轉(zhuǎn)體II的體積判斷B；求出將旋轉(zhuǎn)體I放入球中時(shí)，當(dāng)球的表面積最小時(shí)球心的位置，可求得球的表面積的最小值，判斷C；可根據(jù)祖暅原理，計(jì)算出旋轉(zhuǎn)體I的體積，即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，直線與雙曲線的交點(diǎn)為，線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形為圓面，所以用垂直于y軸的平面截旋轉(zhuǎn)體II的截面為圓面，故A正確；對(duì)于B,截面圓的半徑為，截面面積為,與雙曲線的漸近線的交點(diǎn)為，所以是用垂直于y軸的平面截兩條漸近線繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的截面面積.x繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體（兩個(gè)圓錐）的體積為，所以與雙曲線及漸近線形成的截面圓環(huán)面積為定值，且底面半徑為的圓柱的截面面積為，高為4的圓柱的體積為，所以旋轉(zhuǎn)體II的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，雙曲線的右頂點(diǎn)為，漸近線的方程為，當(dāng)時(shí),，由對(duì)稱性可知若將旋轉(zhuǎn)體I放入球中時(shí)，要使得球的表面積最小，則球心一定在軸上，因?yàn)樾D(zhuǎn)體I在球內(nèi)，點(diǎn)在球內(nèi)或球面上，又點(diǎn)到軸的距離為2，所以球的半徑至少為2，所以球的表面積大于等于，取點(diǎn)，則，所以旋轉(zhuǎn)體I在以為球心，半徑為2的球內(nèi)，此時(shí)球的表面積是，所以球的表面積的最小值為，所以C正確；對(duì)于D,與漸近線交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)，則用垂直于x軸的平面截旋轉(zhuǎn)體I的截面應(yīng)為圓環(huán)，其內(nèi)徑為，外徑為，截面面積為，根據(jù)祖暅原理，旋轉(zhuǎn)體I的體積為，故D正確，故選:ACD.【點(diǎn)睛】解決此類旋轉(zhuǎn)體相關(guān)問(wèn)題時(shí)，難點(diǎn)在于要能發(fā)揮空間想象力，明確旋轉(zhuǎn)體的形狀特征，因此解答時(shí)要能根據(jù)雙曲線特點(diǎn)想象出幾何體特征，并能根據(jù)祖暅原理結(jié)合幾何體相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.非選擇題部分填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（本題5分）若，則【答案】【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)題設(shè)求解即可.【詳解】由，得，則，即，則或，所以或，當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意.所以.故答案為：.13．（本題5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值16時(shí)，面積的最大值為.【答案】32【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、雙曲線定義的理解、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問(wèn)題、求雙曲線中的最值問(wèn)題【分析】由雙曲線的定義結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊的相關(guān)性質(zhì)得的最小值為，，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】題意得，故，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，，N三點(diǎn)共線時(shí)兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，所以的最小值為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而到漸近線的距離，又，故，所以，即面積的最大值為32.故答案為：32.14．（本題5分）甲、乙、丙、丁四人報(bào)數(shù)，每人報(bào)出了一個(gè)正整數(shù)，且它們之和為11．設(shè)這四人報(bào)出的最大數(shù)為，則．【答案】【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率、求離散型隨機(jī)變量的均值【分析】先求出甲、乙、丙、丁報(bào)出的數(shù)的所有可能情況，然后求出四人報(bào)出的最大數(shù)的所有可能取值，并求出取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，最后利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求即可．【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁報(bào)出的數(shù)分別為a，b，c，d，則，且，利用隔板法，將11個(gè)1分成4組，每組至少有1個(gè)1，則形成10個(gè)空，任取3個(gè)即可完成分組，則甲、乙、丙、丁報(bào)出的數(shù)有種情況．分析可知的所有可能取值為3，4，5，6，7，8．當(dāng)時(shí)，a，b，c，d的取值只能是三個(gè)3，一個(gè)2，有種情況，則；當(dāng)時(shí)，有兩種情況：①中有兩個(gè)是4，余下兩個(gè)分別為1，2，則有種情況；②中只有一個(gè)是4，余下三個(gè)分別為2，2，3或1，3，3，有種情況，則；當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)是5，其余三個(gè)分別是1，2，3或1，1，4或2，2，2，有種情況，則；當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)是6，余下的三個(gè)數(shù)是：1，2，2或1，1，3，則有種情況，則；當(dāng)時(shí)，a，b，c，d中只有一個(gè)是7，余下三個(gè)數(shù)是1，1，2，有種情況，則．當(dāng)時(shí)，a，b，c，d中只有一個(gè)是8，余下三個(gè)數(shù)是1，1，1，則有種情況，則．故．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決排列組合問(wèn)題的常用方法有主元法、位置分析法、隔板法、捆綁法、插空法等，一般思路是先選后排，或用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．遇到新的問(wèn)題情境，要認(rèn)真讀題，抓住要點(diǎn)，分清主次．遇到的問(wèn)題難度較大時(shí)，有時(shí)可采用先分類，再分步的方法，情況比較多時(shí)，用排除法也比較容易解決問(wèn)題．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本題13分）記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．(1)求A；(2)若的面積為，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】（1）由正弦定理及和差角公式結(jié)合題意可得，最后由輔助角公式可得答案；（2）由面積公式可得，結(jié)合及（1）分析可得a，最后由余弦定理可得，即可得答案.【詳解】（1）由正弦定理及，可得，因，則，則，結(jié)合，則；（2）因的面積為，則，則，由正弦定理及，則，則.由余弦定理，，則，則三角形周長(zhǎng)為.16．（本題15分）如圖，已知正四棱錐的體積為，高為.(1)求平面與平面的夾角的余弦值；(2)現(xiàn)有一螞蟻從點(diǎn)處等可能地沿各條棱向底面勻速移動(dòng)，已知該螞蟻每秒移動(dòng)1個(gè)單位，求2秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】求二面角、寫出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列、證明線面垂直、求離散型隨機(jī)變量的均值【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系平面，以及二面角的定義，構(gòu)造二面角的平面角，即可求解；（2）首先分析2秒后，螞蟻到的位置，再寫出隨機(jī)變量的數(shù)值，以及概率，代入期望公式，即可求解.【詳解】（1）設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，得，連結(jié)交于點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，，所以，所以是等邊三角形，，所以所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（2）由題意可知，螞蟻從點(diǎn)沿的概率都是,2秒后螞蟻移動(dòng)了2個(gè)單位，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以若沿移動(dòng)，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿螞蟻到達(dá)點(diǎn)，，，所以分布列為02數(shù)學(xué)期望.17．（本題15分）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的最大值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，得函數(shù)的最大值，即可根據(jù)求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值（2）由可得，令則，化簡(jiǎn)可得，由于，故，又函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，因此單調(diào)遞增，且因此存在唯一即，且時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，由可得，進(jìn)而，故，因此，故18．（本題17分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為．①若直線的傾斜角為，求線段的長(zhǎng)度；②試問(wèn)是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①；②有，【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長(zhǎng)、求橢圓中的最值問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)條件，建立方程組，即可求解；（2）①由題知直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消得到，再利用弦長(zhǎng)公式，即可求解；②設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，消得到，設(shè)直線的斜率分別為，進(jìn)而可得，又，即可求解.【詳解】（1）由題