函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考解析版）

專題03函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

目錄

題型一：函數(shù)的性質(zhì)

易錯(cuò)點(diǎn)01復(fù)合函數(shù)定義域的理解不當(dāng)致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)02使用換元法忽略新元的范圍

易錯(cuò)點(diǎn)03研究單調(diào)性、奇偶性時(shí)忽略定義域

易錯(cuò)點(diǎn)04對(duì)分段函數(shù)的理解不到位出錯(cuò)

題型二函數(shù)與方程

易錯(cuò)點(diǎn)05忽略函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件

易錯(cuò)點(diǎn)06二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題考慮不全

題型一：函數(shù)的性質(zhì)

易錯(cuò)點(diǎn)01：復(fù)合函數(shù)定義域理解不當(dāng)致錯(cuò)

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(23-24高二下.黑龍江.期末)己知函數(shù)〃力=石二，則函數(shù)g(x)=〃2x)+/(x2)的定義域?yàn)?)

A.|^—A/2A/2JB.^—oo,5/2J

C.[1,V2]D.[-A/2,1]

【答案】D

【分析】由根式和復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可.

【詳解】由題可知/(力=AM的定義域?yàn)?-8,2],

則為使g(x)=〃2x)+/(Y)有意義必須且只需，

解得-72<x<l,

所以g(x)的定義域?yàn)椴窇?yīng)』].

故選：D

【易錯(cuò)剖析】

在求解過程中，根據(jù)函數(shù)解析式求出/(九)的定義域?yàn)?Y0,2],然后由=然后錯(cuò)誤的由xW2分別求出

X2,2X的范圍進(jìn)而求出函數(shù)的定義域而出錯(cuò)，出錯(cuò)原因在于沒有理解復(fù)合函數(shù)定義域的正確意義.

【避錯(cuò)攻略】

1復(fù)合函數(shù)的概念：

若函數(shù)產(chǎn)/⑺的定義域?yàn)锳,函數(shù)尸g(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镃,則當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)產(chǎn)丹gCO]

為了⑺與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中x稱為自變量,/為中間變量，尸g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=/?①叫做外層

函數(shù).

2抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域：

(1)函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，比如：函數(shù)八尤)的定義域是指x的取值范圍，函數(shù)y?[g(x)]

的定義域也是指X的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.

(2)/(/),fix),f\_(p(x)],/四個(gè)函數(shù)中的t,x,夕⑴，力(無)在對(duì)應(yīng)關(guān)系了下的范圍相同，在同

一函數(shù)/作用下，括號(hào)內(nèi)整體的取值范圍相同.

(3)己知7U)的定義域?yàn)锳,求。夕(分]的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知°(x)的取值范圍(值域)為A,求x

的取值范圍.

(4)已知/[夕⑴]的定義域?yàn)?,求五x)的定義城，其實(shí)質(zhì)是已知力p(x)]中尤的取值范圍為2,求p(x)

的取值范圍(值域)，這個(gè)范圍就是於)的定義域.

易錯(cuò)提醒：已知的定義域求解/[g(x)]的定義域，或已知/[g(x)]的定義域求了⑺的定義域，

遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則』下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同，另外對(duì)于實(shí)

際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域.

舉一反三

〃尤+1)

1.(2024高三.全國?專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,2],則函數(shù)尸(x)=的定義域?yàn)?)

1g同

A.[-3,1]B.[-3,0)u(0,l]

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法及分式和對(duì)數(shù)有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由題意可知，要使F（x）有意義，

—2Wx+1W2-3<x<l

只需要無>。，解得產(chǎn)。

%%。一1,且力。1

所以xe[—3,—1)3-1,0)50,1),

所以函數(shù)F（x）的定義域?yàn)閇-3,-1）5—1,0）。（0,1）.

故選：D.

2.（24-25高三上?四川南充?開學(xué)考試）已知函數(shù)y=/（x+D的定義域?yàn)閇-2,3],則>=以谷。的定義域?yàn)?/p>

VX-1

（）

A.[—5,5]B.（1,5]C,^1,—D.—5,—

【答案】C

【分析】由題意求出y=f（x）的定義域，結(jié)合函數(shù)y=，（；夫+1）列出相應(yīng)不等式組,即可求得答案.

A/X-1

【詳解】由題意可知函數(shù)，=/（》+1）的定義域?yàn)椴?,3],gp-2<x<3,

?-l<x+l<4,貝|y=/(x)的定義域?yàn)閇-1,4],

則對(duì)于y=—/（2x+l），需滿#足[f-il<>2x。+l<43

即y=/詈1）的定義域?yàn)閇1,；],

y/x-1I2_

故選：C

3.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃2x-3）的定義域?yàn)閇2,3].記的定義域?yàn)榧?/p>

41（2￡-1）的定義域?yàn)榧戏磩t小€4”是。€2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先利用抽象函數(shù)的定義域求得集合4B,再利用充分條件、必要條件的定義判斷.

【詳解】?."（2尤-3）的定義域?yàn)閇2,3].

當(dāng)24xV3時(shí),lW2x-3W3,；"(x)的定義域?yàn)閇1,3],即4=[1,3].

令142—143,解得14“42,:"(2*-1)的定義域?yàn)閇1,2],即3=[1,2].

?.?BqA.JxeA”是的必要不充分條件，

故選：B.

?易錯(cuò)題通關(guān)

1.(24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))y=lg(tanx-1)的定義域?yàn)?)

I71兀77

A.\x-+k7n>x>—+ku,KeZ>

I24

II兀77177”,

B.jx+w,+E,左￡Z

C.“卜+左EZ

7iku,“

D.yx\x>—I,keZ\

[|42J

【答案】A

【分析】復(fù)合函數(shù)定義域問題，分解函數(shù)，分別求定義域再求交集.

【詳解】令y=lg/,r=tanx-l

函數(shù)t=tanx—1的定義域?yàn)椋簀x|x^-|+fot,^ez|,

函數(shù)y=lgf的定義域：f>0,貝Utanx-l>0,即,xg+E>x>：+E,kez1,

所以V=lg(tanx-l)的定義域?yàn)閨xg+E>x>：+E,左eZ,

故選：A

2.(24-25高三上?福建寧德?開學(xué)考試)已知函數(shù)y"(2x-D的定義域是，則y=的定義域是()

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[—1,3]D.[-2,5]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用抽樣函數(shù)定義域列式求解即得.

【詳解】由函數(shù)y=/（2x-l）的定義域是[-1,3],得一3W2X—1W5,

f（x）f-3<x<5

因此在函數(shù)y=中，c八，解得-2<x45,

yJx+2[x+2>0

所以所示函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,5].

故選：A

3.（24-25高三上?山東煙臺(tái)?期中）若函數(shù)y=/（2，）的定義域?yàn)閧x|x<2},則函數(shù)y=/（x-l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{.r|0<x<4}B,{x|x<4]C.{x|x<5}D.{x[l<x<5}

【答案】D

【分析】運(yùn)用抽象函數(shù)求定義域的相關(guān)概念，即可求解.

【詳解】由久<2,得2*<4，且2*>0,所以0<x-l<4,因此l<x<5,

故函數(shù)y=/（x-D的定義域?yàn)閧x[l<x<5}.

故選：D.

4.（24-25高三上?山東荷澤?期中）已知函數(shù)〃2x+l）的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,2]B.[4,6]C.[5,9]D,[3,7]

【答案】B

【分析】對(duì)于函數(shù)/（2x+l）,先由xe[l,2]求出（2x+l）e[3,5],而對(duì)于函數(shù)/（x—1）,應(yīng)使（x-1）e[3,5],

解出xw[4,6],即得函數(shù)的定義域.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（2x+l）的定義域?yàn)閇1,2],由xe[l,2]可得2x+le[3,5],

對(duì)于函數(shù)/（比一1）,由3（尤一1W5可得4WxW6,

即函數(shù)/0-1）的定義域?yàn)閇4,6].

故選：B.

5.（23-24高一上.四川成都.期中）一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m,且

炮彈距地面的高度。（單位：m）與時(shí)間f（單位：s）的關(guān)系為/7=130f-5『.該函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,+e）B.（0,845]C.[0,26]D,[0,845]

【答案】C

【分析】根據(jù)實(shí)際意義分析即可.

【詳解】由題意可知，炮彈發(fā)射后共飛行了26s,

所以04/426,即函數(shù)人130/-5產(chǎn)的定義域?yàn)閇0,26].

故選：C

6.(24-25高三上?河南新鄉(xiāng)?期中)已知函數(shù)了(天卜萬^+白，則函數(shù)了(爐)的定義域是()

X—1

A.(fl)u(l,2]

B.[-2,-l)U(-l,l)U(l,2]

c.卜⑸)U(i,伺

【答案】D

【分析】根據(jù)的表達(dá)式，即可結(jié)合根式以及分式的性質(zhì)求解.

【詳解】/(爐)=7^=7+工，

'/X-1

由2—f之0且爐—1wo,得W%<V2且xw±1,

所以函數(shù)/任)的定義域是[-應(yīng),T)U(T，I)U(I，亞].

故選：D

7.(2024?山東?一模)函數(shù)5尤-1|-3的定義域是()

A.[4,+oo)B.(TO,-2]

C.[-2,4]D.(-oo,-2]u[4,+<?)

【答案】D

【分析】先由函數(shù)有意義得舊-1|-320,解該不等式即可得解.

【詳解】要使函數(shù)有意義，?|x-l|-3>0,BP|x-l|>3,

所以%—123或九一1<—3,解得％之4或xW—2,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-2]口[4,+??

故選：D.

8.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）已知〃無）的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)gG）=的定義域?yàn)?/p>

【答案】（1,6]

【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，建立條件關(guān)系即可.

【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)閇0,2],

0<X2-1<2

則,

'log1(x-l)>0

、2

1<X2

，解得1<X46,

0<x-l<l

所以g（x）定義域?yàn)椋?,石].

故答案為：（1,抬']

9.（23-24高三上?福建莆田?開學(xué)考試）已知函數(shù)外”的定義域?yàn)?。，”），則函數(shù)*x）=/（2―3）+萬I的

定義域?yàn)?

【答案】（2,3]

【分析】利用給定的函數(shù)有意義，列不等式求解作答.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋↙+⑹，則由尸（x）=/（2=3）+V^有意義，

2工一3>1x>2

,解得BP2<x<3,

3-xx<3

所以函數(shù)/（無）=/（2*-3）+^/^的定義域?yàn)椋?,3].

故答案為：（2,3]

]

10.（24-25高三上?青海西寧?階段練習(xí)）函數(shù)>=+（2x-3）°的定義域?yàn)?

Jl°go,5(尤一2)

【答案】（2,3）

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.

1

+（2>3）。有意義,

【詳解】由函數(shù)了=/°瓦5。-2）

log05(x-2)>0x-2<lx<3

貝U滿足—2>。,可得<x〉2,即<x>2,解得2vxv3,

2x—3w033

I212

所以函數(shù)的定義域?yàn)?2,3).

故答案為：(2,3).

易錯(cuò)點(diǎn)02：使用換元法忽略新元的范圍

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(24-25高一上?吉林?階段練習(xí))已知了(4-l)=x-26，則F(x)的解析式為()

A.f(x)=x2-}B./(x)=x2+l(x>-l)

C./(x)=x2-l(x>-l)D./(x)=x2+l

【答案】C

【分析】利用換元法求函數(shù)解析式，注意函數(shù)的定義域即可.

【詳解】令r=

由=X-26=-1,

貝U/?)=廠一L，2—1，BPf(x)=x~—l(x>—1).

故選：C.

【易錯(cuò)剖析】

本題求解時(shí)設(shè)，=石-1,換元后要注意f之-1這一范圍，如果忽略新元的范圍，容易錯(cuò)選A.

【避錯(cuò)攻略】

1.換元法

換元就是引入輔助未知數(shù),把題中某一個(gè)(些)字母的表達(dá)式用另一個(gè)(些)字母的表達(dá)式來代換,這種解

題方法,叫做換元法,又稱變量代換法.

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)

象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化.例如通過換元來降次,或化分式、根

式為整式等,換元的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)氖阶舆M(jìn)行代換.

2.常見的換元方法

(1)根式代換：一般是指將根式部分通過換元，使原函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一元二次方程形式；

(2)整體代換：將所求表達(dá)式整體換元；

(3)三角代換：三角代換分為兩種情況：①用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題，轉(zhuǎn)化的

過程要注意定義域的取值問題；②逆向三角代換：是指將三角問題，通過換元法轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的一元

二次方程的問題。

易錯(cuò)提醒：換元要注意新舊變?cè)娜≈捣秶淖兓?要避免代換的新變量的取值范圍被縮小;若新變量

的取值范圍被擴(kuò)大了，則在求解之后要加以檢驗(yàn).

舉一反三

1—丫2

1.(24-25高三上?江西上饒?階段練習(xí))已知函數(shù)=則/'(%)=()

44

C.7一幣*Ta*。)D.7—U-1(尤力1)

(xT)(1)

【答案】B

【分析】利用換元法求函數(shù)/(x)的解析式.

【詳解】令,=1-尤，貝！Jx=l-且xwO,則，wl,

所以〃句=7^7-1(尤Xi).

(1)

故選：B.

2.(24-25高一上?重慶?階段練習(xí))函數(shù)y=x+0二I的值域?yàn)?)

(9]r9

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.-oo,-D.二，+8

【答案】C

【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域即可.

【詳解】根據(jù)題意知函數(shù)定義域?yàn)?-叫2],令/=萬1?0,

所以y=x+J2—x=—t2+1+2=—]/—；]+：,

19(9

當(dāng)時(shí)，ymax=(，所以函數(shù)的值域?yàn)?8]

故選：C.

3.(2024.四川遂寧.模擬預(yù)測)下列函數(shù)滿足〃1嗝3)=-〃log32)的是()

A./(%)=l+lnxB.f(x\=x+—

x

C./(x)=x-D.f(x)=l-x

【答案】C

【分析】令f=log23>l,貝葉=1。氏2,結(jié)合各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，即可判斷答案.

【詳解】令f=logz3,。>1,則;=log32e(0,l),由〃1。823)=-/(10832)可得/?)=-/

對(duì)于A,/(j)=l+lnj=l-ln^-/(f),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(；)=*=加)，不滿足/(/)=-/1，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,=；—'=即/⑺=-/(；)，即/(1嗎3)=-了(32),C正確；

對(duì)于D,即〃1。43)=-/(032)不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C.

■易錯(cuò)題通關(guān)

1.(24-25高三上?全國?隨堂練習(xí))函數(shù)〃尤)―^(xeR)的值域是()

人十乙X十乙

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】C

【分析】利用換元法，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】令/=f+2x+2=(尤+1)2+121,

函數(shù)g(f)=：,在此1時(shí)，單調(diào)遞減，因此g(rL=g(i)=i,

當(dāng)時(shí)，g(0=->0,

所以〃x)=2；。(尤eR)的值域是(0』,

-

人"IN人"T乙

故選：C

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)y=x+Jl-x2的值域?yàn)?)

A.[-V2,V2]B.[-1,72]C.[-2,2]D.[1,72]

【答案】B

TT7T

【分析】4"A:=sin,,運(yùn)用換元法轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.

【詳解】4^=sin,0e，貝!jy=sine+cose=0sin[8+：),

4

八兀兀

,.,?！辍?+*，

22

~~~-sin(6+；)W1,

.?.-l<V2sin<9+^<72,

故選：B.

3.(23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))若函數(shù)/(cos^)=cosx+cos2x,則/=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由二倍角公式結(jié)合換元法求出函數(shù)解析式即可求解.

【詳解】因?yàn)?(cosx)=COSX+cos2x=cosx+2cos2%-1

所以〃X)=—,(—1WE),

貝咱:/義六也

所以,=/(o)=-i.

故選：B.

5.(2024.四川.模擬預(yù)測)已知為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)VxeR,f(/(x)-e')=2+ln2,則

“In3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.In3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)/(%)-e*=，，用/⑺求/的值，進(jìn)而可得的解析式，從而可得〃ln3).

【詳解】設(shè)〃力-e-,則〃%)=爐+%

所以/(，)=e'+%=2+ln2,即e'+Ine'=2+ln2，

設(shè)g(%)=x+lnx(x>0),易知g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增，

所以e'=2,即f=ln2,

故/(x)=e*+ln2,所以y(ln3)=eln3+ln2=3+ln2.

故選：B.

6.(2024.陜西?模擬預(yù)測)函數(shù)"x)=7iQ+J裝的最大值為()

A.1B.72C.CD.2

【答案】D

【分析】令二五力=A，則/+；=1,設(shè)。=sinab=6cos6(0wew]),再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)

即可得解.

【詳解】函數(shù)=+A的定義域?yàn)閇05，

令a=J-x,b=,貝!Ja?=1(04a41,04646)，

設(shè)a=sinO,b=石cos0(O<9可得a+b=2sin[o+]],

當(dāng)。時(shí)，a+6有最大值為2,

O

所以函數(shù)〃x)=>/r7+技的最大值為2.

故選：D.

7.(23-24高一上?浙江寧波?開學(xué)考試)函數(shù)k2尤2：：：+4(尤*°)的最大值為-

【答案】7/0.25

4

【分析】首先將函數(shù)化簡，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最值.

1

x+lx+i=a

【詳解】y=

2九2+4x+42（龍+1）一+2（尤+i）+3

設(shè)x+l=/21,而〉=/+；在［1,+8)上單調(diào)遞增,

所以y=f+32,當(dāng)且僅當(dāng)f=l時(shí)等號(hào)成立，

t

1

2

貝Uy=

X+1）H———

7X+1

所以函數(shù)的最大值為;.

故答案為：；

8.(24-25高三下?重慶?階段練習(xí))若〃2x-l)=2f_%,則的解析式為.

【答案】/(x)=—+-

v722

【分析】直接利用換元法求函數(shù)解析式即可.

【詳解】令r=2x—l,貝"=?，因?yàn)?(2x—l)=2f—%,

所以/■⑺=2(詈)-^X=L+L,故〃x)=5+?

故答案為：/(x)=y+|.

5—Y

9.(23-24高三上.廣東江門?開學(xué)考試)函數(shù)/(x)=7二=的值域?yàn)?

【答案】［2g,+s)

【分析】令/=廳7尤=2-〃,/>(),將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為/(/)=/+：,利用基本不等式即可求解.

【詳解】/(x)的定義域?yàn)?一,2),令公廳1戶2-r,/>0

^.2.0QO

y(r)=L±^=z+!,v?>0j+|>2V3,當(dāng)且僅當(dāng)/=若，即x=—1時(shí)取“等號(hào)”

.?"(X)的值域?yàn)椋?"+”).

故答案為：［24,+“)

10.(23-24高二下?遼寧本溪?期末)已知函數(shù)滿足2/1號(hào)=則〃x)=

【答案】可'（"1）

【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.

【詳解】由-一:1=x①，

得2/11--（1+]=-尤②，

由①②得341+￡|=X,則（1+[=卜（"0）,

令I(lǐng)d=t,則尤=（tW1）,

Xt-l

所以“A-g，

故〃X）=ED（*I）.

故答案為：式二D（XRI）.

11.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)y=2x-3-Ja-4x的值域?yàn)椋ㄒ浑pg,則實(shí)數(shù)。的值為

【答案】13

【分析】令人-4』（止0）,則、=一1一/+_|一3,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可得4-4x2。可得xwf,

4

______.22

令五-4%=《/20）,則2%=^^—,y=一?-+-^-3,

.??當(dāng)/=T時(shí)取得最大值，

但由于C20,故當(dāng)f=O即x=?時(shí)，y=|-3=|,解得。=13.

故答案為：13.

易錯(cuò)點(diǎn)03：研究單調(diào)性、奇偶性時(shí)忽略定義域

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（2024高三.全國.專題練習(xí)）函數(shù)y=匚百瓦的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(-co,l)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,+co)

【答案】C

【分析】令t=-d+2x,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求解出y=的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由-d+2x20可得0〈x<2,所以函數(shù)y=J—x2+的定義域?yàn)閇0,2],

令r=-f+2xe[0,l],利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法來分析了=+2x的單調(diào)性，如下表:

Xt=—%2+2xty=?y=yl-x2+2x

(0,1)單調(diào)遞增(0,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增

(1,2)單調(diào)遞減(0,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

由表知，y=J—d+2x的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）.

故選：C.

【易錯(cuò)剖析】

本題再求單調(diào)區(qū)間時(shí)容易忽略定義域，而求出單調(diào)遞減區(qū)間為（1,y0）而致錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，

函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧

途。

1.函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討

論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

（1）單調(diào)區(qū)間區(qū)間/是定義域的子集，即應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)研究單調(diào)性.

（2）如果函數(shù)y=/（x）存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間，應(yīng)當(dāng)用2”或“和”連接.

（3）單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，增（減）函數(shù)是函數(shù)的整體性質(zhì).

（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層

函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函

數(shù)是減函數(shù).

2.函數(shù)奇偶性與定義域

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)一切使尸（x）有定義的尤，F(xiàn)（一尤）也有定義，并且F（一尤）=網(wǎng)無）成立，則稱尸（無）為

偶函數(shù).

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)一切使刀(無)有定義的尤，網(wǎng)一X)也有定義，并且F(一x)=—E(x)成立，則稱內(nèi)尤)

為奇函數(shù).

(1)奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式.

奇函數(shù)㈡八一X)=—於)㈡八—x)+/)=0,偶函數(shù)小一x)=/(x)管A-%)-?=0.

(2)函數(shù)具有奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

一個(gè)函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則這個(gè)函數(shù)就不滿足是奇函數(shù)或是

偶函數(shù)的條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例如y=",定義域?yàn)閇0,十8),不具有奇偶性.

易錯(cuò)提醒：利用函數(shù)性質(zhì)解決題目的時(shí)候，應(yīng)該養(yǎng)成先求定義域的習(xí)慣，要注意定義域?qū)ψ宰兞康南拗?

叁舉一反三

1.(23-24高三上?浙江紹興?期末)函數(shù)y=ln(d-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.B.C.(-<?,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由y=ln(Y-2x),

/.x2—2x>0f解得xv0或%>2,

所以函數(shù)y=ln(d-2x)的定義域?yàn)?F,0)U(2,y),

令”=尤2-2%，則函數(shù)"=f-2x在(—,。)上單調(diào)遞減，在(2,y)上單調(diào)遞增，

而函數(shù)y=In”在(0,+8)上為增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得，=ln(Y-2X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3,0).

故選：C.

2.(24-25高三上?福建福州?期中)已知定義在「3,3]上的函數(shù)/(乃=e-J2x-1,若

f(m2)+f(m-2)+2?0,則優(yōu)的取值范圍是()

A.[-1,2]B.[-1,1]C.[-1,73]D.[-5/3,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)/(x)=g(x)T的奇偶性以及單調(diào)性，即可將問題轉(zhuǎn)化為g(/)?g(2m),即可求解.

【詳解】t己g(%)=e"—eT—2%,貝1]/(%)=g(%)—l

所以所求解不等式為了（加2）+f（m-2）+2=g（m2）+g（m-2）?0,

,/g(-x)=ex-ex+2x=-(ex-ex-2x)=-g(x),「.gO)是奇函數(shù)

vg^x)=ex+ex-2熠Je"8"-2=0,一?g。)在[-3,3]上是增函數(shù)

由g5?)+g(m-2)?0得g(/)?g(m-2)=g(2-m)

-3<m2<3-^3<m<A/3

化簡得'解得：_1#m1,

v-3<2-m<3,

m2<2-m-2<m<1

所以加的取值范圍是［-M］,

故選：B.

3.（24-25高三上?上海?期中）函數(shù)/00=7513+忑）的奇偶性為.

【答案】非奇非偶函數(shù)

【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇偶性的定義來求得正確答案.

【詳解】由《一廠解得-LMxcl,所以的定義域是［T1）,

1—x>0

由于/（X）的定義域不對(duì)稱，所以/（X）是非奇非偶函數(shù).

故答案為：非奇非偶函數(shù)

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（23-24高三上.山東荷澤?階段練習(xí)）函數(shù)^^的單調(diào)增區(qū)間為（)

O—JX—X

A.--,+coB.[-6,-

C._天1和

D.(一8,一6)U|一6,一

【答案】C

【分析】令,=—f―5%+6,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出/的單調(diào)區(qū)間，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得函數(shù)的

單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】設(shè)方=一%2一5%+6,則有xw-6且xwl.

（49

--/+6=_('+汾+”,則，￡（-°°,0）U［。,彳,

24

所以函數(shù)一_r的定義域?yàn)椋簕xlxw-6且XN1},

O—DX-X

5-卜口（L+00）;

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知方的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-8,-6）,-6,一彳;單調(diào)遞減區(qū)間為:

2

又因?yàn)閥=；在區(qū)間（-8,0）和（0,+旬上單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)丁=―中的單調(diào)增區(qū)間為:-2，0和(1,+°°).

故選：C.

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)-x-3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.100，；）B.C.T，+0°jD.；，+°°

【答案】C

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意可得2d—%—320,BP（2x-3）（x+l）>0,解得xW-1或九",

^t=2x2-X-3（X<-1^CX>-）,則y=〃，

因?yàn)椋?2f_%—3的對(duì)稱軸為X

所以f=2f-x—3在（一s，T］上遞減，在■|,+s］上遞增，

因?yàn)閥=〃在定義域內(nèi)遞增，

所以/（%）=也32一>3在y，T］上遞減,在1+②］上遞增.

故選：C

3.（24-25高三上?陜西渭南?階段練習(xí)）若函數(shù)”x）=log°.5（依-巧在區(qū)間（T,O）上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是（）

A.(0,2]B.[—2,0)C.[2,+co)D.(—co,—2]

【答案】D

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由于y=iog*在（0，+8）上單調(diào)遞減，令仁-f+依，XG（-1,O）,

因?yàn)閥=logo/為減函數(shù)，又"力=iogft5（"-V）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞增,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，1=-尤?+"在上單調(diào)遞減，

且r=—X2+依>0在(-1,。)上恒成立，

因?yàn)閥-必+依為二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為了=^|,

由在(T,O)上單調(diào)遞減，可得gvT,解得。<_2,

由r=—尤？+依>0在(―1,。)上恒成立，即依>必，xe(—1,0),

可得a<x在(-1,0)上恒成立，則aW-1,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,-21

故選：D

4.(24-25高三上?陜西漢中?期中)設(shè)函數(shù)〃x)=J+3X+4,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

'7X2+2X+3

A.f(x+1^+1B./(x+1)-1

C./(x-l)+lD./(x-l)-l

【答案】D

【分析】運(yùn)用奇函數(shù)的定義證明即可.

【詳解】小)=蕓二=/^+1,則小表，

定義域?yàn)镽,且*r)=7為=-FW，則/(xT)T是奇函數(shù).

故選：D.

5.定義在(。,+◎上的函數(shù)/(元)滿足V無］,X?e(0,+8)且國片超，有［/'(菁)一/(*2)］(%一%2)>°，且

2

/(孫)=/(尤)+/(>),/(4)=：,則不等式，(2天)一『(*一3)>1的解集為().

A.(0,4)B.(0,+oo)C.(3,4)D.(2,3)

【答案】C

【詳解】解："(孫)=/(x)+/(y)

?1

.?./(4)=/(2x2)=/(2)+/(2)=-,即〃2)=屋

?.?〃8)=〃4x2)=〃4)+〃2)=3〃2)=3x；=l,

/(2x)-/(x-3)>l,可轉(zhuǎn)化為：/(2x)-/(x-3)>y(8),

即/（2x）>/（8）+/（x-3）,

即/（2尤）>f［8x（x-3）］=〃8x-24）,

???/（X）滿足V%,尤2€（°，+°°）且無1*工2，有［/（占）-〃尤2）］（不一無2）>°，

\〃R在（0,+功上單調(diào)遞增，

2x>0

即<X—3>0,解得：3<x<4,

2x>8x-24

即不等式/（2x）-/（x-3）>l的解集為：（3,4）.

故選：C.

l,x<2

6.已知函數(shù)/（%）=%—l,2Wx<3,且/（%）=2,則與=（）

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

l,x<2

【詳解】因?yàn)?（無）=X-1,24X<3,且〃%）=2,

X2-7,x>3

2氣<3］尤（）23

則解得玉）=3.

x0—1=2［尤；-7=2

故選：C

7.已知是定義在［T1］上的增函數(shù)，且/（》-1）>〃1-3力，則x的取值范圍是.

【…答心案.】（"121

12

【詳解】由題意可得，-1<1-3X<1,解得彳.

1c23

x-1>l1-13x

所以X的取值范圍是g,|.

0Mg二（12一

故答案為：I-.

8.（2024高三.全國?專題練習(xí)）己知函數(shù)〃x）=—xW，xe（-l,l）,則不等式“1-咐<f（歷-1）的解集

為.

【答案】(0,1)

【分析】先把函數(shù)/(X)寫成分段函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)單調(diào)性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為

代數(shù)不等式，求解即可.

【詳解】由已知得〃力=卜

則“X)在(-M)上單調(diào)遞減，

-1<1-m<1

.*.<-l<m2-l<l解得0<機(jī)<1,

所求不等式的解集為(0,1).

答案：(0,1).

9.若函數(shù)人是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a—1,2a],則。=,b—.

【答案】;0

【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以。-1=一2a,解得

又函數(shù)/(x)=￥+b尤+b+l為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b=0.

易錯(cuò)點(diǎn)04：對(duì)分段函數(shù)的理解不到位出錯(cuò)

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

_丫2?丫1

二--，--在R上是增函數(shù)，則。的取值范圍

alnx+5,x>l

為()

A.[l,+oo)B.[1,6]

C.(-co,l]u[6,+oo)D.(0.1]U[6,-H?)

【答案】B

【分析】由分段函數(shù)在R上遞增需滿足條件可得答案.

【詳角星】設(shè)g(x)=—彳2+2依一6,x<l-"(x)=alnx+5,x>l.

為使/(x)在R上遞增，則g(x)在(-8,1］上遞增，/z(x)在(1,+°0)上遞增,

a>\

且g⑴</7⑴，即<a>0^>l<a<6.

2a-7<5

故選:B

【易錯(cuò)剖析】

本題在求解過程中容易只注意到分段函數(shù)遞增，則每一段都遞增，忽略比較分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小而

錯(cuò)選A.

【避錯(cuò)攻略】

1.分段函數(shù)的定義

在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式.像這樣的函數(shù)，通常叫做分段函數(shù).

【理解】(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).

(2)處理分段函數(shù)問題時(shí)，要首先確定自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.要注

意寫解析式時(shí)各區(qū)間端點(diǎn)的開閉，做到不重復(fù)、不遺漏.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，分段函數(shù)的值域是分別求出各段上的值域后取并集.

2.分段函數(shù)的題型

(1)分段函數(shù)圖象的畫法

①作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖

象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.

②對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分

段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.

(2)分段函數(shù)的求值

①確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

②代入該段的解析式求值，直到求出值為止.

(3)求某條件下自變量的值(或范圍)

先對(duì)龍的取值范圍分類討論，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需檢驗(yàn)所求的值是否

在所討論的區(qū)間內(nèi).若題目是含有多層，了的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理.

(4)根據(jù)分段函數(shù)的解析式解不等式

①對(duì)變量分類討論代入相應(yīng)的解析式求解.

②畫出分段函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求解.

(5)求分段函數(shù)的最值

分別求出每一段的最值或值域進(jìn)行比較求出最值

(6)根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

從兩方面入手，一是分析各段的單調(diào)性，二是比較分段點(diǎn)的大小關(guān)系.

易錯(cuò)提醒：(1)求某條件下自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自

變量的值，切記代入檢驗(yàn).

(2)已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，切記不要漏掉分段點(diǎn)處函數(shù)值大小的比較，常見的類型及應(yīng)滿足的條

件如下：

類型1：函數(shù)/。)=(野)'無，在R上單調(diào)增遞，則/(元)滿足兩個(gè)條件：

[f2(x),x>a

⑴工(X)在(-8㈤上單調(diào)增遞增；

(2)；2(x)在(a,+?)上單調(diào)增遞增；

(3)力⑷4人(力

類型2：函數(shù)/a)=1個(gè)x)，I,在R上單調(diào)增遞減，則/(無)滿足兩性個(gè)條件：

[f2(x),x>a

⑴工(x)在(-8,a]上單調(diào)增遞減；

⑵力口)在(a,+w)上單調(diào)增遞減；

(3)/；(?)>/.(a)

舉—反三

1.(2024.吉林.模擬預(yù)測)已知〃x)=?若則實(shí)數(shù)。的值為()

——,x>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【分析】分。<1和。21,求解/(。)=1,即可得出答案.

【詳解】當(dāng)。<1時(shí)，/(a)=2"T=l,則。一1=0,解得：a=l(舍去)；

當(dāng)時(shí)，f(a)=^~=l,則y=2,解得：a=4.

故選：B.

2x+4,x<?

2.(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數(shù)〃x)=2;在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().

x+\,x>a

A.(-1,3]B.(-oo,3]C.[3,+oo)D.(-e,T]u[3,+(?)

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系求解即可.

2x+4,x<a

【詳解】已知函數(shù)〃》)=21，當(dāng)％工。時(shí),

x+l,x>a

/(x)=2x+4單調(diào)遞增，所以最大值為2a+4；

當(dāng)尤>。且。>0時(shí)，〃尤)=d+1在(。,+?)上單調(diào)遞增，最小值為1+1;

/、[2x+4,x<a

所以要使函數(shù)〃%=2;在R上單調(diào)遞增，

[x+l9x>a

貝!Ja?+122a+4,解得〃之3或aW一1(舍去).

故選：C.

QX1>0

3.(2024?浙江溫州?一模)已知函數(shù)〃尤)=3'°八的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

x-3x+a,x<0

A.[-1,-K?)B.[3,+co)

C.