2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試題（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試題選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．162．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.在空間中，設(shè)，為兩條不同直線(xiàn)，，為兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若是異面直線(xiàn)，，則第4題圖C．若，，，則第4題圖D．若，，，則4.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為()A．(1,6)B．(1,4)C．(－∞，1)∪(6，＋∞)D．(1,4)∪(6，＋∞)5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知，，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的最小值是（

）A．4B．3C．2D．17．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，且有為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．0,+∞二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B． C．D．10．如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，分別是棱，棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），下列結(jié)論正確的是（

）Q第10題圖A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為Q第10題圖B．過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面面積為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為D．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為11.已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B．當(dāng)且時(shí)，C．若過(guò)點(diǎn)可作出曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，則的取值范圍是D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與以原點(diǎn)為圓心的單位圓相交于點(diǎn)，則．13．已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)為線(xiàn)段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍為．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為曲線(xiàn)上一點(diǎn)且位于第一象限，將線(xiàn)段OM繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐的側(cè)面，再將其展開(kāi)成扇形，則該扇形的圓心角的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(13分)在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，，且.(1)求角的值；(2)若，，求的面積．16．(15分)已知函數(shù)(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0）處的切線(xiàn)方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．第17題圖17．(15分)如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，為的中點(diǎn).第17題圖(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值.第18題圖18．(17分)如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)與點(diǎn)分別在的兩側(cè)，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，.第18題圖

(1)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為若的面積為，，求的大小和；(2)設(shè)，已知，且，求對(duì)角線(xiàn)的最大值和此時(shí)的值.19．(17分)對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，且，滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“弱偶函數(shù)”.若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“弱奇函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“弱奇函數(shù)”或“弱偶函數(shù)”并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)，為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知，對(duì)于任意的,函數(shù)都是定義域?yàn)樯系摹叭跗婧瘮?shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高三年級(jí)數(shù)學(xué)答案選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．A2．C3．B4．D5.B5.B6.D7.C8．C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．ACD10.BC11．BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.613．14．解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.(13分)(1)…………1分解得：或，，；…………6分（2）因?yàn)椋烧叶ɡ?，，………?分所以，．又因?yàn)?，所以，得，由余弦定理有：，所以．所以．………?3分16.(15分)(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝(x≠－1)，則f(0)＝0，因?yàn)?，所以f′(0)＝1.所以曲線(xiàn)y＝f(x)在(0，0)處的切線(xiàn)方程為y＝x.…………5分(2)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞)．，令f′(x)＝0，解得x＝2a＋1.…………7分①當(dāng)2a＋1＝－1，即a＝－1時(shí)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(－1，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；………9分②當(dāng)2a＋1<－1，即a<－1時(shí)，令f′(x)<0，則x∈(－∞，2a＋1)∪(－1，＋∞)，令f′(x)>0，則x∈(a＋1，－1)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2a＋1)和(－1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2a＋1，－1)；…12分③當(dāng)2a＋1>－1，即a>－1時(shí)，令f′(x)<0，則x∈(－∞，－1)∪(2a＋1，＋∞)，令f′(x)>0，則x∈(－1，2a＋1)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(2a＋1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，2a＋1)．…14分綜上所述：當(dāng)a＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(－1，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a<－2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a＋1，－1)；當(dāng)a>－2時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，a＋1)．…………15分17.(15分)

(1)證明：如圖取的中點(diǎn)，連接、為的中點(diǎn)，且，由平面，平面，，.又，，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面.…………5分證明：為等邊三角形，為的中點(diǎn)，.平面，平面，，，所以，，又，、平面，平面，平面，平面平面.…………10分如圖：在平面內(nèi)，過(guò)作于點(diǎn)，連接，平面平面，平面平面，平面，平面.為和平面所成的角，因?yàn)?，，則，，在中，，直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為.…………15分（向量法略）18．(17分)

(1)在中，由余弦定理，，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所?…………4分，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，所以，，即………?0分（2）解：，且，，由余弦定理可得，在中，，由正弦定理得，，在中，，，由余弦定理可得，，易知，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.…………17分19.(17分)(1)若當(dāng)時(shí)，則，，無(wú)實(shí)數(shù)解，舍去；當(dāng)時(shí)，則，，無(wú)實(shí)數(shù)解，舍去；則不是“弱偶函數(shù)”，…………2分若當(dāng)時(shí)，則，，解得（正舍），當(dāng)時(shí)，則，若，解得（負(fù)舍），則存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，所以是“弱奇函數(shù)”.…………5分(2)，定義域?yàn)?①當(dāng)在區(qū)間上存在，滿(mǎn)足時(shí)，則，即.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).又，所以，即，所以，所以②當(dāng)在區(qū)間上存在，滿(mǎn)足時(shí)，則，即有解.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以.③當(dāng)在區(qū)間上存在，滿(mǎn)足時(shí)，則，即有解.因?yàn)樵趨^(qū)間上單