高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)新定義壓軸匯編10一類基于多變量邏輯連詞的數(shù)學(xué)新定義

高一上期期末新定義壓軸匯編10.恒成立與邏輯連詞的常見策略轉(zhuǎn)化一．基本原理1.恒成立問題與能成立問題一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2．雙變量問題與值域關(guān)系第1類.“任意=存在”型，使得,等價(jià)于函數(shù)在上上的值域是函數(shù)在上的值域的子集,即.其等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想:函數(shù)的任意一個(gè)函數(shù)值都與函數(shù)的某一個(gè)函數(shù)值相等,即的函數(shù)值都在的值域之中.此類型出現(xiàn)頻率最高.第2類.“存在=存在”型，使得，等價(jià)于函數(shù)在上的值域與函數(shù)在上的值域的交集不為空集,即.其等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想:兩個(gè)函數(shù)有相等的函數(shù)值,即它們的值域有公共部分.第3類.“任意≥(≤、>、<)任意”型，使得恒成立等價(jià)于.其等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想是函數(shù)的任何一個(gè)函數(shù)值均大于函數(shù)的任何一個(gè)函數(shù)值.同理，可得其他類型.第4類.型.由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最值，故此類轉(zhuǎn)化為，解決掉雙變量轉(zhuǎn)化為求最值.上述四類就是常見的需要利用分析函數(shù)值域來去掉雙變量的情形，所以，其實(shí)質(zhì)就是計(jì)算函數(shù)的值域，下面將選取具體的實(shí)例來分析操作步驟.二.典例分析例1.，，若對(duì)任意的，存在，使，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：函數(shù)，因?yàn)?，所以在的值域?yàn)?，函?shù)在的值域?yàn)椋驗(yàn)閷?duì)任意的，存在，使，所以，所以，解得．故選：A．例2．已知函數(shù)，，函數(shù)，，對(duì)于，總，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．解析：函數(shù)，因?yàn)椋?，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)锳；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)锽，因?yàn)閷?duì)于，總，使得成立，所以，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C例3．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：要使對(duì)任意的，總存在，使得成立，即在上值域是在上值域的子集，開口向上且對(duì)稱軸為，則上值域?yàn)椋粚?duì)于：當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)?，此時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)椋粷M足要求；當(dāng)時(shí)在上值域?yàn)?；此時(shí)，，可得；綜上，的取值范圍.故選：D例4．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）令，若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1），且是奇函數(shù)，，，解得，．（2）證明如下：任取，，且，則，，且，，，∴，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.同理可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．（3）由題意知，令，，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，；當(dāng)時(shí)，取得最大值，.所以，，又對(duì)任意的，都有恒成立，，即，解得，又，的取值范圍是．例5．設(shè)函數(shù)，函數(shù)．（1）求的取值范圍；（2）若對(duì)于任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的不等式在存在解集，求整數(shù)的最大值．解析：（1），定義域?yàn)?，由，?dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，由，知，解得且，綜上，.（2）對(duì)于任意的，總存在，使得，即由（1）知，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，解得.（3）由可得，，分離參數(shù)可得，，由題意，不等式在存在解集，則因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得,所以整數(shù)的最大值為1.例5．已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”（1）判斷，是否為，的“4重覆蓋函數(shù)”，并說明理由；（2）若，是，的“3重覆蓋函數(shù)”，求的范圍；（3）若，，是，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的取值范圍．解析：（1），，，故的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，不是的“4重覆蓋函數(shù)”，（2），，的圖像如下：是的“3重覆蓋函數(shù)”，，在成立，，（3），，令，為的“9重覆蓋函數(shù)”，即有9個(gè)實(shí)數(shù)根，即有9個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)榕c的圖像如下，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上，要滿足題意，所以，即.例6．已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）判斷是否為的“重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；（2）若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）因?yàn)?，則，任取，令，可得，即或，可得，或，所以對(duì)于任意，能找到兩個(gè)，使得，所以是的“重覆蓋函數(shù)”，且；（2）可得的定義域?yàn)椋磳?duì)任意，存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），，則，，即，即對(duì)任意有3個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，已有兩個(gè)根，故只需時(shí)，僅有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，則需滿足，解得，此時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，由，可得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，又，所以，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，綜上可得，即，則對(duì)于任意要有2024個(gè)根，由函數(shù)的圖象，要使要有2024個(gè)根，則，又，則，故正實(shí)數(shù)的取值范圍.例7．已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在n個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，…，，使得（其中，2，…，n，），則稱為的“n重覆蓋函數(shù)”.（1）判斷（）是否為（）的“n重覆蓋函數(shù)”，如果是，求出n的值；如果不是，說明理由；（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）函數(shù)表示不超過x的最大整數(shù)，如，，，若，為，的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：（1）,，由題目定義可知，對(duì)，恰好存在不同的實(shí)數(shù)，使得，其中即，易得，故對(duì)，能找到一個(gè)，使得，是的“n重覆蓋函數(shù)”，.（2）由題意得：的定義域?yàn)镽，即對(duì)，存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），又，故，所以，即：，即對(duì)，有2個(gè)根，當(dāng)時(shí)，已有1個(gè)根，故只需時(shí)，僅有1個(gè)跟，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，則需滿足，解得：，當(dāng)時(shí)，拋物線開