2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 雙切線(xiàn)問(wèn)題的探究（七大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破12雙切線(xiàn)問(wèn)題的探究

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定值問(wèn)題...............................................................2

題型二：斜率問(wèn)題...............................................................3

題型三：交點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.......................................................4

題型四：交點(diǎn)弦定值問(wèn)題.........................................................5

題型五：交點(diǎn)弦最值問(wèn)題.........................................................7

題型六：交點(diǎn)弦范圍問(wèn)題.........................................................8

題型七：“筷子夾湯圓”問(wèn)題......................................................10

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

雙切線(xiàn)問(wèn)題，就是過(guò)一點(diǎn)做圓錐曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)的問(wèn)題，解決這一類(lèi)問(wèn)題我們通常用同構(gòu)法.

解題思路：

①根據(jù)曲線(xiàn)外一■點(diǎn)P(x0,%)設(shè)出切線(xiàn)方程y—y0=k(^x—XQ).

②和曲線(xiàn)方程聯(lián)立，求出判別式△=().

③整理出關(guān)于雙切線(xiàn)斜率匕、七的同構(gòu)方程.

④寫(xiě)出關(guān)于左、網(wǎng)的韋達(dá)定理，并解題.

題型一：定值問(wèn)題

【典例1-1】已知直線(xiàn)，=履+1(左#0)與拋物線(xiàn)G：v=4y交于N兩點(diǎn).7是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)A

在直線(xiàn)y=-l上，且AT垂直于X軸.

⑴求證：AT的中點(diǎn)在G上；

(2)設(shè)點(diǎn)3在拋物線(xiàn)Q：y=-x2-l1.,BP,8。是G的兩條切線(xiàn)，P,。是切點(diǎn).若AB〃MN,且A,3

位于V軸兩側(cè)，求證：\1M\\7N\=\TP\\TQ\.

22

【典例1-2】(2024.安徽?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:1+2=l(a>b>0)的一條準(zhǔn)線(xiàn)/的方程為x=4,點(diǎn)

ab

分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之差為2.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)/上任一點(diǎn)作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為Q,R,當(dāng)四邊形AQ8R的面積最大時(shí)，求/AQB的正切值.

r221

【變式1-1](2024.云南.模擬預(yù)測(cè))已知橢圓。:三+斗v=l(〃>b>0)的離心率為7,上、下頂點(diǎn)與其中一

ab2

個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形面積為G，過(guò)點(diǎn)P(T,-3)作橢圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A8.

⑴求橢圓。的方程；

(2)求A3所在直線(xiàn)的方程；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作直線(xiàn)/交橢圓C于兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)Q,求崗+居的值.

題型二：斜率問(wèn)題

【典例2-1】如圖，點(diǎn)為拋物線(xiàn)爐=22丁外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線(xiàn)兩條切線(xiàn)分別切于A、B

兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為Q,直線(xiàn)尸。交拋物線(xiàn)于點(diǎn)

(1)證明：%=%，%=-〃，(加為直線(xiàn)A3在軸上的截距)，且直線(xiàn)A3方程為⑼)=P(y+%)；

⑵設(shè)點(diǎn)/處的切線(xiàn)/,求證〃/.

【典例2-2】已知尸是拋物線(xiàn)C:/=4x的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PAPB,切點(diǎn)

分別為A3.

(1)若點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0,求此時(shí)拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)PAP3的斜率分別為配《，求證：《-心為定值.

【變式2-1］（2024.高三?浙江?期中）已知雙曲線(xiàn)E：與-1=1（?>0,6>0）過(guò)點(diǎn)。（3,2）,且離心率為

ab

22

2,F2,4為雙曲線(xiàn)E的上、下焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)E在點(diǎn)。處的切線(xiàn)/與圓F?：x+（j；-c）=10（c二好市）

交于A,8兩點(diǎn).

⑴求的面積;

（2）點(diǎn)P為圓耳上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P能作雙曲線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為M,N,記直線(xiàn)M耳和NK的斜率

分別為L(zhǎng)，k2,求證：4隹為定值.

【變式2-2］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（x,y）到點(diǎn)*1,0）與到直線(xiàn)x=5的距離之比為手，記點(diǎn)〃

的軌跡為曲線(xiàn)C.

⑴求曲線(xiàn)。的方程；

（2）若點(diǎn)尸是圓/+產(chǎn)=5上的一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過(guò)點(diǎn)尸作曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A3,記

直線(xiàn)PAPB的斜率分別為。右，且匕=-4-履，求直線(xiàn)。尸的方程.

題型三：交點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【典例3-1】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到。，0）的距離等于到直線(xiàn)尤=一1的距離.

（1）求M的軌跡方程；

（2）尸為不在無(wú)軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作（1）中V的軌跡的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,B；直線(xiàn)4B與P。垂直（O

為坐標(biāo)原點(diǎn)），與無(wú)軸的交點(diǎn)為R與尸。的交點(diǎn)為。；

（i）求證：R是一個(gè)定點(diǎn)；

的最小值.

【典例3-2】(2024?湖南.三模)已知拋物線(xiàn)E：必=2后(？>0)的焦點(diǎn)為冗過(guò)B且斜率為2的直線(xiàn)與E交

于4B兩點(diǎn),|AB|=10.

⑴求E的方程；

(2)直線(xiàn)/:x=T,過(guò)/上一點(diǎn)P作E的兩條切線(xiàn)PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N.求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求

出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【變式3-1】已知拋物線(xiàn)。：/=2刀(°>0),直線(xiàn)y與C交于A,3兩點(diǎn)，S.\AB\=2p.

⑴求。的值；

(2)過(guò)點(diǎn)G(f+2,。作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為V,N,證明：直線(xiàn)肱V過(guò)定點(diǎn)；

(3)直線(xiàn)/過(guò)C的焦點(diǎn)P,與C交于P,。兩點(diǎn)，C在P,。兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)設(shè)PF=2FQ,當(dāng)

ae[2,3]時(shí)，求△HPQ面積的最小值.

222

【變式3-2】已知橢圓及寧f+方V=1(。>〃>0)的長(zhǎng)軸為雙曲線(xiàn)Y?一3v=1的實(shí)軸，且離心率為1.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

22

⑵已知橢圓會(huì)+*1(°>匕>0)在其上一點(diǎn)Q6,%)處的切線(xiàn)方程為*+竽=1.過(guò)直線(xiàn)X=4上任意一點(diǎn)

尸作橢圓E的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4AM為橢圓的左頂點(diǎn).

①證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；

②求.ABAf面積的最大值.

題型四：交點(diǎn)弦定值問(wèn)題

7V3

【典例4-1】(2024?河北?三模)已知橢圓C：=l(t?>b>0)的離心率為(0,夜)是橢圓的短軸

a2b23

的一個(gè)頂點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程.

2222

⑵設(shè)圓。：X+y=a+b,過(guò)圓。上一動(dòng)點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B.設(shè)兩切線(xiàn)的斜

率均存在，分別為L(zhǎng)，治，問(wèn)：占&是否為定值？若不是，說(shuō)明理由；若是，求出定值.

22

【典例4-2】(2024?江蘇?一模)已知橢圓C：會(huì)+方=1伍>6>0)的右焦點(diǎn)為“1,0),右頂點(diǎn)為A,直線(xiàn)/：

x=4與x軸交于點(diǎn)S.\AM\=a\AF\,

⑴求C的方程；

(2)8為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作C的兩條切線(xiàn)，分別交y軸于點(diǎn)P,Q,

①證明：直線(xiàn)BP,BF,8。的斜率成等差數(shù)列；

②ON經(jīng)過(guò)8,P,。三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)8,使得，N/WQ=90。？若存在，求|8回；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【變式4-1］已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(O,c)(c>0)到直線(xiàn)I:x-y-2=0的距離為孚.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(x。，％)為直線(xiàn)/上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)叢，PB,其中A,B為切點(diǎn)、,求直線(xiàn)

A3的方程，并證明直線(xiàn)A3過(guò)定點(diǎn)。；

(3)過(guò)(2)中的點(diǎn)。的直線(xiàn)加交拋物線(xiàn)C于A,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,3分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)4，4,求4,

4交點(diǎn)M滿(mǎn)足的軌跡方程.

【變式4-2］如圖，設(shè)拋物線(xiàn)方程為必=2/。>0),M為直線(xiàn)y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線(xiàn)的切

線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4B.

y

(i)求直線(xiàn)AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若E為拋物線(xiàn)弧A3上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線(xiàn)在E點(diǎn)處的切線(xiàn)與三角形的邊MA,M3分別交于點(diǎn)C,

S

D,記彳=寸理，問(wèn)2是否為定值？若是求出該定值；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

3△MCD

題型五：交點(diǎn)弦最值問(wèn)題

【典例5-1】已知點(diǎn)/為拋物線(xiàn)氏爐=2分(°>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M(九2)在拋物線(xiàn)E上，且到原點(diǎn)的距離為

2君.過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)廠(chǎng)的直線(xiàn)/交拋物線(xiàn)于48兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A,8處作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于尸

點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)尸在一條定直線(xiàn)上；

(2)求R4B的面積最小值.

【典例5-2】已知拋物線(xiàn)C：/=2y,動(dòng)圓D：(xT)2+(y+l)2=l(/eR),尸為拋物線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸

作圓。的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為AB.

⑴若f=|，求IPDMA3I的最小值；

(2)若過(guò)圓心D作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為

(I)求證：直線(xiàn)MV過(guò)定點(diǎn)；

(H)若線(xiàn)段的中點(diǎn)為尺，連尺。交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)Q,記△MNQ的面積為S(f),求S")的表達(dá)式及其

最小值.

【變式5-1］（2024?山東臨沂.一模）動(dòng)圓C與圓C：（x+2）2+y2=50和圓。2：。-2）2+y=2都內(nèi)切，記動(dòng)

圓圓心C的軌跡為E.

（1）求E的方程；

（2）已知圓錐曲線(xiàn)具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線(xiàn)的方程為Ar2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=O,則曲線(xiàn)上一點(diǎn)

（七,為）處的切線(xiàn)方程為：AxQx+B（xoy+yox）+Cyoy+D（xo+x）+E（yo+y）+F=O,試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下

問(wèn)題：點(diǎn)尸為直線(xiàn)x=8上一點(diǎn)（尸不在x軸上），過(guò)點(diǎn)尸作E的兩條切線(xiàn)尸4尸3,切點(diǎn)分別為A3.

Ci）證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；

（ii）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4,連接A7?交x軸于點(diǎn)/，設(shè)BCJW的面積分別為蜀,邑，求

應(yīng)-S21的最大值.

題型六：交點(diǎn)弦范圍問(wèn)題

【典例6-1】設(shè)拋物線(xiàn)r：y2=2px（0>O）的焦點(diǎn)為F,Q為「上一點(diǎn).已知點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2形，且點(diǎn)。到

焦點(diǎn)廠(chǎng)的距離是:?點(diǎn)P為圓（x+2y+y2=l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線(xiàn)「的兩條切線(xiàn)尸AP3,切點(diǎn)分別為

AB,記兩切線(xiàn)尸APB的斜率分別為原k2.

（1）求拋物線(xiàn)r的方程；

（2）若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為-*浮，求匕+魚(yú)值；

\MN\

（3）設(shè)直線(xiàn)PAPB與y軸分別交于點(diǎn)M、N,求上一的取值范圍.

\AB\

2

【典例6-2】如圖，設(shè)拋物線(xiàn)C：V=4x的焦點(diǎn)為冗點(diǎn)尸是半橢圓尤2+匕=1。＜0）上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作

4

拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4B,且直線(xiàn)山、P8分別交y軸于點(diǎn)M、N.

（1）證明：FM±PA；

（2）求的取值范圍.

【變式6-1】已知橢圓C：++方=1（。＞匕＞0）的左焦點(diǎn)耳（-石,0）,點(diǎn)Q1L事J在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過(guò)圓O：￡+、2=5上一動(dòng)點(diǎn)尸作橢圓。的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別記為A3,直線(xiàn)尸4尸3分別與圓

。相交于異于點(diǎn)尸的",N兩點(diǎn).

（i）當(dāng)直線(xiàn)PAP3的斜率都存在時(shí)，記直線(xiàn)PAP8的斜率分別為小色.求證：匕&=-1；

（〃）求［黑］的取值范圍.

【變式6-2］（2024?山東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓O：/+V=4,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)K在圓。上運(yùn)動(dòng)，L為

過(guò)點(diǎn)K的圓的切線(xiàn)，以L(fǎng)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)耳卜6,0）,6（指,0）,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為S,記焦點(diǎn)S的軌

跡為s.

⑴求S的方程;

(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線(xiàn)/“4均與曲線(xiàn)S相切，切點(diǎn)分別為A3,且44的斜率之積為-1,求四邊形2。3

面積的取值范圍.

題型七：“筷子夾湯圓”問(wèn)題

【典例7-1】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)直線(xiàn)/:工=-5上任一點(diǎn)對(duì)作該直線(xiàn)的垂

線(xiàn)歹(!，。)，線(xiàn)段FM的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)尸M交于點(diǎn)尸.

(1)當(dāng)/在直線(xiàn)/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵過(guò)尸向圓N：(x-2>+V=l引兩條切線(xiàn)，與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)分別AB.

①判斷：直線(xiàn)與圓N的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②求“/純周長(zhǎng)的最小值.

【典例7-2】(2024?河南?三模)已知橢圓弓：卷+曠2=1的左、右頂點(diǎn)分別為4，4,上、下頂點(diǎn)分別為用,生，

記四邊形的內(nèi)切圓為G，過(guò)G上一點(diǎn)T引圓Q的兩條切線(xiàn)(切線(xiàn)斜率均存在且不為0),分別交G

于點(diǎn)尸,。(異于T).

(1)求直線(xiàn)7P與項(xiàng)的斜率之積的值；

(2)記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷尸,。,。三點(diǎn)是否共線(xiàn)，并說(shuō)明理由.

【變式7-1］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)G：/=2內(nèi)(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于橢圓

C?:/+16/=1的短軸長(zhǎng)，點(diǎn)尸在拋物線(xiàn)加上，圓E:(X-2)2+V=產(chǎn)(其中0<廠(chǎng)<1).

⑴若，。為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段加長(zhǎng)度的最小值；

(2)設(shè)。(1,。是拋物線(xiàn)。上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)。作圓￡的兩條切線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)G于點(diǎn)M,N.證明:

直線(xiàn)MTV經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

22

【變式7-2](2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知橢圓Cj：=+==1(。＞匕＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,左、右頂點(diǎn)分別為

ab

a，4,上、下頂點(diǎn)分別為4,打，四邊形444心的內(nèi)切圓G的半徑為半，過(guò)橢圓G上一點(diǎn)T引圓c?的

兩條切線(xiàn)(切線(xiàn)斜率存在且不為0),分別交橢圓G于點(diǎn)P,Q.

⑴求橢圓G的方程；

(2)試探究直線(xiàn)TP與TQ的斜率之積是否為定值，并說(shuō)明理由；

(3)記點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：P,O,。三點(diǎn)共線(xiàn).

【變式7-3】已知A,B為拋物線(xiàn)C：必=2px(p＞0)上的兩點(diǎn)，△048是邊長(zhǎng)為8囪的等邊三角形，其

中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求C的方程.

⑵過(guò)C的焦點(diǎn)尸作圓M：(x-3『+(y-2)2=我(0＜夫＜1)的兩條切線(xiàn)工幾

(i)證明：4，6的斜率之積為定值.

(ii)若4，4與C分別交于點(diǎn)。，￡和H,G,求-40]￡)同—4—40j|HG|-4的最小值.

22

1.已知點(diǎn)A,3分別為橢圓E：與+==1(a＞6＞0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P(0,-2),直線(xiàn)2尸交E于點(diǎn)

ab

3

Q,PQ=^QB,且」,是等腰直角三角形.

⑴求橢圓月的方程；

⑵過(guò)圓/+丫2=4上一點(diǎn)/（不在坐標(biāo)軸上）作橢圓E的兩條切線(xiàn)44.記OM、4、4的斜率分別為即、

k、、k2,求證：<（匕+&）=—2.

2.（2024.全國(guó).二模）如圖，過(guò)點(diǎn)百）的動(dòng)直線(xiàn)/交拋物線(xiàn)（？:》2=2內(nèi)（0>0）于4,3兩點(diǎn).

（1）若。。，4民。4，。3,求C的方程;

（2）當(dāng)直線(xiàn)/變動(dòng)時(shí)，若/不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A8分別作（1）中C的切線(xiàn)，且兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)V,

問(wèn)：是否存在唯一的直線(xiàn)/,使得ZAMD=ZBMD?并說(shuō)明理由.

3.已知拋物線(xiàn)E：-=2y,焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸作》軸的垂線(xiàn)4，點(diǎn)P在X軸下方，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)E的兩

條切線(xiàn)4，4，4，6分別交X軸于A,3兩點(diǎn)，4，6分別交％于C,。兩點(diǎn).

（1）若《，/?與拋物線(xiàn)E相切于C,。兩點(diǎn)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）證明：的外接圓過(guò)定點(diǎn)；

（3）求△尸CD面積S的最小值.

22

4已知橢圓「：爭(zhēng)》1（。自"的左、右焦點(diǎn)分別為22'上頂點(diǎn)為3，”是橢圓「在第一象限上的

點(diǎn)，滿(mǎn)足耳8=3瑪

(1)求橢圓「的方程；

(2)過(guò)直線(xiàn)/:x=2上的一點(diǎn)Q,作橢圓「的兩條切線(xiàn)QD,QE,切點(diǎn)分別為證明：QFQDE.

5.已知圓0：/+;/=1,直線(xiàn)/:x+O-3)y-加=0(meR).

(1)若直線(xiàn)/與圓。相切，求相的值；

(2)當(dāng)根=4時(shí)，已知產(chǎn)為直線(xiàn)/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作圓O的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)切線(xiàn)長(zhǎng)最短時(shí),

求弦48所在直線(xiàn)的方程.

6.(2024?湖南?一模)已知雙曲線(xiàn)C:1-二=1(6>。>1)的漸近線(xiàn)方程為丫=±缶，C的半焦距為c,且

ab

/+/+4=4。2.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若尸為C上的一點(diǎn)，且尸為圓V+y2=4外一點(diǎn)，過(guò)尸作圓二+'2=4的兩條切線(xiàn)4,4(斜率都存在)，4

與C交于另一點(diǎn)M,4與C交于另一點(diǎn)N,證明：

(i)44的斜率之積為定值；

(ii)存在定點(diǎn)A,使得M,N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng).

22.

7.左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥(niǎo)的橢圓C：a+2=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(0,6),尸為橢圓上一點(diǎn)，一尸片鳥(niǎo)的

重心為G,內(nèi)心為/,/G〃耳鳥(niǎo).

⑴求橢圓C的方程；

(2)若/為直線(xiàn)x-y=4上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/作橢圓C的兩條切線(xiàn)朋A、MB,A、8為切點(diǎn)，問(wèn)直線(xiàn)A3是否過(guò)定

點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.(2024?高三?西藏林芝?期末)已知橢圓C:=+斗=1(°>0,〃>0),直線(xiàn)/：x-7Iy+后=0經(jīng)過(guò)橢圓的左

ab

頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線(xiàn)/上是否存在一點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線(xiàn)分別切于點(diǎn)A與點(diǎn)3,點(diǎn)尸在以A3為直徑的圓

上，若存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(2024?甘肅蘭州.一模)已知圓C過(guò)點(diǎn)尸(4,1),加(2,3)和N(2,-l),且圓C與y軸交于點(diǎn)尸，點(diǎn)?是拋

物線(xiàn)氏爐=2處(p>0)的焦點(diǎn).

(1)求圓C和拋物線(xiàn)E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)A,3分別作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)

Q,試判斷直線(xiàn)?！迸c圓c的另一個(gè)交點(diǎn)。是否為定點(diǎn)，如果是，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由.

10.已知橢圓C:]+，=l(a>b>0)的離心率為e=1,橢圓上的點(diǎn)尸與兩個(gè)焦點(diǎn)片、工構(gòu)成的三角形

的最大面積為1.

⑴求橢圓。的方程；

(2)若點(diǎn)。為直線(xiàn)x+y-2=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作橢圓。的兩條切線(xiàn)QE(切點(diǎn)分別為D、E),試

證明動(dòng)直線(xiàn)DE恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

221

11.已知橢圓cr：0+當(dāng)=1(。>6>0)的離心率為：，依次連接四個(gè)頂點(diǎn)得到的圖形的面積為40.

ab2

⑴求橢圓C的方程；

(2)過(guò)直線(xiàn)x=4上一點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M,N,求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

(3)若點(diǎn)尸在(1)中的橢圓C上，且過(guò)點(diǎn)尸可作圓O的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為V、N,求弦長(zhǎng)MV的取值

范圍.

16.已知(DC(x+8)2+y2=i6(C為圓心)內(nèi)部一點(diǎn)A(6,0)與圓周上動(dòng)點(diǎn)。連線(xiàn)的中垂線(xiàn)交C0

于M,

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；

⑵若點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)X,設(shè)尸為圓/+產(chǎn)=5上任意一點(diǎn)，過(guò)尸作曲線(xiàn)X的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A3,

判斷姑.尸8是否為定值?若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.

17.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特.一模)已知拋物線(xiàn)C:X2=2Q5>0)上任意一點(diǎn)火滿(mǎn)足盟的最小值為1(尸

為焦點(diǎn)).

(1)求C的方程；

.、211

(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)尸點(diǎn)且與物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求證：西=阿+西；

(3)過(guò)尸作一條傾斜角為60°的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A1兩點(diǎn)，過(guò)A*分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn).兩條切線(xiàn)交于。點(diǎn)，過(guò)

。任意作一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于E、H,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)G,則|。@、|。目』?！眧滿(mǎn)足什么關(guān)系？并證明.

22

18.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓E:左+券=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月、F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),

在橢圓E上僅存在6個(gè)點(diǎn)M(i=l,2,3,4,5,6),使得△加①耳為直角三角形，且△M/；入面積的最大值為2.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)P是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸在，軸的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)尸作V=4x的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B.

5S

求AOF2A+^OF2B的取值范圍.

19.已知圓C的圓心在第一象限內(nèi)，圓C關(guān)于直線(xiàn)y=3x對(duì)稱(chēng)，與x軸相切，被直線(xiàn)N=x截得的弦長(zhǎng)為

2百.若點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y+l=O上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作圓C的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)分別為A,B點(diǎn)、.

(1)求四邊形A4cB面積的最小值：

(2)求直線(xiàn)A3過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

重難點(diǎn)突破12雙切線(xiàn)問(wèn)題的探究

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定值問(wèn)題...............................................................2

題型二：斜率問(wèn)題...............................................................3

題型三：交點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.......................................................4

題型四：交點(diǎn)弦定值問(wèn)題.........................................................5

題型五：交點(diǎn)弦最值問(wèn)題.........................................................7

題型六：交點(diǎn)弦范圍問(wèn)題.........................................................8

題型七：“筷子夾湯圓”問(wèn)題......................................................10

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

雙切線(xiàn)問(wèn)題，就是過(guò)一點(diǎn)做圓錐曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)的問(wèn)題，解決這一類(lèi)問(wèn)題我們通常用同構(gòu)法.

解題思路：

①根據(jù)曲線(xiàn)外一點(diǎn)尸（不，%）設(shè)出切線(xiàn)方程y-%=左（X-/）-

②和曲線(xiàn)方程聯(lián)立，求出判別式△=（）.

③整理出關(guān)于雙切線(xiàn)斜率勺、內(nèi)的同構(gòu)方程.

④寫(xiě)出關(guān)于左、心的韋達(dá)定理，并解題.

題型一：定值問(wèn)題

【典例1-1】已知直線(xiàn),=履+1（左/0）與拋物線(xiàn)G：V=4y交于M,N兩點(diǎn).T是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)

A在直線(xiàn)y=T上，且AT垂直于X軸.

（1）求證：AT的中點(diǎn)在G上；

（2）設(shè)點(diǎn)2在拋物線(xiàn)Cz：y=-x2-l±.,BP,BQ是G的兩條切線(xiàn)，P，。是切點(diǎn).若AB〃MN,且

位于y軸兩側(cè)，求證：研|TQ|.

【解析】⑴設(shè)“（外,%）?。?2，%），

[V—_|_]

聯(lián)立2—，消去，得/一4五一4=0，

[d=44y

貝。石+9=4k,x1x2=-4,

所以M+%=Mw+尤4）+2=4左2+2,%%==1

°：1）6）

所以7（2左,2^+1）,則4（2%,-1）,

所以AT的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2左,太），滿(mǎn)足d=4y,

故AT的中點(diǎn)在G上；

（2）由（1）得4（2左,一1）,設(shè)直線(xiàn)A3的方程為y+l=々（X—2左），即片乙一242一1,

[y=kx—2k2—1

聯(lián)立.2,，消去丁得尤2+履一2左2=0,解得x=-2后或;V=3

[y=-x--i

又AB位于y軸兩側(cè)，故可-2人,-4公-1）,

設(shè)點(diǎn)（X。,%）在拋物線(xiàn)G上，又對(duì)于G：尤2=4y有y=所以y'=；x

則a在點(diǎn)（%,%）處的切線(xiàn)方程為丫-%=，%（》-尤0）,

整理得尤oX-2y-2%=O,設(shè)尸（尤3,%），Q（尤4，%），

則G在尸（左3，%）與。54，為）處的切線(xiàn)方程分別為空-2匕2%=。與3-2丫-2%=0,又兩條切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)

B,

22

貝1|吃（_2左）一2（—4左2_]）_2%=0,%4（-^）-2（-4^-1）-2y4=0,

貝U直線(xiàn)PQ的方程為（一2公尤-2（—442-1）-2^=0,即日+y-4產(chǎn)一1=0,

又T（2匕2府+1）,則點(diǎn)T在直線(xiàn)PQ上.

由（1）知17Mli力V|=：|腦V「，而IMV|=Jl+/Ja+w）2-=4（E+1）,

ljli]|7M||77V|=4（^+l）2.

22

而|7P|[7。|=-7P?7。=一（￡-2k,y3-2fc-l）.（x4-2k,y4-2fc-l）

=-（巧-2人）（z-2左）-（%-2左2-1）（、4-2左"-1）

——（%—2%）（%—2k）—（2k~_履3）（2左2_履4）

=_（1+左2）七七+2人（1+嚴(yán)）（迅+七）一4左20+左2）

——（左2+1）[%3%4—2%（%3+%4）+4左之].

聯(lián)立上+廠(chǎng)“T=°,消去y得d+4區(qū)-16左2.4=0,

[x=4y

2

貝ljx3+x4=-4k,x3x4=-16k-4,

貝ij|研|&|=-（F+1）[—16左2-4-2k-（^k）+4k2]=4（k2+1）2.

所以17Mlim=|閉

22

【典例1-2】（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:=+2=l（a>b>0）的一條準(zhǔn)線(xiàn)/的方程為x=4,點(diǎn)A,8

ab

分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之差為2.

（1）求（7的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)/上任一點(diǎn)作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為。，尺，當(dāng)四邊形AQ5R的面積最大時(shí)，求NAQ8的正切值.

’2

——=4,[a=2,—

【解析】（1）由題意得，c解得?所以人二百，

lc=l,

2a—2c=2,i

22

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

（2）如圖，取/上任意一點(diǎn)M（4j），設(shè)。（石,乂）,尺（々，%），

當(dāng)。位于點(diǎn)A,8處時(shí)，切線(xiàn)與無(wú)軸垂直，不合題意，故不*±2.

設(shè)切線(xiàn)MQ的方程為y—必=%（工一為）①，

聯(lián)立‘43'

y-yx=k{x-x^,

整理得（3+4左2）尤z+84（%—何）尤+4（%一12=0,

由A=0,得（其-4）左--2x1y[上+y；-3=0.

因?yàn)?。（小乂）在C上，所以3元;+4犬=12,

11fl[-2±乂±2j3x；+4y；—12一不乂_3%

故2（^-4）一一一一石

代入①式，整理得F乎=1,同理得切線(xiàn)領(lǐng)的方程為學(xué)+予“

因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)〃（4,。，所以寧+1=1,與+磬=1，

所以直線(xiàn)QR的方程為x+：y=l.

22

%y1

—+—=1,

聯(lián)立43整理得葭+4尸2"-9=0,

x+§y=l,

所以乂+%=7筌,％%=一7為②?顯然X與上異號(hào)?

A°BR

由題意知A（-2,0）,3（2,0）,所以S四邊形=SABP+S八歐=］X4（M+昆|）=2回-?

設(shè)S=2|y「，則底=小-%『=4（y；+￡一2%%）=4［（%+%）2-4%%］，

36產(chǎn)108576(/+9)_576

將②式代入并整理，得力=4(人可+不^

(產(chǎn)+9+3『/+9+3+6

因?yàn)閞20,所以易知》=r+9+*在［0,+8）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，=0時(shí)，y有最小值，即曉有最大值,

為36.所以當(dāng)/=。時(shí)，四邊形AQ8R的面積最大，最大面積為6.

此時(shí)直線(xiàn)0R的方程為x=l,故直線(xiàn)QR與x軸垂直.

設(shè)A3與QR的交點(diǎn)為尸，顯然P是橢圓的右焦點(diǎn)，

3

所以|o司=忸司=1梗同=5，|A刊=3,

AFBF2

所以tanZA。/=灰=2,tan/BQF=談=］,

2+

tanZAQF+tanZBgF3

所以tanZAQB=tan(ZAQF+ZBQF)

1-tanZAQF?tanZBQF*

2

rv2J

【變式1-1］（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:\+與=1（。＞人＞0）的離心率為；，上、下頂點(diǎn)與其中一

ab2

個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形面積為拓，過(guò)點(diǎn)P（T-3）作橢圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,B.

⑴求橢圓C的方程；

（2）求A3所在直線(xiàn)的方程；

\PQ\PQ

（3）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)Q,求扁+病的值.

c1①

---

【解析】（1）由題意可知:a2

又3磔.°=6,所以6c=豆②，

222

由①②及a=b+cJ所以。=2,Z?=也,

22

所以橢圓。的方程為：—+^=1.

43

22

（2）先證：過(guò)橢圓?+（_=1上一點(diǎn)40】,乃）的切線(xiàn)方程為芋+券=1,

證明如下：當(dāng)過(guò)橢圓上一點(diǎn)4（%,%）的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，

設(shè)切線(xiàn)方程為>=區(qū)+根，

￡+匚1

則,43可得：（4V+3）x2+8femx+4m2—12=0,

y=kx+m

因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切，所以A=（8初I）?-4（必2+3）（4/-12）=0,

化簡(jiǎn)可得：4/—“+3=0,

-Skm±JK-4k

所以玉=2（4左2+3）代入,=丘+"可得：

%=K+〃i?巴+僧=生,

mm

,mx.%%3_3%

于是左r

44%4M

故切線(xiàn)方程為：y-yi=~~—（x-xi）,即4y,y—4y；=—3玉彳+3年,

又3才+4y；=12,故切線(xiàn)上4的方程為：寸+?=1,

當(dāng)過(guò)橢圓上一點(diǎn)401，%）的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為x=±2,滿(mǎn)足題意.

22

所以過(guò)橢圓土+匕=1上一點(diǎn)2（X1，%）的切線(xiàn)方程為個(gè)+差=1,

4343

故切線(xiàn)總的方程為：寸+號(hào)=1,

同理：切線(xiàn)PB的方程為：/+號(hào)=1,又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（T,-3）,

所以Z±2+C=l,f+3A=I,

4343

所以：xl+yl=-l,x2+y2=-1,故直線(xiàn)A3的方程為尤+y+l=0.

（3）由題意可知直線(xiàn)/的斜率存在，且左>0,設(shè)直線(xiàn)/的方程為：y=Mx+4）-3,

22

聯(lián)立橢圓C的方程土+工=1,

43

2

得(3+4左2)尤2+(3242-244)x+64k-96左+24=0,

令MWM,N?,%)，

由z32k2-24k64產(chǎn)一96%+24

所以無(wú)3+羽=-------5—，尤3?無(wú)4=---------------3---------

343+4廿343+4左2

,=(+4)-3=2-4k

令Q（%,%）,解方程組

x+y+l=O,°k+1

pp

\Q\!Q；_%+41%+4.(%+4)(尤3+z+8)

\PM\PN-X3+4X4+4~(X3+4)(X4+4)

_("Q(W8)￡(24"32二+32左2+24)

一%3,％4+4(七+X4)+16-64左2—96左+24+4(24左一32左2)+16(3+4左2)

IpdPQ

=

所以1------r-!--------2

\PPM\PN

題型二：斜率問(wèn)題

【典例2-1】如圖，點(diǎn)尸（九0，%）為拋物線(xiàn)f=2py外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)兩條切線(xiàn)分別切于AB

兩點(diǎn)，A3的中點(diǎn)為Q,直線(xiàn)尸。交拋物線(xiàn)于點(diǎn)

（1）證明：％（加為直線(xiàn)A3在軸上的截距），且直線(xiàn)A8方程為XTo=p（y+%）；

（2）設(shè)點(diǎn)M處的切線(xiàn)/,求證〃/.

【解析】（1）?.?點(diǎn)A&,%）、3（程％）在拋物線(xiàn)上,

???X；=2p*,x；=2p%,

丫22xX

由V=2py,得y=j,所以了=丁=一；

2P2Pp

所以在點(diǎn)A（&X）、3（%，%）的切線(xiàn)方程為，

町=?（、+%）◎

?2=。（>+必），②

②-①得：x（%2—西）=p（%-yj,即尤（馬一無(wú)J=P

將點(diǎn)>弋入切線(xiàn)方程得：%；*1I=。（%+乂）=為X2=2。%,

令A(yù)5方程為了=履+根，代入f=2py得：x2-2pkx-2pm=0,

由A=4〃2左2+8p根>0,得pk2+2m>0,

xrx2=-2pm-2py0,x[+x2=2pk,

根=f,

???直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（0,-%）,

故AB方程為>=工彳+（-%）=xx0=p（y+%）；

P

（2）由（1）矢口%+4=2。左，所以叫,=pk=左=血，

2p

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為|天,

2Pp

故AB〃/.

【典例2-2】已知P是拋物線(xiàn)C:y2=4尤的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PAP8,切點(diǎn)

分別為AI.

（1）若點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0,求此時(shí)拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)PAP8的斜率分別為人,與，求證：匕?自為定值.

【解析】（1）

由拋物線(xiàn)C的方程為9=4無(wú)，則其準(zhǔn)線(xiàn)方程為尸一1

由于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0,所以點(diǎn)P為過(guò)P作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)，由題意知斜率存在且不為0,設(shè)其

斜率為k則切線(xiàn)方程為y=以x+l）

f2=4r

聯(lián)立<vky2-4y+4k=0

[>=左（無(wú)+1）

由于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相切，可知A=16-16〃=0,即后=±1

止匕時(shí)拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)方程分另IJ為x-y+l=。和x+y+l=0.

點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上，設(shè)P（-l,m）

由題意知過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)，斜率存在且不為0,

設(shè)其斜率為k則切線(xiàn)方程為y=%（尤+1）+m

1丫？=4%

聯(lián)立｛n曠-4y+4（加+左）=0

[>=左（尤+1）+加

由于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相切,可知A=16-l6Mm+左）=0,gpk2+mk-l=0

而拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB的斜率k[&,即為方程k2+mk-l=O的兩根

故％?幻-1.

22

【變式2-1]（2024.高三.浙江.期中）已知雙曲線(xiàn)E：與-1=1（。>0,6>0）過(guò)點(diǎn)。（3,2）,且離心率

ab

22

為2,F2,K為雙曲線(xiàn)E的上、下焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)E在點(diǎn)。處的切線(xiàn)/與圓工：%+（y-c）=10

（c=^[7而）交于A,8兩點(diǎn).

⑴求,月48的面積；

（2）點(diǎn)尸為圓尸2上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P能作雙曲線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為M,,記直線(xiàn)〃片和的斜

率分別為《，h，求證：上色為定值.

【解析】（1）

L2=i

7后一|/二12

?.?<￡=2,.?.</=3,y2--=1

a3

c2=a2+b2〔c=2

設(shè)過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)的方程為：y=kx+t,

由，二3-11可得（3公-1卜2+6依+3/-3=0,

y=kx+t

則A=（6^）2-4（3丫-1）（3產(chǎn)-3）=0,即次2+產(chǎn)一1=0.

又因?yàn)榍悬c(diǎn)為0,所以2=3/+r,所以解得gr=

則過(guò)點(diǎn)。的切線(xiàn)/的方程為：2y-尤=1.

設(shè)4（%,%），

（［2y-x=\

?力交y軸于點(diǎn)H。,彳，聯(lián)立直線(xiàn)/與圓尸2的方程2/

\2）