專題05 直角三角形斜邊上的中線 帶解析

2022-2023學(xué)年蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題05直角三角形斜邊上的中線一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?武城縣期末）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，則斜邊上的中線和高分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，∴斜邊長(zhǎng)＝＝13，∴斜邊上的中線＝，斜邊上的高＝＝，故選：C．2．（2分）（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中點(diǎn)，BD＝8，則△AEC的面積為（）A． B．16 C．8 D．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中點(diǎn)，BD＝8，∴AE＝CE＝BD＝4，∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，∵∠ABC＝45°，∴∠AEC＝90°，∴S△ACE＝AE?CE＝×4÷4＝8．故選：C．3．（2分）（2022春?安鄉(xiāng)縣期末）如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中點(diǎn)，BC，DE垂直于橫梁AC，DC＝8cm，則DE的長(zhǎng)為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：∵∠A＝30°，DC＝8cm，D是斜梁AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2×8＝16，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝8，∵BC、DE垂直于橫梁AC，∴BC∥DE，∵點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，∴DE＝BC＝×8＝4cm．故選：B．4．（2分）（2022春?閩侯縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且BD＝，若Rt△ABC的面積為2，則它的周長(zhǎng)為（）A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2解：∵∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2BD＝2，∴AB2+BC2＝AC2＝8，∵Rt△ABC的面積為2，∴AB?BC＝2，∴AB?BC＝4，∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB?BC＝8+8＝16，∴AB+BC＝4或AB+BC＝﹣4（舍去），∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝4+2，故選：C．5．（2分）（2022春?鳳山縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AC＝8，BC＝6，則△ADC的周長(zhǎng)為（）A．14 B．24 C．12 D．18解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AB＝5，∴△ACD的周長(zhǎng)為：AD+CD+AC＝5+5+8＝18．故選：D．6．（2分）（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，E為BC邊的中點(diǎn)，AB＝4，AC＝2，DE＝，則∠ACD＝（）A．15° B．30° C．22.5° D．45°解：∵CD⊥AB，E為BC邊的中點(diǎn)，DE＝，∴BC＝2DE＝2，∵AB＝4，AC＝2，∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°．故選：B．7．（2分）（2020秋?丹東期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點(diǎn)，連接MC，MD，CD，若CD＝6，則△MCD的面積為（）A．12 B．12.5 C．15 D．24解：過(guò)M作ME⊥CD于E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB＝5，MD＝AB＝5，∴CM＝DM，∵M(jìn)E⊥CD，CD＝6，∴CE＝DE＝3，由勾股定理得：EM＝＝＝4，∴△MCD的面積為＝＝12，故選：A．8．（2分）（2020?汝陽(yáng)縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF．若AC＝2，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B． C．1 D．解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACD＝30°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵AC2+BC2＝AB2，AC＝2，∴（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（負(fù)數(shù)舍去），∴AB＝2BC＝4，∵AB＝4，D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝AD＝2＝BC，∵BF⊥CD，∴CF＝DF，∵DE∥BC，D為AB的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴EF＝AD＝＝1，故選：C．9．（2分）（2019春?嘉祥縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，AB＝10，DE＝4，則S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．6解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE?CD＝3＝7.5，故選：B．10．（2分）（2019?黃石）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（）A．125° B．145° C．175° D．190°解：∵CD⊥AB，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點(diǎn)E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中點(diǎn)，∠BDE＝52°，則∠DEB的度數(shù)為76°．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中點(diǎn)，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠DBE＝52°，∴∠DEB＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝76°，故答案為：76°．12．（2分）（2022春?渝中區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，連接AD，AE⊥BC于點(diǎn)E，則∠DAE為50度．解：∵∠BAC＝90°，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝BC，∴∠C＝∠DAC＝20°，∴∠ADE＝∠C+∠DAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝50°，故答案為：50．13．（2分）（2022春?廣安期末）如圖，在△ABC中，∠BAC為鈍角，AF，CE都是這個(gè)三角形的高，P為AC的中點(diǎn)．若∠B＝35°，則∠EPF的度數(shù)為110°．解：∵CE⊥BE，AF⊥BC，∴∠CEB＝∠AFC＝90°，∵∠B＝35°，∴∠ECB＝90°﹣∠B＝55°，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴PF＝PC＝AC，PE＝PC＝AC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∵∠APF是△CFP的一個(gè)外角，∴∠APF＝∠PFC+∠PCF，∴∠APF＝2∠PCF，∵∠APE是△CEP的一個(gè)外角，∴∠APE＝∠ACE+∠PEC，∴∠APE＝2∠ACE，∴∠EPF＝∠APE+∠APF＝2∠PCF+2∠ACE＝2∠ECB＝110°，故答案為：110°14．（2分）（2022春?紫陽(yáng)縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC為斜邊作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為2．解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴DF＝AF＝AC＝×4＝2，∴∠FDA＝∠CAD＝30°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF＝AB＝×4＝2，∴∠EFC＝∠CAB＝30°，∴∠EFD＝60°+30°＝90°，∴ED＝＝＝2．故答案為：2．15．（2分）（2021春?龍崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，∠EDF＝90°，M、N分別是EF、AC的中點(diǎn)，連接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，則AM﹣MN的最大值為．解：如圖，連接DM，DN，由圖可以得到M的軌跡是一條線段（AD的垂直平分線的一部分），M在AN上的時(shí)候最大（此時(shí)AM最大，MN最?。?dāng)M在AN上時(shí)，如圖，設(shè)AM＝x，則MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，∵D、N分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根據(jù)勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此時(shí)AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值為．故答案為：．16．（2分）（2021秋?諸暨市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC為鈍角，AF、CE都是這個(gè)三角形的高，P為AC的中點(diǎn)，若∠B＝40°，則∠EPF＝100°．解：∵CE⊥BA，∠B＝40°，∴∠BCE＝50°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P為AC的中點(diǎn)，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，故答案為：100°．17．（2分）（2021秋?溫州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB長(zhǎng)為一邊作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中點(diǎn)E，連DE、CE、CD．則∠EDC＝75°．解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴EC＝EA＝EB＝AB，∴∠ECA＝∠CAB＝30°，∴∠CEB＝60°，∵AD＝BD，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADB＝90°，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴DE＝AB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝75°，故答案為：75．18．（2分）（2020春?揭西縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜邊AB＝9，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且CF＝CD，過(guò)點(diǎn)B作BE∥DC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)為6．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜邊AB＝9，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位線，∴BE＝2DF＝6．故答案為6．19．（2分）（2019春?瑤海區(qū)期末）如圖，直角邊分別為3，4的兩個(gè)直角三角形如圖擺放，M，N為斜邊的中點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)為．解：連接CM、CN，由勾股定理得，AB＝DE＝＝5，∵△ABC、△CDE是直角三角形，M，N為斜邊的中點(diǎn)，∴CM＝，CN＝，∠MCB＝∠B，∠NCD＝∠D，∴∠MCN＝90°，∴MN＝，故答案為：．20．（2分）（2017春?武侯區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠MON＝90°，邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為2+2．解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD，∵△ABC是等邊三角形，∴CD＝＝2，∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝＝2，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)O、C、D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離最大，最大值為2+2．故答案為：2+2．三．解答題（共9小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?漢濱區(qū)期中）如圖，BN，CM分別是△ABC的兩條高，點(diǎn)D，E分別是BC，MN的中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的長(zhǎng)．（1）證明：如圖，連接DM，DN，∵BN、CM分別是△ABC的兩條高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，∵E為MN的中點(diǎn)，∴DE⊥MN；（2）解：∵BC＝26，∴DM＝BC＝13，∵點(diǎn)E是MN的中點(diǎn)，MN＝10，∴ME＝5，由勾股定理得：DE＝＝12．22．（6分）（2021春?撫順期末）如圖，BN、CM分別是△ABC的兩條高，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、MN的中點(diǎn)，求證：DE⊥MN．證明：如圖，連接DM，DN，∵BN、CM分別是△ABC的兩條高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，又∵E為MN的中點(diǎn)，∴DE⊥MN．23．（6分）（2019春?房山區(qū)期中）如圖，銳角△ABC中，AD，CE為兩條高，F(xiàn)，G分別為AC，DE的中點(diǎn)，猜想FG與DE的位置關(guān)系并加以證明．解：FG⊥DE，理由如下：連接FE、FD，∵AD，CE為兩條高，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∵F為AC的中點(diǎn)，∴EF＝AC，F(xiàn)D＝AC，∴FE＝FD，∵G為DE的中點(diǎn)，∴FG⊥DE．24．（6分）（2021春?新泰市期中）如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)．EF⊥BD，垂足為F．（1）求證：BE＝DE；（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的長(zhǎng)．解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴BE＝DE＝AC；（2）∵BE＝DE，EF⊥BD，∴BD＝2BF，∵BE＝AC，AC＝26，∴BE＝13，∵EF＝5，∴BF＝＝＝12，∴BD＝2BF＝24．25．（6分）（2020春?江岸區(qū)校級(jí)月考）在三角形△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，AD＝BC．（1）△ABC的形狀為直角三角形．（2）如圖，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；（3）在（2）的條件下，AN＝2．解：（1）結(jié)論：△ABC是直角三角形．理由：∵BD＝DC，AD＝BC，∴DA＝DB＝DC，∴∠BAC＝90°．故答案為直角三角形．（2）如圖，設(shè)CN＝x．∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴AB＝AC，∵BD＝DC，∴AD⊥BC，將△BAM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACH，連接NH．∵∠ACB＝∠ACH＝∠B＝45°，∴∠NCH＝90°，∵∠MAN＝45°，∠MAH＝90°，∴∠NAM＝∠NAH＝45°，∵NA＝NA，AM＝AH，∴△NAM≌△NAH（SAS），∴MN＝NH，∵BM＝CH＝3，BC＝12，∴CM＝12﹣3＝9，∴MN＝NH＝9﹣x，∵NH2＝CH2+CN2，∴（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4．∴CN＝4．（3）在Rt△ADN中，∵∠ADN＝90°，AD＝BD＝CD＝6，DN＝CD﹣CN＝6﹣4＝2，∴AN＝＝＝2．故答案為2．26．（6分）（2019春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）小明在學(xué)完北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）第一章后，看到這樣一道題目：“已知，如圖∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，求證：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解決方法，他作了輔助線．聰明的你知道他作的輔助線是什么嗎？怎么證明的？小明又突然想到，在邊AD上能找一點(diǎn)P，使得PB＝PD，請(qǐng)你寫出證明過(guò)程．解：①連接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM，又N為BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD；②∵BM＝DM，∴M在BD的垂直平分線上，∵PB＝PD，∴P在BD的垂直平分線上，∴PM垂直平分BD，∴MN⊥BD．27．（6分）（2022?宜城市模擬）如圖，四邊形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE∥BC．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）連接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的長(zhǎng)．（1）證明：∵AD⊥DB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴DE＝BE＝AB．∴∠1＝∠2．∵DE∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°．∴∠3＝∠2＝60°．∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°．∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，∴DB＝2．∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2．∴EC＝＝＝．28．（8分）（2022春?永豐縣期中）同學(xué)們知道：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．”（1）請(qǐng)寫出它的逆命題在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（2）應(yīng)用：若學(xué)校有一塊三角形的綠地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求綠地△A