高考數(shù)學(xué)第二輪綜合復(fù)習(xí)檢測(cè)題7不等式推理與證明算法與復(fù)數(shù)

高考數(shù)學(xué)第二輪綜合復(fù)習(xí)檢測(cè)題7高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)綜合檢測(cè)：專題七不等式、推理與證明、算法與復(fù)數(shù)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(文)若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)aA．1 B．2C．1或2 D．－1[答案]B[解析]∵(a2－3a＋2)＋(a－1)i∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0,a≠1))，∴a＝2.故選B.(理)(2011·福建理，1)i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則()A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.eq\f(2,i)∈S[答案]B[解析]i2＝－1∈S，故選B.2．(文)(2011·福建文，6)若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]“方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根”?m2－4>0，解得m>2或m<－2.(理)(2011·陜西文，3)設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b[答案]B[解析]取a＝1，b＝2，易排除A、C、D.3．下列命題中正確的是()A．若a，b，c∈R，且a>b，則ac2>bc2B．若a，b∈R，且a·b≠0，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2C．若a，b∈R，且a>|b|，則an>bn(n∈N*)D．若a>b，c>d，則eq\f(a,d)>eq\f(b,c)[答案]C[解析]當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；當(dāng)ab<0時(shí)，eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2，B不成立；若dc＝0，eq\f(a,d)>eq\f(b,c)不成立，D不成立，故選C.4．(2011·湖北理，8)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為()A．[－2,2] B．[－2,3]C．[－3,2] D．[－3,3][答案]D[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0，即(x＋z,3)·(2，y－z)＝0，∴z＝2x＋3y不等式|x|＋|y|≤1表示如圖所示平面區(qū)域．作直線l0：2x＋3y＝0，平移l0過點(diǎn)A(0,1)時(shí)z取最大值3.平移l0過點(diǎn)C(0，－1)時(shí)，z取最小值－3，∴z∈[－3,3]．5．(2011·西安模擬)觀察下列數(shù)表規(guī)律：012345678910111213141516則從數(shù)2011到2012的箭頭方向是()A．2011 B．2011C．2011 D．2011[答案]D[解析]由圖可以看出，每隔4個(gè)數(shù)，箭頭方向相同，可認(rèn)為T＝4，又2011＝502×4＋3，所以2011處的箭頭方向同數(shù)字3處的箭頭方向，故選D.6．(2011·重慶理，7)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5[答案]C[解析]∵a＋b＝2，∴eq\f(a,2)＋eq\f(b,2)＝1，∴y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)，∵a>0，b>0，∴eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)≥2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，且a＋b＝2，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)時(shí)取得等號(hào)，∴y的最小值是eq\f(9,2)，選C.7．(文)(2011·北京文，6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為()A．2 B．3C．4 D．5[答案]C[解析]P＝1，S＝1→P＝2，S＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)→P＝3，S＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(11,6)→P＝4，S＝eq\f(11,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(25,12)>2，所以輸出P＝4.(理)(2011·北京理，4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A．－3 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．2[答案]D[解析]由框圖知得：i：0→1→2→3→4，則s：2→eq\f(1,3)→－eq\f(1,2)→－3→2.選D.8．(2011·新課標(biāo)理，1)復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)是()A．－eq\f(3,5)i B.eq\f(3,5)iC．－i D．i[答案]C[解析]依題意：eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2i－1,1－2i·i)＝－eq\f(1,i)＝i，∴其共軛復(fù)數(shù)為－i，選C.9．(文)(2011·天津文，3)閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為－4，則輸出y的值為()A．0.5 B．1C．2 D．4[答案]C[解析]第1次循環(huán)：x＝－4，x＝|－4－3|＝7第2次循環(huán)：x＝7，x＝|7－3|＝4第3次循環(huán)：x＝4，x<|4－3|＝1，y＝21＝2.輸出y.(理)(2011·天津理，3)閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為()A．3 B．4C．5 D．6[答案]B[解析]第一次運(yùn)行結(jié)束：i＝1，a＝2第二次運(yùn)行結(jié)束：i＝2，a＝5第三次運(yùn)行結(jié)束：i＝3，a＝16第四次運(yùn)行結(jié)束：i＝4，a＝65，故輸出i＝4，選B.10．(2011·福建理，8)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－1,0] B．[0,1]C．[0,2] D．[－1,2][答案]C[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝(－1,1)·(x，y)＝y(tǒng)－x，畫出線性約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2,x≤1,y≤2))表示的平面區(qū)域如圖所示．可以看出當(dāng)z＝y(tǒng)－x過點(diǎn)D(1,1)時(shí)有最小值0，過點(diǎn)C(0,2)時(shí)有最大值2，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是[0,2]，故選C.11．(2011·四川理，9)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只運(yùn)送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人；運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)z＝()A．4650元 B．4700元C．4900元 D．5000元[答案]C[解析]設(shè)派用甲車數(shù)x輛，乙車數(shù)y輛，由題意：約束條件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12,2x＋y≤19,10x＋6y≥72,x≤8,y≤7))，目標(biāo)函數(shù)：z＝450x＋350y經(jīng)平移9x＋7y＝0得過A(7,5)利潤(rùn)最大z＝450×7＋350×5＝4900元，故選C.12．(文)(2011·陜西二檢)設(shè)O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))≥eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A.eq\f(1,2)≤λ≤1 B．1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1C.eq\f(1,2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2) D．1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2)[答案]B[解析]設(shè)P(x，y)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))得，(x－1，y)＝λ(－1,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－λ,y＝λ))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－λ,y＝λ)).若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))≥eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))，則(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)，∴x2＋y2－2y≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0，∴1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2).又點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴0≤λ≤1，∴1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1.故選B.(理)(2011·山西二模)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋px2＋qx＋r，且p2＋3q<0，若對(duì)x∈R都有f(m2－sinx)≥f(m＋eq\r(2)＋cosx)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．[0,1] B．[2，eq\r(5)]C．[1，eq\r(2)] D．[0，eq\r(2)][答案]A[解析]由題知，f′(x)＝－3x2＋2px＋q，其判別式Δ＝4p2＋12q＝4(p2＋3q)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在R上單調(diào)遞減．又f(m2－sinx)≥f(m＋eq\r(2)＋cosx)，∴m2－sinx≤m＋eq\r(2)＋cosx，即m2－m－eq\r(2)≤sinx＋cosx.記t＝sinx＋cosx，則問題等價(jià)于m2－m－eq\r(2)≤tmin.又t＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，x∈R，∴tmin＝－eq\r(2)，所以m2－m－eq\r(2)≤－eq\r(2)，解得0≤m≤1，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,1]．二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填寫在題中橫線上．)13．(2011·山東濰坊三模)在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝eq\f(1,2)(an＋eq\f(1,an))，則a3＝________，猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．[答案]eq\r(3)－eq\r(2)eq\r(n)－eq\r(n－1)[解析](1)由Sn＝eq\f(1,2)(an＋eq\f(1,an))可計(jì)算出a1＝1，a2＝eq\r(2)－1，a3＝eq\r(3)－eq\r(2).(2)由a1，a2，a3可歸納猜想出an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).14．(文)(2011·浙江理，12)某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的k的值是________．[答案]5[解析]第一次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)，k＝3，a＝44＝64，b＝34＝81，由于a<b，所以執(zhí)行第二次循環(huán)．第二次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)，k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，由于a＝b，所以執(zhí)行第三次循環(huán)．第三次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)，k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，由于a>b，退出循環(huán)結(jié)構(gòu)，輸出k＝5，應(yīng)填：5.(理)(2011·山東理，13)執(zhí)行下圖所示的程序框圖，輸入l＝2，m＝3，n＝5，則輸出的y的值是________．[答案]68[解析]依題意，l＝2，m＝3，n＝5，則l2＋m2＋n2≠0，∴y＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105∴y＝278－105＝173.又173>105，∴y＝173－105＝68<105.∴y＝68.15．(文)(2011·湖南理，10)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)的最小值為________．[答案]9[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝1＋4＋eq\f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2×2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x2y2)＝4x2y2時(shí)等號(hào)成立．(理)(2011·浙江文，16)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．[答案]eq\f(2\r(3),3)[解析]由x2＋y2＋xy＝1可得，(x＋y)2＝xy＋1而由均值不等式得xy≤(eq\f(x＋y,2))2∴(x＋y)2≤(eq\f(x＋y,2))2＋1整理得，eq\f(3,4)(x＋y)2≤1∴x＋y∈[－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3)]∴x＋y的最大值為eq\f(2\r(3),3).16．(文)(2011·蘇錫常鎮(zhèn)三調(diào))將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：123456789101112131415………………根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是________．[答案]eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋3(n≥3)[解析]該數(shù)陣的第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，…，第n行有n個(gè)數(shù)，則第n－1(n≥3)行的最后一個(gè)數(shù)為eq\f(n－11＋n－1,2)＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)，則第n行的第3個(gè)數(shù)為eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋3(n≥3)．(理)(2011·福建二檢)如圖，點(diǎn)P在已知三角形ABC的內(nèi)部，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)(μ，υ，ω)為點(diǎn)P關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)，其中μ＝eq\f(△PBC的面積,△ABC的面積)，υ＝eq\f(△APC的面積,△ABC的面積)，ω＝eq\f(△ABP的面積,△ABC的面積)；若點(diǎn)Q滿足eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，則點(diǎn)Q關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)為________．[答案](eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3))[解析]由點(diǎn)Q滿足eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))可知Q到BC、AC、AB三邊的距離分別是三邊相應(yīng)高的eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，所以S△QBC＝eq\f(1,2)s，S△AQC＝eq\f(1,6)s，S△AQB＝eq\f(1,3)s(s為△ABC的面積)．故點(diǎn)Q關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3))．三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析]解法一：令2x＝t，f(x)有零點(diǎn)，即方程t2＋at＋a＋1＝0，在(0，＋∞)內(nèi)有解．變形為a＝－eq\f(1＋t2,1＋t)＝－[(t＋1)＋eq\f(2,t＋1)]＋2≤2－2eq\r(2)，∴a的范圍是(－∞，2－2eq\r(2)]．解法二：t2＋at＋a＋1＝0在(0，＋∞)內(nèi)有解，①有兩解，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＋1≥0，,－a>0，,a＋1>0，))得－1<a≤2－2eq\r(2).②有一解，令g(t)＝t2＋at＋a＋1，，則g(0)<0∴a≤－1.∴a的范圍是(－∞，2－2eq\r(2)]．18．(本小題滿分12分)(2011·上海理，19)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2.[解析](z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i設(shè)z2＝a＋2i，a∈R，則z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i∵z1z2∈R，∴4－a＝0，即a＝4，∴z2＝4＋2i.19．(本小題滿分12分)(2011·安徽理，19)(1)設(shè)x≥1，y≥1，證明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.(2)1≤a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.[證明](1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.將上式中的右式減左式，得(y＋x＋(xy)2)－(xy(x＋y)＋1)＝((xy)2－1)－(xy(x＋y)－(x＋y))＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立．(2)設(shè)logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對(duì)數(shù)的換底公式得logca＝eq\f(1,xy)，logba＝eq\f(1,x)，logab＝eq\f(1,y)，logac＝xy.于是，所要證明的不等式即為x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)立知所要證明的不等式成立．20．(本小題滿分12分)寫出求滿足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整數(shù)n的算法并畫出相應(yīng)的程序框圖．[解析]算法如下：S1S＝1，i＝3.S2如果S≤50000，則執(zhí)行S3，否則執(zhí)行S5.S3S＝S×i.S4i＝i＋2，返回執(zhí)行S2.S5i＝i－2.S6輸出i.程序框圖如圖所示：21．(本小題滿分12分)觀察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……問：(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？(2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？(3)2012是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解析](1)∵第n＋1行的第1個(gè)數(shù)是2n，∴第n行的最后一個(gè)數(shù)是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝eq\f(2n－1＋2n－1·2n－1,2)＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989個(gè)數(shù)．(4)設(shè)第n行的所有數(shù)之和為an，第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn.則an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7，∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·eq\f(22n－3410－1,4－1)－eq\f(2n－2210－1,2－1)＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2，n＝5時(shí)，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n＝5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120.22．(本小題滿分14分)(文)(2011·四川文，20)已知{an}是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和．(1)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；(2)當(dāng)Sm，Sn，Si成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，am＋k，an＋k，ai＋k也成等差數(shù)列．[解析](1)若公比q＝1，則S1＝a，S3＝3a，S4＝4a，而2S3＝6a≠S1＋S∴不滿足S1，S3，S4成等差數(shù)列，∴q≠1若q≠1，由前n項(xiàng)和公式知，Sn＝eq\f(a1－qn,1－q)，∵S1，S3，S4成等差數(shù)列∴2S3＝S1＋S4，即eq\f(2a1－q3,1－q)＝a＋eq\f(a1－q4,1－q)即2a(1－q3)＝a(1－q)＋a(1－q4∵a≠0，∴2(1－q)(q2＋q＋1)＝(1－q)＋(1－q)(1＋q)(1＋q2)又∵1－q≠0∴2(1＋q＋q2)＝1＋(1＋q2)(1＋q)即q2＝q＋1?q2－q－1＝0，∴q＝eq\f(1±\r(5),2)(2)若公比q＝1，則am＋k＝a