2024春新教材高中數(shù)學(xué) 4.5.2 用二分法求方程的近似解說(shuō)課稿 新人教A版必修第一冊(cè)

2024春新教材高中數(shù)學(xué)4.5.2用二分法求方程的近似解說(shuō)課稿新人教A版必修第一冊(cè)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024春新教材高中數(shù)學(xué)4.5.2用二分法求方程的近似解說(shuō)課稿新人教A版必修第一冊(cè)設(shè)計(jì)思路本節(jié)課以“2024春新教材高中數(shù)學(xué)4.5.2用二分法求方程的近似解”為主題，緊密結(jié)合新人教A版必修第一冊(cè)教材，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入二分法求解方程的近似解，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的原理和步驟。設(shè)計(jì)思路包括：引導(dǎo)學(xué)生回顧一元二次方程的解法，引出二分法的概念；通過(guò)實(shí)例演示二分法的求解過(guò)程，讓學(xué)生掌握二分法的步驟；設(shè)計(jì)課堂練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)；最后進(jìn)行拓展延伸，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過(guò)引入實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象；通過(guò)二分法的步驟推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力；通過(guò)實(shí)際操作和練習(xí)，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力；同時(shí)，通過(guò)計(jì)算和估算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)。

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)、極限和導(dǎo)數(shù)等基本概念，掌握了方程求解的基本方法，如代入法、因式分解等。此外，學(xué)生對(duì)數(shù)列和不等式的性質(zhì)也有一定的了解，這些知識(shí)為本節(jié)課的二分法求解方程近似解奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格。

高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有較高的興趣，尤其是對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題感興趣。他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出較強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠通過(guò)分析問(wèn)題找到解決問(wèn)題的方法。部分學(xué)生可能偏重直觀學(xué)習(xí)，喜歡通過(guò)圖形或?qū)嵗齺?lái)理解抽象概念；而另一些學(xué)生則更傾向于邏輯推理，喜歡通過(guò)公式和推導(dǎo)來(lái)掌握知識(shí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)二分法時(shí)可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是理解二分法的原理，如何根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定根的存在性；二是掌握二分法的步驟，包括如何選取初始區(qū)間、如何進(jìn)行迭代計(jì)算等；三是將二分法應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)和計(jì)算方法。此外，部分學(xué)生在進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)精度問(wèn)題，需要引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握精度控制的方法。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都備有新人教A版必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)教材，以便隨時(shí)查閱相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與二分法相關(guān)的函數(shù)圖像、迭代過(guò)程圖表以及求解方程近似解的動(dòng)畫視頻，幫助學(xué)生直觀理解二分法的應(yīng)用。

3.教學(xué)工具：使用計(jì)算器或編程軟件進(jìn)行二分法迭代計(jì)算演示，以便學(xué)生掌握計(jì)算方法和步驟。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，以便學(xué)生在小組內(nèi)交流討論；在講臺(tái)上放置黑板或白板，用于展示解題過(guò)程和關(guān)鍵步驟。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

（老師）同學(xué)們，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)新的一課——《用二分法求方程的近似解》。在上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性和極值，今天我們將利用這些知識(shí)來(lái)解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，那就是如何求方程的近似解。

（學(xué)生）好的，老師。

二、新課講授

1.理解二分法的原理

（老師）首先，我們要明確二分法的原理。二分法是一種在實(shí)數(shù)域上求解方程近似解的方法。它基于這樣一個(gè)事實(shí)：如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在兩個(gè)不同的函數(shù)值，且這兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定存在至少一個(gè)根。

（學(xué)生）老師，那什么是連續(xù)函數(shù)呢？

（老師）連續(xù)函數(shù)就是指在定義域內(nèi)，任意兩點(diǎn)之間的函數(shù)值都是連續(xù)的，不會(huì)出現(xiàn)跳躍。比如，我們常見(jiàn)的多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等都是連續(xù)函數(shù)。

2.二分法的步驟

（老師）接下來(lái)，我們來(lái)具體了解一下二分法的步驟。首先，我們需要選擇一個(gè)合適的初始區(qū)間，使得函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)存在根。然后，我們通過(guò)迭代計(jì)算，逐步縮小根所在的區(qū)間，直到滿足精度要求。

（學(xué)生）老師，那如何選擇初始區(qū)間呢？

（老師）選擇初始區(qū)間時(shí)，我們需要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定。一般來(lái)說(shuō)，我們可以通過(guò)觀察函數(shù)圖像或者函數(shù)值的變化來(lái)確定一個(gè)包含根的區(qū)間。

3.二分法的計(jì)算過(guò)程

（老師）現(xiàn)在，我們以一個(gè)具體的例子來(lái)演示二分法的計(jì)算過(guò)程。假設(shè)我們要求解方程f(x)=0，其中f(x)=x^2-2x-3。

（學(xué)生）好的，老師。

（老師）首先，我們需要確定一個(gè)包含根的區(qū)間。觀察函數(shù)圖像或者計(jì)算f(0)和f(3)的值，我們發(fā)現(xiàn)f(0)=-3，f(3)=0，因此根在區(qū)間[0,3]內(nèi)。

（老師）接下來(lái)，我們進(jìn)行迭代計(jì)算。首先，我們計(jì)算區(qū)間的中點(diǎn)m=(0+3)/2=1.5，然后計(jì)算f(m)=1.5^2-2*1.5-3=-2.25。由于f(1.5)<0，根在區(qū)間[1.5,3]內(nèi)。

（老師）然后，我們?cè)俅斡?jì)算新的中點(diǎn)m=(1.5+3)/2=2.25，計(jì)算f(m)=2.25^2-2*2.25-3=0.5625。由于f(2.25)>0，根在區(qū)間[1.5,2.25]內(nèi)。

（老師）以此類推，我們可以繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿足精度要求。假設(shè)我們要求解的精度為0.01，那么我們可以得到方程的近似解為x≈1.8。

4.二分法的應(yīng)用

（老師）現(xiàn)在，我們已經(jīng)了解了二分法的原理和計(jì)算過(guò)程，那么在實(shí)際應(yīng)用中，我們應(yīng)該注意哪些問(wèn)題呢？

（學(xué)生）老師，我覺(jué)得在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要注意初始區(qū)間的選擇，以及迭代過(guò)程中精度控制的設(shè)置。

（老師）沒(méi)錯(cuò)，選擇合適的初始區(qū)間和設(shè)置合適的精度是保證二分法求解成功的關(guān)鍵。

三、課堂練習(xí)

1.完成教材上的例題

（老師）現(xiàn)在，請(qǐng)大家打開(kāi)教材，完成課本上的例題。通過(guò)練習(xí)，鞏固我們今天所學(xué)的知識(shí)。

2.小組討論

（老師）接下來(lái)，我們將進(jìn)行小組討論。請(qǐng)同學(xué)們分組，討論以下問(wèn)題：

（1）二分法適用于哪些類型的方程？

（2）如何選擇初始區(qū)間？

（3）如何設(shè)置精度控制？

四、課堂總結(jié)

（老師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了二分法求方程的近似解。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，希望大家能夠掌握二分法的原理、步驟和應(yīng)用。在今后的學(xué)習(xí)中，請(qǐng)同學(xué)們多加練習(xí)，不斷提高自己的數(shù)學(xué)能力。

（學(xué)生）謝謝老師，我們一定努力學(xué)習(xí)。知識(shí)點(diǎn)梳理1.二分法的基本概念

二分法是一種在實(shí)數(shù)域上求解方程近似解的方法，它通過(guò)不斷縮小包含根的區(qū)間，來(lái)逼近方程的根。

2.二分法的適用條件

（1）函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

（2）函數(shù)在區(qū)間[a,b]上存在兩個(gè)不同的函數(shù)值，且這兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)，即f(a)*f(b)<0。

3.二分法的步驟

（1）確定包含根的初始區(qū)間[a,b]。

（2）計(jì)算中點(diǎn)m=(a+b)/2。

（3）判斷f(m)的符號(hào)：

a.如果f(m)=0，則m即為方程的根。

b.如果f(m)*f(a)<0，則根在區(qū)間[a,m]內(nèi)，更新區(qū)間為[a,m]。

c.如果f(m)*f(b)<0，則根在區(qū)間[m,b]內(nèi)，更新區(qū)間為[m,b]。

（4）重復(fù)步驟（2）和（3），直到滿足精度要求。

4.二分法的精度控制

在迭代過(guò)程中，為了控制計(jì)算精度，我們可以設(shè)定一個(gè)閾值ε（0<ε<1），當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于ε時(shí)，停止迭代。

5.二分法的局限性

（1）二分法適用于連續(xù)函數(shù)，對(duì)于不連續(xù)的函數(shù)，二分法可能不適用。

（2）二分法的收斂速度較慢，對(duì)于某些函數(shù)，可能需要大量的迭代才能達(dá)到所需的精度。

6.二分法與其他求根方法比較

與牛頓法、割線法等求根方法相比，二分法具有以下特點(diǎn)：

（1）二分法不需要求導(dǎo)，適用于無(wú)法求導(dǎo)的函數(shù)。

（2）二分法的收斂速度較慢，但對(duì)于某些函數(shù)，可能比牛頓法更穩(wěn)定。

（3）二分法適用于初始區(qū)間容易確定的函數(shù)。

7.二分法的應(yīng)用

二分法在工程、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如求解方程、優(yōu)化問(wèn)題、數(shù)值積分等。

8.二分法的編程實(shí)現(xiàn)

二分法可以通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)，例如使用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)迭代計(jì)算，并根據(jù)精度要求進(jìn)行終止條件判斷。

9.二分法的數(shù)學(xué)證明

二分法基于中值定理，可以通過(guò)數(shù)學(xué)證明來(lái)證明其收斂性和收斂速度。

10.二分法的拓展

二分法可以與其他數(shù)值方法相結(jié)合，如加速二分法、分段二分法等，以提高求解效率。板書設(shè)計(jì)①二分法求方程近似解的基本原理

-連續(xù)函數(shù)

-異號(hào)零點(diǎn)存在性定理

-區(qū)間縮小

②二分法步驟

-確定初始區(qū)間[a,b]

-計(jì)算中點(diǎn)m

-判斷f(m)的符號(hào)

-更新區(qū)間

-迭代計(jì)算

③精度控制

-設(shè)定閾值ε

-區(qū)間長(zhǎng)度小于ε時(shí)停止迭代

④二分法計(jì)算示例

-函數(shù)f(x)=x^2-2x-3

-初始區(qū)間[a,b]=[0,3]