2025年高考數(shù)學模擬卷（新高考地區(qū)專用）【解析版】

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（新高考地區(qū)專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

一、單選題

1.已知復數(shù)z滿足（2+i）z=2—4i,則彳=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，以及共軌復數(shù)的概念即可解答.

2-4i（2-4i）（2-i）

【詳解】因為z==-2i,所以2=2i,

2+i一（2+i）（2-i）

故選B.

2.已知。力均為實數(shù)，則下列命題是真命題的是（）

A.若lga=lg6,貝1］。=6B.若/=巴貝ija=6

C.若貝！）右=4bD.若a=b,則一

ab

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，依次分析各選項即可得答案.

【詳解】對于A,由lga=lg6,得。=力，知A正確；

對于B,由得a=±b,知B錯誤；

對于C,當a=6<0時，則&與場均無意義，知C錯誤；

對于D,當“=》=（）時，則工與:均無意義，知D錯誤.

ab

故選：A.

3.已知〃，b,。是VABC的三邊，且。=2*=3,。=4,點。是VABC外接圓的圓心，則A0C5=（）

557

A.—B.—C.—D.—6

222

【答案】C

【分析】取BC的中點M,然后將AO用表示，進一步用ABA。表示，CB用ABAC表示，然后計

算即可.

【詳解】取3c的中點然后連接。

如圖

所以AO=AM+MO，由。是VABC外接圓的圓心，所以O(shè)ML3C

所以AO-C2=(AM+MO).C3=AATCB

又AM.CB=g(AB+AC).(AB—AC)C?—AC)=g

故選：C

4.隨著經(jīng)濟的發(fā)展和人民生活水平的提高，我國的旅游業(yè)也得到了極大的發(fā)展，據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站數(shù)據(jù)顯

示，近十年我國國內(nèi)游客人數(shù)（單位：百萬）折線圖如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）

700011111

6000

5000

4000--------^\\2879__2

29246

3000

42

2000------------------

2410761128118812^01324_[420___1535

1000->

0

2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年

?------?國內(nèi)游客（百萬人次）

?--------城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客（百萬人次）

?------?農(nóng)村居民國內(nèi)游客（百萬人次）

A.近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)

B.近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差

C.近十年，農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為1240

D.2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加

【答案】C

【分析】根據(jù)每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)，即可判斷選項A；根據(jù)近十年，

城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)波動大，即可判斷選項B；由中位數(shù)的計算方法，可

得近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)，即可判斷選項C；根據(jù)2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民

國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)增長多，即可判斷選項D.

【詳解】由圖可知，每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)，

所以近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)，故選項A正確；

由圖可知，近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)波動大，

所以由方差的意義可知，近十年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差，故選項B

正確；

將近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)從小到大進行排列，

可得近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為1128；1188=]]58,故選項c錯誤；

由圖可知，2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)增長多，

所以2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加，故選項D正確.

故選：C.

22

5.已知函數(shù)y=/(x)的圖象恰為橢圓C：=+2=l(a>6>0)x軸上方的部分，若f(sT),f(s),f(s+t)成

ab

等比數(shù)列，則平面上點(S,力的軌跡是()

A.線段(不包含端點)B.橢圓一部分

C.雙曲線一部分D.線段(不包含端點)和雙曲線一部分

【答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程進行求解判斷即可.

22

【詳解】因為函數(shù)y=/(x)的圖象恰為橢圓C：?+2=l(a>b>0)x軸上方的部分，

ab

所以丁=/(x)=/??A/l—^T-(—(2<x<d)

Va

因為/(s—%),/(s+r)成等比數(shù)列，

所以有+,且有一〃<5<。,_〃<5_/<。,_〃<5+/<”成立，

即一〃<5V",一成立，

由/⑸=于(sT)?f(S+。n(6?Jl^y)2=b-,

化簡得：六=242?+252t2n產(chǎn)02-202-2$2)=0=產(chǎn)=0,-2a2-2s2=0,

當產(chǎn)=0時，即r=O,因為-a<s<。，所以平面上點(s,力的軌跡是線段(不包含端點);

當產(chǎn)-2a2_2s'=0時,即f=2a2+2s2，

因為—所以而2/+2S2>/,所以產(chǎn)=24+2$2不成立,

故選：A

【分析】由奇偶函數(shù)的定義可排除A,當0<x<l時函數(shù)值為負數(shù)排除選項CD,再利用導數(shù)法驗證函數(shù)的

單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】因為y=(|x|+l)ln|x|的定義域為｛x|xw。｝，且(n+l)lnf=(N+l)lnW,

所以函數(shù)曠=(國+1)M國是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故排除A,

當0<x<l時，y=(x+l)lnx<0,排除選項CD,

1111r_1

又y'=lnx+l+—,i己/(x)=lnx+l+—，貝|—=-----=---,

XXXXX

令((%)>0得x>l,令/(%)<0得0<%<1,

所以/(無)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(尤)*/(1)=2>0,即y=lnx+l+4>0,

X

所以當兀>0時，y=(x+l)lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增.

故選：B

7.如圖，正方體AB。。-AgG2棱長為2,點尸是面4片。12內(nèi)一點，M,N分別是棱。CAD上的點則

三棱錐5-肱VP的體積最大值為()

8+26

cD.叵

--9-3

【答案】A

【分析】設(shè)OV=X,DM=y,由表示出SNMB，再求出S^B的最大值，由等體積法即可求出三棱錐

3-M部的體積最大值.

【詳解】因為平面ABCD〃平面AAGA，又由正方體的性質(zhì)知：8與，平面ABCD,

所以點P到平面ABCD的距離為BBI=2,

設(shè)DN=x,DM=y,貝l|A7V=2_x,CM=2-y,0<x<2,0<y<2,

所以SNBM=SABCD_SNDM_SCMB_SNAB

=2x2-1-x-y-1-（2-j）-2-1-（2-x）-2

=4-^xy-（2-y）-（2-x）=--xy+.x+y,

因為0Vx<2,0Vy42,所以l-gyz。，

令f=（l-;yjx+y,可看作是關(guān)于x的一元一次方程，

所以11一3d苫+/42（1-；力+、=2,當且僅當x=2時取等，

124

所以三棱錐區(qū)—MNP的體積為：VB.MNP=VP_MNB=TMNBBBX=-SMNB<-F

4

故三棱錐5-肱VP的體積最大值為w.

故選：A.

8.已知關(guān)于X的不等式（尤2+依+）”!1尤2。在（0,+8）上恒成立（其中。、Z?eR）,則（）

A.當。=-2時，存在6滿足題意B.當。=0時，不存在6滿足題意

C.當》=1時，存在。滿足題意D.當6=2時，不存在。滿足題意

【答案】D

【分析】本題首先可根據(jù)題意得出函數(shù)y=f+辦+6滿足有一零點為》=1、當0<x<l時yWO、當尤>1時

y>o,然后對四個選項依次進行討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】因為關(guān)于X的不等式（尤2+6+沖出60在（0,+8）上恒成立，

所以必需要滿足！[x>+l…納卜fO<+x…<l”

即對于函數(shù)>=/+依+匕，必有一零點為X=1且零點左右函數(shù)值符號不同，

即當0<x<l時，yw。；當尤>1時，y?。，

A項：a--2,y=x2-2x+b,令x=l,0=l2-2+b,b=l,

此時y=￡-2x+l,不滿足零點左右函數(shù)值符號不同，A錯誤；

B項：<2=0,y=x2+b,令尤=1,。=0+匕，b=-l,

此時y=/-1,存在6滿足題意，B錯誤；

C項：6=1,_y=x2+ax+l,令x=l,0=l2+a+l，a--2,

此時y=f-2x+l,不滿足零點左右函數(shù)值符號不同，C錯誤；

D項：b-2,y=x2+ax+2,令x=l,0=12+a+2>a=-3,

止匕時y=f—3x+2,不滿足當0<x<l時>40且當尤>1時，y>0,

即不存在。滿足題意，D正確，

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.函數(shù)〃尤）=占+11貝U（

|sinx||cosx|

A.的最小正周期為2兀B./（彳-兀）為偶函數(shù)

C.的最小值為2夜D.在區(qū)間單調(diào)遞增

【答案】BC

【分析】直接利用函數(shù)的周期性，奇偶性，單調(diào)性及最值的相關(guān)性質(zhì)對各選項進行判定.

1111

+1=〃x)

【詳解】對選項A,由|cosx||sinx|

sin(x+'cos(x+—)

可知m為了（%）的一個周期，故選項A錯誤;

x^kn

sinw0

eZ,y

對選項B,由得7兀其中左定義域為｛琲航且尤keZ,關(guān)于原點對稱,

cosw0XWK71+—

2

1111

小_兀）=-----------1-----------=------+------x

|sin(x-7i)||cos(x-7i)||siiix||cosx|=f(),

1111

又〃f)=__________|__________^3______|______

|sin(-A：)||cos(-x)|__|sinx||cosx|J

所以/（-尤）=〃司，所以為偶函數(shù)，從而/（X-兀）為偶函數(shù)，故選項B正確;

對選項C,令，=kinx],則|cosx|=J1-sin?%=J1一產(chǎn),且zw(0,l)

\1111

貝|]/(”=麗+即=7+聲，年(0,1),

令g⑺[+R,01),

令g'（/）＞0,可得此（4,1）,則g⑺在（乎,1）單調(diào)遞增,

令g"）＜0,可得fe（0,乎），則g⑺在（0,1）單調(diào)遞減,

故g⑺=；+7m的最小值為g［孝］=2V2,故選項c正確；

對選項D,由于=故/（X）在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，故選項D錯誤,

故選：BC.

PA1

10.已知4（一2,0）,3（6,0）,。（2,2）,點尸滿足方=g,設(shè)點尸的軌跡為曲線C,則（）

rDJ

A.過點8作曲線C的切線，切線長為6加

B.當A,B,P三點不共線時，則NAPO=N3PO

C.在C上存在點使得|加0|=2］他4|

D.|即+3］叨的最小值為6不

【答案】ABD

PA1

【分析】設(shè)動點坐標，根據(jù)再■=§可求得動點軌跡方程，A選項，構(gòu)造直角三角形，即可求得切線長；B

選項可知尸。是ZVIPB內(nèi)角NAP3的角平分線，即可得出結(jié)論；C選項，可以求得動點M的軌跡，判斷兩

曲線的位置關(guān)系來判斷是否存在；D選項，三點共線時和最小可以求解.

【詳解】設(shè)P點坐標為1,y）,由,=閂，則黑,=1，化簡得

PB3J（x-6Y+y23

22

X+y+6x=0,所以動點軌跡是以C（-3,0）為圓心，r=3為半徑的圓.

A選項，過點8作曲線C的切線，切線長為聞二？=6后，A選項正確.

B選項，當4,8,尸三點不共線時，由三角形內(nèi)角平分線定理可知，尸。是“PB內(nèi)角的角平分線，所

以NATO=NBPO.故B選項正確.

I~2+2-

C選項，因為=設(shè)M（x,y）,則'?=2,化簡得軌跡為（苫+當?+產(chǎn)=￡,所以動點初

4（尤+2）39

84

的軌跡為圓心G（-10），半徑為弓=］的圓，圓心距

|CC2|=|<|r-^|,所以兩圓位置關(guān)系為內(nèi)含，所以在C上不存在點V，使得眼。|=2"例，故C錯誤.

D選項,因為再■=§,所以附+3|尸。=3|斜+3|叫=3（照+|叫"3|明=3卜2-2）2+（0-2）2=65

故D正確.

故選：ABD

b

11.函數(shù)〃x）=訂7（a>0,6>0）的圖象類似于漢字，，冏，，字，被稱為“冏函數(shù)，，，并把其與y軸的交點關(guān)于原

點的對稱點稱為“冏點”，以“冏點”為圓心，凡是與“冏函數(shù)”有公共點的圓，皆稱之為“冏圓”，則當。=1,6=1

時，下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線x=l對稱

B.當1,1）時,/（無）的最大值為一1

C.函數(shù)的“冏點”與函數(shù)y=lnx圖象上的點的最短距離為夜

D.函數(shù)“X）的所有“冏圓”中，面積的最小值為3萬

【答案】BCD

【分析】A.根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，進行判斷即可.

B.判斷當OWx<l時，函數(shù)的單調(diào)性即可.

C.求函數(shù)y=lnx的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義進行求解.

D.利用兩點間的距離公式進行判斷求解.

【詳解】當。=1,6=1時，函數(shù)

\x\-l

A.加0的定義域為｛X|XN±1,xeR],且為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于x=0對稱，故A錯誤；

B.其圖象如圖所示，當O,,x<l,/（x）=工為減函數(shù)，則當尤=0時，/（彳）最大為=故B正確;

C.當%=0時，y=-l,即函數(shù)圖象與y軸的交點為8（0,-1）,其關(guān)于原點的對稱點為C（（M）,

171

所以“冏點”為C（O,1）,設(shè)y=inx,則y=一,設(shè)切點為（％,1叫），.?.切線的斜率%=一,

xxo

當“冏點”與切點的連線垂直切線時，距離最短，，"?二1?J=T,解得毛=1,

???切點坐標為（1,0）,

故函數(shù)于（玲的“冏點”與函數(shù)y=In無圖象上的點的最短距離是7（1-0）2+（0-1）2=72,故C正確，

D.“冏圓”的圓心為C（O,1）.要求“冏圓”的面積最小，則只需考慮V軸及V軸右側(cè)的函數(shù)圖象.當圓c過點B

時，其半徑為2,這是和無軸下方的函數(shù)圖象有公共點的所有“冏圓”中半徑的最小值；

當圓C和X軸上方且y軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點A時，設(shè)A（八」7）（其中機>1）,

m-1

則點A到圓心C的距離的平方為/=涼+（-L--1）2,

m-1

令一!一=g（f>0）,貝1|『=（1+，）2+?_1）2=/+二+2_2，+2=（，_52_2（"1）+4,

m-1ttttt

再令/—：=（其中//wH）,貝I[42=〃2_2〃+4=（〃_I）2+3.3,

所以當圓c和x軸上方且y軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點時，最小半徑為6.又2>道，

綜上可知，在所有的“冏圓”中，半徑的最小值為

故所有的“冏圓”中，圓的面積的最小值為3萬，故D正確，

故選：BCD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)等差數(shù)列｛??｝的前n項和為，若%=3,邑=T，則與=.

【答案】10

【分析】將與和凡用首項和公差表示，解方程組，求出首項和公式，利用公式求解

%+4d=3=1

【詳解】設(shè)該數(shù)列的公差為“，由題可知：3（q+d）/解得‘1,故—=5%+10d=10.

d=—

2

故答案為：10.

（兀34\

13.已知tana,tan〃是方程/+3立工+4=0的兩根，且。，/［于號），則a+#的值為.

47r

【答案】y

【分析】根據(jù)韋達定理求出tana+tan"tanatan分的值，進而結(jié)合兩角和的正切公式求出tan（a+0的值,

縮小角的范圍即可求出結(jié)果.

【詳解】*.*tan%tan/?是方程/+36^+4=0的兩根，tana+tanJ3=-3A/3,tanatanp=4,

??.tan"）=4±^￡=2=3

1-tancrtanf31-4

又tan+tan<0,tancrtan>0,/.tancr<0,tan<0,

713?/|汽

a,0c,a.pGl,ja+,￡（?,2萬）,：.a+/3=—.

萬H

故答案為：

14.我們想把9張寫著1~9的卡片放入三個不同盒子中，滿足每個盒子中都有3張卡片，且存在兩個盒子

中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有種.

【答案】204

【分析】首先列出至少有兩個卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.

【詳解】由題意可知，設(shè)存在的這兩個盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為x.

當X=H時，共有1種情況，即{(1,3,7),(2,4,5)}；

當x=12時,共有3種情況，即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7)}；

當％=13時，共有5種情況，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9)32,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},{(1,5,7),(2,3,8)},

{(1,5,7),(3,4,6)}；

當x=14時,共有7種情況，即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},{(1,5,8),(3,4,7)},

{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6)}；

當x=15時，共有2種情況，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}；

當x=16時，共有7種情況，即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9)64,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},{(1,7,8)63,4,9)},

{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}；

當x=17時,共有5種情況,即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9)74,6,7)},{(3,6,7),(4,5,8)},

{(1,7,9),(3,6,8))；

當x=18時，共有3種情況，即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)},{(1,8,9),(5,6,7)}；

當x=19時，共有1種情況，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

綜上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+3+1=34(種)］青況，

不同的放法共有：34M=204種.

故答案為：204.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.某廠為提高工作效率，將全廠分為甲、乙2個車間，每個車間分別設(shè)有A,B,C,D,E5組.下表為

該廠某日生產(chǎn)訂單情況統(tǒng)計表，請據(jù)表解答下列問題：

ABCDE

甲車間100120150180200

乙車間50120200150180

(1)求甲、乙2個車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)與方差，并根據(jù)方差判斷哪一個車間工作效率比較穩(wěn)定？

(2)設(shè)甲車間合格率為0.54,乙車間合格率為0.57,求甲、乙2個車間都不合格的概率；

(3)你認為哪個車間工作效率更高？請從平均數(shù)、方差、合格率的角度分析.

【答案】(1)甲車間的平均數(shù)150,乙車間的平均數(shù)140,甲車間的方差1360,乙車間的方差2760,甲車間

工作效率比較穩(wěn)定(2)0.1978(3)答案見解析

【分析】(1)計算甲車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)，乙車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)，甲車間該日生產(chǎn)訂單的

方差，乙車間該日生產(chǎn)訂單的方差；

(2)計算甲、乙2個車間都不合格的概率;

(3)比較2個車間的平均數(shù)、方差和合格率.

100+120+150+180+200―

【詳解】(1)甲車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)為----------------------=150,

5

50+120+200+150+180

乙車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)為=140,

5

甲車間該日生產(chǎn)訂單的方差為(100-150)2+(120-150)2+(150-150)2+(180-150)2+(200-150)2=1360,

乙車間該日生產(chǎn)訂單的方差為(50-140)2+(120-140)2+(200-140)2+(150-140)2+(180-140)2=2760,

因為甲車間該日生產(chǎn)訂單的方差小于乙車間該日生產(chǎn)訂單的方差，所以甲車間工作效率比較穩(wěn)定；

(2)甲、乙2個車間都不合格的概率為0.54x0.57=0.1978；

(3)平均數(shù)上甲車間的該日生產(chǎn)訂單更大，方差更小，乙車間合格率更大，但是差別并不大，所以甲車間

工作效率更高.

16.已知函數(shù)“無)=J?si/x+sinxcosA：.

(1)當無e0，§時，求了(無)的值域；

(2)已知AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,=。=4,b+c=5,求AASC的面積.

【答案】⑴〃x)e[0,6](2)5AABC=￥

jr

【詳解】試題分析：(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合xe0,-,即可求得了(元)的值域；(2)

由/=與求得A的值，利用余弦定理求得兒的值，可得AASC的面積.

試題解析：(1)由題意知，i/(x)=V3sin2x+sinxcosx=sin|2x-^71|+

3~2

0,y,2x-?e,/.sin^2x-^e—R，與,：.〃x）e[o，K].

/.sinfA-y=0,?.*AG（0,?），/.A=y

*.*a=4,b+c=5,由余弦定理可得16=〃+c2-Z?c=(Z?+c)2-3bc=25-3bc,:.bc=3,

?0，?一3g

,,SMBC=—bcsinA=—?

17.已知橢圓E：5+%=l(a>6>0)的離心率為巧,4B是它的左、右頂點，過點。(1,。)的動直線/(不

與x軸重合)與E相交于N兩點，△M4B的最大面積為20.

⑴求橢圓E的方程；

(2)試探究：原點0是否一定在以線段跖V為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論.

22

【答案】⑴工+匕=1

42

(2)原點。一定在以為直徑的圓內(nèi)，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)最大面積可得劭=20，再結(jié)合離心率及片=廿+°2求解作答；

(2)設(shè)出直線/的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合平面向量數(shù)量積推導NMON為鈍角作答.

【詳解】(1)依題意，e=￡=且，設(shè)橢圓E上點M的縱坐標為%,0<|%區(qū)。，

a2

的面積5,.=；1碼1%1=；2。|%區(qū)血當且僅當I%1=》時取等號，

因此〃Z?=2\/J，而a2=/?2+c2,且Q=解得〃=2,b=c=^2>

22

所以橢圓E的方程為土+匕=1.

42

(2)原點。一定在以MN為直徑的圓內(nèi)，證明如下：

設(shè)直線/的方程為％=。+1,M（%i，yi），N（%2，y2），

聯(lián)立42"，得（/+2卜2+29—3=。，則%+%=」，%為二開一，

<t+2t+2

x=ty+l

―4/+2

則%無2=+1）（仇+1）=%+*%+%）+1=產(chǎn)+2'

,、/、—4產(chǎn)4-?—3—4產(chǎn)—1

又OM=（石,ON=（JT2，%）,則OM-ON=xrx2+y1y2=------+—-----=--------<0,

tI2tI2tI2

所以NMON為鈍角，所以原點。一定在以MN為直徑的圓內(nèi).

y/

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面A8CQ,底面A8CO是直角梯形，其中A￡)〃8C,ABLAD,

AB^D^BC=2,*4,￡為棱8C上的點，且『如仁

(1)求證：E>E_L平面B4C；

(2)求點E到平面PCD的距離；

(3)設(shè)。為棱CP上的點(不與C,尸重合)，且直線?！昱c平面融C所成角的正弦值為好，求穿的值.

5c產(chǎn)

CO2

【答案】(1)證明見解析(2)2(3)等=]

【分析】(1)如圖建立空間直角坐標系.利用向量法可得小人AC,DEYAP,即可證明結(jié)論；

(2)由(1)可得斯=(-2,-1,4)與平面尸8的法向量，即可得答案；

(3)設(shè)若=2(0<2<1),后由直線QE與平面B4c所成角的正弦值為書結(jié)合空間向量知識可得關(guān)于2的

方程，即可得答案.

【詳解】(1)因為PAL平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD

所以可_LAB,R4_L4).因為AB_LAD則以A為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系.

由已知可得4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),尸(0,0,4),磯2,1,0).

所以DE=(2,-l,0),AC=(2,4,0),AP=(0,0,4).

因為。？4。=2><2-1><4+0=0，所以O(shè)E1AC.OE.AP=0，所以r?_LAF.

又APcAC=A,APu平面PAC,ACu平面PAC.所以￡>E_L平面PAC；

(2)由(1)可知，EP=(-2,-l,4)

設(shè)平面PCD的法向量〃=(x,yz)因為PD=(O,2,T),PC=(2,4,-4).

n-PD=0(2y-4z=0

所以即不妨設(shè)z=l,得〃=(-2,2,1)

n-PC=O[2x+4y-4z=0

點E到平面PCD的距離d=變刈=,6=2.

\n\V4+4+1

所以點E到平面PCD的距離為2..

(3