2024-2025學年高考數(shù)學考點第八章立體幾何與空間向量8.1空間幾何體及其表面積體積理

考點8.1空間幾何體及其表面積、體積考點梳理考點梳理1．多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形含義①有兩個面相互平行且全等，其余各面都是平行四邊形．②每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分側棱平行且相等相交于一點但不肯定相等延長線交于一點側面形態(tài)平行四邊形三角形梯形2.旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側面綻開圖矩形扇形扇環(huán)3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.4.多面體的表面積、側面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是全部側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．5．圓柱、圓錐、圓臺的側面綻開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面綻開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l6.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3概念方法微思索1．如何求旋轉體的表面積？2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要留意分割與補形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則的幾何體求解．真題真題演練1．（2024?天津）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，正方體的對角線就是球的直徑，所以，所以，．故選．2．（2024?新課標Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【答案】C【解析】設正四棱錐的高為，底面邊長為，側面三角形底邊上的高為，則依題意有：，因此有（負值舍去）；故選．3．（2024?新課標Ⅰ）已知，，為球的球面上的三個點，為的外接圓．若的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知圖形如圖：的面積為，可得，則，，，外接球的半徑為：，球的表面積：．故選．4．（2024?新課標Ⅰ）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點，，則球的體積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由，是邊長為2的正三角形，可知三棱錐為正三棱錐，則頂點在底面的射影為底面三角形的中心，連接并延長，交于，則，又，，可得平面，則，，分別是，的中點，，又，即，，得平面，正三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為．半徑為，則球的體積為．故選．5．（2024?新課標Ⅰ）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】設圓柱的底面直徑為，則高為，圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，可得：，解得，則該圓柱的表面積為：．故選．6．（2024?新課標Ⅲ）設，，，是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．【答案】B【解析】為等邊三角形且面積為，可得，解得，球心為，三角形的外心為，明顯在的延長線與球的交點如圖：，，則三棱錐高的最大值為：6，則三棱錐體積的最大值為：．故選．7．（2024?全國）正三棱柱各棱長均為1，為的中點，則四面體的體積是A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，為正三棱柱，底面為正三角形，側面為正方形，．故選．8．（2024?新課標Ⅲ）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，該圓柱底面圓周半徑，該圓柱的體積：．故選．9．（2024?海南）已知正方體的棱長為2，、分別為、的中點，則三棱錐的體積為__________．【答案】【解析】如圖，正方體的棱長為2，、分別為、的中點，，．故答案為：．10．（2024?浙江）已知圓錐的側面積（單位：為，且它的側面綻開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：是__________．【答案】【解析】圓錐側面綻開圖是半圓，面積為，設圓錐的母線長為，則，，側面綻開扇形的弧長為，設圓錐的底面半徑，則，解得．故答案為：．11．（2024?江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是__________．【答案】【解析】六棱柱的體積為：，圓柱的體積為：，所以此六角螺帽毛坯的體積是：，故答案為：．12．（2024?新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為__________．【答案】【解析】因為圓錐內半徑最大的球應當為該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設該內切球與母線切于點，令，由，則，即，解得，，故答案為：．13．（2024?全國）已知平面截球的球面所得圓的面積為，到的距離為3，則球的表面積為__________．【答案】【解析】平面截球的球面所得圓的面積為，則圓的半徑為1，該平面與球心的距離，球半徑．球的表面積．故答案為：．14．（2024?江蘇）如圖，長方體的體積是120，為的中點，則三棱錐的體積是__________．【答案】10【解析】長方體的體積是120，為的中點，，三棱錐的體積：．故答案為：10．15．（2024?新課標Ⅲ）學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為__________．【答案】118.8【解析】該模型為長方體，挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，，分別為所在棱的中點，，，該模型體積為：，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為：．故答案為：118.8．16．（2024?全國）已知三棱錐的體積為1，、、分別為、、的中點，則三棱錐的體積為__________．【答案】【解析】如圖，、、分別為、、的中點，△，則，過作平面，交平面于，則．．故答案為：．17．（2024?天津）如圖，已知正方體的棱長為1，則四棱錐的體積為__________．【答案】【解析】由題意可知四棱錐的底面是矩形，邊長：1和，四棱錐的高：．則四棱錐的體積為：．故答案為：．18．（2024?天津）已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點，，，，（如圖），則四棱錐的體積為__________．【答案】【解析】正方體的棱長為1，的底面是正方形的邊長為：，四棱錐是正四棱錐，棱錐的高為，四棱錐的體積：．故答案為：．19．（2024?江蘇）如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體的體積為__________．【答案】【解析】正方體的棱長為2，中間四邊形的邊長為：，八面體看做兩個正四棱錐，棱錐的高為1，多面體的中心為頂點的多面體的體積為：．故答案為：．20．（2024?上海）如圖，在長方體中，，，，是的中點，則三棱錐的體積為__________．【答案】5【解析】．故答案為：5．21．（2024?天津）已知一個正方體的全部頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為__________．【答案】【解析】設正方體的棱長為，這個正方體的表面積為18，，則，即，一個正方體的全部頂點在一個球面上，正方體的體對角線等于球的直徑，即，即，則球的體積；故答案為：．22．（2024?新課標Ⅰ）已知三棱錐的全部頂點都在球的球面上，是球的直徑．若平面平面，，，三棱錐的體積為9，則球的表面積為__________．【答案】【解析】三棱錐的全部頂點都在球的球面上，是球的直徑，若平面平面，，，三棱錐的體積為9，可知三角形與三角形都是等腰直角三角形，設球的半徑為，可得，解得．球的表面積為：．故答案為：．23．（2024?新課標Ⅰ）如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為．、、為圓上的點，，，分別是以，，為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱錐．當?shù)倪呴L改變時，所得三棱錐體積（單位：的最大值為__________．【答案】【解析】解法一：由題意，連接，交于點，由題意得，，即的長度與的長度成正比，設，則，，三棱錐的高，，則，令，，，令，即，解得，則（2），，體積最大值為．故答案為：．解法二：如圖，設正三角形的邊長為，則，，，三棱錐的體積，令，則，令，則，解得，．故答案為：．24．（2024?上海）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．【解析】（1）平面，．，，，，所以四棱錐的體積為12．（2）是正方形，平面，，又平面異面直線與所成角為，在中，，故在中，25．（2024?新課標Ⅱ）如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，．（1）證明：平面；（2）若，，求四棱錐的體積．【解析】（1）證明：由長方體，可知平面，平面，，，，平面；（2）由（1）知，由題設可知△，，，，在長方體中，平面，，平面，到平面的距離，四棱錐的體積．26．（2024?新課標Ⅱ）如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，．（1）證明：直線平面；（2）若面積為，求四棱錐的體積．【解析】（1）四棱錐中，．，平面，平面，直線平面；（2）解：四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，．設，則，，是的中點，連接，，的中點為：，連接，則，，，面積為，可得：，即：，解得，．則．強化訓練強化訓練1．（2024?沈河區(qū)校級模擬）在三棱錐中，，，，，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設的中點為，的中點為，連接、、，，，，，則，則為三棱錐三棱錐外接球的球心，設半徑為，又，且，，．則又由，，且，可得平面，，解得．三棱錐外接球的體積為．故選．2．（2024?涼山州模擬）已知長方體的體積，，若四面體的外接球的表面積為，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，由于，所以．依據(jù)長方體的對稱性可知四面體的外接球的即為長方體的外接球，所以，所以（當且僅當，等號成立）．故選．3．（2024?迎澤區(qū)校級二模）已知三棱錐中，，，是的中點，點在平面上的射影恰好為的中點，則該三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，為等腰直角三角形，是外接圓的圓心，點在平面上的射影恰好為的中點，則；；設球心到平面是距離為，則，，，該三棱錐外接球的表面積為故選．4．（2024?南充模擬）在直角梯形中，，與均為等腰直角三角形，且，若將直角梯形沿折疊成三棱錐，則當三棱錐的體積取得最大時其外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】直角梯形中，，與均為等腰直角三角形，且，所以，，，將直角梯形沿折疊成三棱錐，如圖所示：即當平面平面時，三棱錐的體積取得最大值，過作平面交于，由于平面平面，所以，即為的中點，所以為的中心，即為三棱錐的外接球的球心．所以半徑，則．故選．5．（2024?鏡湖區(qū)校級模擬）已知三棱錐中，平面，若，，則其外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：三棱錐中，平面，若，，所以在中，利用余弦定理：解得：，設的外接圓的半徑為，則，解得，設外接球的半徑為，滿意．所以．故選．6．（2024?南崗區(qū)校級模擬）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，若平面，，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：由于平面，，，則的外接圓的半徑滿意，解得，三棱錐的四個頂點都在球的球面，設外接球的半徑為，所以，所以球的表面積為．故選．7．（2024?全國四模）如圖，在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，，，平面，，，，可知，三棱錐，是長方體的一個角，外接球的直徑是長方體的體對角線，所以三棱錐外接球的半徑為．所以外接球的體積．，故選．8．（2024?碑林區(qū)校級模擬）已知正四棱錐中，，且全部的棱長相等，則該四棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設正四棱錐底面的中心為，設外接球的球心為，則在正四棱錐的高上．在直角三角形中，，，則高，則，，在直角三角形中，，解得，即與重合，即正四棱錐外接球的球心是它的底面的中心，且球半徑，球的表面積，故選．9．（2024?黃州區(qū)校級三模）在三棱錐中，和都是邊長為2的正三角形，當三棱錐的表面積最大時，其內切球的半徑是A． B． C． D．【答案】A【解析】在三棱錐中，和都是邊長為2的正三角形，三棱錐的表面積為，故當時，表面積最大，為，過作的垂線，垂足為，連接，三棱錐的體積為，設內切球的半徑為，因為，所以．故選．10．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知三棱錐中，和是全等的等邊三角形，邊長為2，當三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，當平面平面時，三棱錐體積最大，取中點，連接、，則，，因為平面平面，所以可證得平面，平面，取三角形的外心，作，則、、、四點共面，取三角形的外心，過點作的平行線交于點，因為垂直平面，則垂直平面，于是點到、、、四點的距離相等，所以點為三棱錐外接球的球心．連接，可求得，，所以，所以外接球表面積為．故選．11．（2024?青島模擬）在三棱柱中，，側棱底面，若該三棱柱的全部頂點都在同一個球的表面上，且球的表面積的最小值為，則該三棱柱的側面積為A． B． C． D．3【答案】B【解析】設三棱柱兩底面中心分別為，則的中點為球的球心，設正三棱柱的底面邊長，棱柱的高為，則，，球的半徑，，球的表面積的最小值為，，棱柱的側面積為．故選．12．（2024?運城模擬）已知長方體的頂點，，，在球的表面上，頂點，，，，在過球心的一個平面上，若，，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】把兩個這樣的長方體疊放在一起，構成一個長寬高分別為1，3，8的長方體，則球就是該長方體的外接球，所以球的半徑滿意，所以球的表面積，故選．13．（2024?香坊區(qū)校級一模）《九章算術》是我國古代聞名數(shù)學經(jīng)典，其中對勾股定理的論述，比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大??；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺，問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為0.5丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內的部分）．已知弦尺，弓形高寸，估算該木材鑲嵌墻內部分的體積約為（注：一丈尺寸，，A．300立方寸 B．305.6立方寸 C．310立方寸 D．316.6立方寸【答案】D【解析】如圖，（寸，則（寸，（寸，設圓的半徑為（寸，則（寸，在中，由勾股定理可得：，解得：（寸．，即，則．則弓形的面積（平方寸）．則該木材鑲嵌在墻中的體積約為（立方寸）．故選．14．（2024?內江三模）如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成，半圓柱體底面直徑，，，為半圓弧的中點，若異面直線和所成角的正切值為，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】連，由題設知、關于對稱，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，0，，，，，，0，，，，，，0，，，0，，異面直線和所成角的正切值為，異面直線和所成角的余弦值為，，，得，該幾何體的體積．故選．15．（2024?內江三模）如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成，半圓柱體底面直徑，，，為半圓弧的中點，若異面直線和所成角的余弦值為，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】連，由題設知、關于對稱，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，異面直線和所成角的的余弦值為，，，解得，該幾何體的體積．故選．16．（2024?市中區(qū)校級模擬）已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的半徑為A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】正四棱錐的外接球的球心在它的高上，記為，，，，在△中，得，球的半徑為2．故選．17．（2024?雨花區(qū)校級模擬）如圖，四邊形的面積為，且，把繞旋轉，使點運動到，此時向量與向量的夾角為．則四面體外接球表面積的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，設，，，向量與向量的夾角為．則，四面體外接球為，當且僅當時，取等號，故四面體外接球表面積的最小值．故選．18．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）中國古代第一部數(shù)學名著《九章算術》中，將一般多面體分為陽馬，鱉臑，塹堵三種基本立體圖形，其中四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，底面，，，，則此鱉臑的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】三棱錐為鱉臑，底面，，，，，，此鱉臑的體積為：．故選．19．（2024?雨花區(qū)校級模擬）由棱長都為1的4個正四面體和1個正八面體，組合成一個正四面體，再將此正四面體削切、打磨成最大的球，則該球體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】把4個正四面體、1個正八面體組合嵌入到棱長為的正方體中，組成棱長為2的正四面體，轉化為求其內切球體積．高為，，，故選．20．（2024?吉林模擬）阿基米德立體是一種高度對稱的半正多面體，并且都是可以從正多面體經(jīng)過截角、截半、截邊等操作構造而成．阿基米德立體的三個視圖全都一樣，如圖是棱長為2的正方體經(jīng)過截角得到的阿基米德立體的正視圖，則該幾何體的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示，是通過正方體各棱的中點，將八個角截去，形成的正14面體，其中有8個正三角形面，6個正方形面．正14面體的棱長為，所以6個正方形面的面積之和為，8個正三角形面的面積之和為，所以幾何體的表面積之和為．故選．21．（2024?衡水模擬）已知圓錐的底面半徑為2，高為4．一個圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓周在圓錐的側面上，當圓柱側面積為時該圓柱的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】圓錐的軸截面如圖所示，設圓柱底面半徑為，，由題意可知△△，則有，，則圓柱的高，其側面積，解得．當時，，該圓柱的體積．故選．22．（2024?原州區(qū)校級模擬）如圖，正四面體，，，，分別是，，，的中點，，，，的中點分別為，，，，四邊形的面積為1．則該正四面體體積是A．4 B． C． D．【答案】D【解析】設的中點，連接，，則有，，又，平面，則，又，，且，，四邊形為正方形，設正四面體的棱長為，則有，由四邊形的面積為1，得，即．設正四面體的高為，則，正四面體的體積為．故選．23．（2024?福州三模）若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的半徑為1，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內切球體積比為A． B． C． D．【答案】D【解析】設圓錐的高為，底面半徑為，則當圓錐體積最小時，如圖，由可得：，即，圓錐的體積．當且僅當，即時取等號．該圓錐體積的最小值為．內切球體積為．該圓錐體積與其內切球體積比．故選．24．（2024?桃城區(qū)校級二模）在如圖所示的空間幾何體中，下面的長方體的三條棱長，，上面的四棱錐中，平面，，則過五點、、、、的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】問題轉化為求四棱錐的外接球的表面積，，，所以外接圓的半徑為，由于平面，則平面，平面，所以平面平面，所以，所以．故選．25．（2024?梅河口市校級模擬）若正三棱柱的各個頂點均在同一個半徑為1的球面上，且正三棱柱的側面均為正方形，則該三棱柱的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，作出如下所示的圖形，其中為球心，也為正三棱柱的中心，為上底面三角形的重心，設正三棱柱的側棱長為，則其上下底面是邊長為的等邊三角形，所以，，在中，，即，解得．所以該三棱柱的表面積．故選．26．（2024?西安模擬）已知點、、在球心為的球面上，若，，球心到截面的距離為1，則該球的表面積為__________．【答案】【解析】由，，可知是等腰三角形，作的高線，可得，那么；由正弦定理：，可得外接圓的半徑，球心到平面的圓心距離為1，得，那么