2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊綜合提升學(xué)案含解析新人教A版選修1-2

PAGE模塊綜合提升一、統(tǒng)計(jì)案例1．線性回來方程對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回來直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點(diǎn)的中心．2．線性回來模型為y＝bx＋a＋e，其中e為隨機(jī)誤差．3．殘差eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i.4．刻畫回來效果的方式(1)殘差平方和法殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型擬合效果越好．(2)殘差圖法殘差圖形成的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合效果越好．(3)相關(guān)指數(shù)R2法R2越接近1，模型擬合效果越好．5．K2公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.二、推理與證明1．合情推理(1)歸納推理：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．(2)類比推理：由特別到特別的推理．(3)合情推理：歸納推理和類比推理是常用的合情推理，都是依據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理．2．演繹推理(1)演繹推理是由一般到特別的推理．(2)三段論是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所探討的特別狀況；③結(jié)論——依據(jù)一般原理，對(duì)特別狀況做出的推斷．3．干脆證明與間接證明(1)干脆證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：①綜合法是從條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；②分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法．(2)間接證明一種方法是反證法，它是從結(jié)論反面成立動(dòng)身，推出沖突的證明方法．三、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及分類(1)代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)，其中實(shí)部為a，虛部為b；(2)共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)＝a－bi(a，b∈R)．(3)復(fù)數(shù)的分類①若z＝a＋bi(a，b∈R)是實(shí)數(shù)，則z與eq\x\to(z)的關(guān)系為z＝eq\x\to(z).②若z＝a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)，則z與eq\x\to(z)的關(guān)系為z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)．2．與復(fù)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的問題(1)復(fù)數(shù)相等的充要條件a＋bi＝c＋dieq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝d))(a，b，c，d∈R)．(2)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2)，且z·eq\x\to(z)＝|z|2＝a2＋b2.(3)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；②減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2i,a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))＝eq\f(a1a2＋b1b2,a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))＋eq\f(a2b1－a1b2,a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))i(z2≠0)．3．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z(a，b)，也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)動(dòng)身的向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))1、eq\o(OZ,\s\up6(→))2不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ,\s\up6(→))1、eq\o(OZ,\s\up6(→))2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線eq\o(OZ,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．(3)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量eq\o(OZ,\s\up6(→))1、eq\o(OZ,\s\up6(→))2的終點(diǎn)，并指向Z1的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．四、框圖1．流程圖(1)流程圖是由一些圖形符號(hào)和文字說明構(gòu)成的圖示．(2)流程圖是動(dòng)態(tài)圖示，包括程序框圖、工序流程圖、生活中的流程圖等．(3)流程圖一般依據(jù)從左到右，從上到下的依次來視察．2．結(jié)構(gòu)圖(1)結(jié)構(gòu)圖是一種靜態(tài)圖示，是一種描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的圖示．結(jié)構(gòu)圖一般由構(gòu)成系統(tǒng)的若干要素和表達(dá)各要素之間關(guān)系的連線(或方向箭頭)構(gòu)成．連線通常依據(jù)從上到下、從左到右的方向(方向箭頭依據(jù)箭頭所指的方向)表示要素的從屬關(guān)系或邏輯的先后關(guān)系．(2)常見結(jié)構(gòu)圖eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(學(xué)問結(jié)構(gòu)圖：描述各部分學(xué)問之間的關(guān)系.,組織結(jié)構(gòu)圖：表示一個(gè)組織或部門的構(gòu)成.))(3)結(jié)構(gòu)圖中的從屬關(guān)系通常是“樹”形結(jié)構(gòu)的，即構(gòu)成系統(tǒng)的要素一般至少有一個(gè)“上位”或“下位”要素．一般狀況下，“下位”要素比“上位”要素更為詳細(xì)，“上位”要素比“下位”要素更為抽象．(4)在結(jié)構(gòu)圖中也常常出現(xiàn)一些“環(huán)”形結(jié)構(gòu)，這種情形常在表達(dá)邏輯先后關(guān)系時(shí)出現(xiàn)．(5)結(jié)構(gòu)圖還常常用來表示一個(gè)組織的構(gòu)成，組織結(jié)構(gòu)圖一般呈“樹”形結(jié)構(gòu)．1．回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))表示當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))的改變量． (√)2．R2越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差． (√)3．散點(diǎn)圖是推斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系的工具之一． (√)4．若一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1. (√)5．回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))不肯定過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))． (×)6．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)K2≥6.635時(shí)，我們有99%的把握認(rèn)為兩分類變量有關(guān)，是指“兩分類變量有關(guān)”這一結(jié)論的可信度為99%，而不是兩分類變量有關(guān)系的概率為99%. (√)7．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法． (√)8．類比推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用． (×)9．由個(gè)別到一般的推理為歸納推理． (√)10．在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適． (×)11．在演繹推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特別狀況，結(jié)論是依據(jù)一般性原理對(duì)特別狀況作出的推斷． (√)12．大前提和小前提都正確，推理形式也正確，則所得結(jié)論是正確的． (√)13．綜合法是執(zhí)因索果的順推證法． (√)14．分析法的框圖表示 (√)15．分析法與綜合法證明同一問題時(shí)，一般思路恰好相反，過程相逆． (√)16．反證法是從結(jié)論的反面動(dòng)身，推出沖突的證法． (√)17．反證法證明“a，b，c中存在偶數(shù)”的假設(shè)為“a，b，c都不是偶數(shù)．” (√)18．復(fù)數(shù)z＝bi是純虛數(shù)． (×)19．若z≠0且z＋eq\x\to(z)＝0，則z為純虛數(shù)，利用這特性質(zhì)，可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)． (√)20．在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)． (×)21．復(fù)數(shù)的?？隙ㄊ钦龜?shù)． (×)22．兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等是這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的必要條件． (√)23．復(fù)數(shù)z1＞z2的充要條件是|z1|＞|z2|. (×)24．當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，它們的乘積是一個(gè)實(shí)數(shù)． (√)25．復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則． (√)26．組織結(jié)構(gòu)圖是結(jié)構(gòu)圖的一種． (√)27．結(jié)構(gòu)圖可描述一個(gè)系統(tǒng)各部分或各環(huán)節(jié)之間的關(guān)系． (√)28．工序流程圖中，各工序之間可以相互調(diào)換． (×)29．“eq\x(隨機(jī)事務(wù))→eq\x(頻率)→eq\x(概率)”這是流程圖． (×)30．程序框圖不屬于流程圖． (×)1．設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．eq\r(2)C[法一：因?yàn)閦＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.法二：因?yàn)閦＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i＋2i1＋i,1＋i)＝eq\f(－1＋i,1＋i)，所以|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋i,1＋i)))＝eq\f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1，故選C.]2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成果．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成果，給乙看丙的成果，給丁看甲的成果．看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成果．依據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成果B．丁可以知道四人的成果C．乙、丁可以知道對(duì)方的成果D．乙、丁可以知道自己的成果D[由甲說：“我還是不知道我的成果”可推知甲看到乙、丙的成果為“1個(gè)優(yōu)秀，1個(gè)良好”．乙看丙的成果，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好”；丙為“良好”時(shí)，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成果．丁看甲的成果，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好”時(shí)，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成果．故選D.]3．為計(jì)算S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入()A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋4B[由程序框圖的算法功能知執(zhí)行框N＝N＋eq\f(1,i)計(jì)算的是連續(xù)奇數(shù)的倒數(shù)和，而執(zhí)行框T＝T＋eq\f(1,i＋1)計(jì)算的是連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)和，所以在空白執(zhí)行框中應(yīng)填入的吩咐是i＝i＋2，故選B.]4．如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由．[解](1)利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢.2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．(以上給出了2種理由，答出其中隨意一種或其他合理理由均可)5．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up6(16),eq\o(,\s\do6(i＝1)))xi＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)eq\o(∑,\s\up6(16),eq\o(,\s\do6(i＝1)))xi－\x\to(x)2)＝eq\r(\f(1,16)eq\o(∑,\s\up6(16),eq\o(,\s\do6(i＝1)))－16\x\to(x)2)≈0.212，eq\r(eq\o(∑,\s\up6(16),eq\o(,\s\do6(i＝1)))i－8.52)≈18.439，eq\o(∑,\s\up6(16),eq\o(,\s\do6(i＝1)))(xi－eq\x\to(x))(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)．(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(i)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？(ⅱ)在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\r(0.008)≈0.09.[解](1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(16))\o(,\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)i－8.5,\r(\o(∑,\s\up6(16))\o(,\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(16))\o(,\s\do6(i＝1))i－8.52))≈eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?2)(i)由于eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(ⅱ)剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.eq\o(∑,\s\up6(16),eq\o(,\s\do6(i＝1)))xeq\o\al(2,i)≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為eq\r(0.008)≈0.09.6．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生