專題07 與全等有關(guān)的壓軸題-2021-2022學年八上期末（原卷版）

試卷第=page44頁，共=sectionpages1717頁試卷第=page55頁，共=sectionpages1717頁與全等有關(guān)的壓軸題1．（1）如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一點，連接DF、EF．求證：OP垂直平分DE；（2）如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一點，連接DF、EF．求證：DF=EF（3）如圖2，若∠PDO+∠PEO=180°，PD=PE，求證：OP平分∠AOB．2．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D從點B出發(fā)沿射線BC移動，以AD為邊在AB的右側(cè)作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．連接CE．（1）如圖1，若點D在邊BC上，求∠BCE的度數(shù)；（2）如圖2，若點D在邊BC的延長線上運動，∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生變化？請說明理由．3．如圖，等邊三角形ABC中，D為BC邊上一點，滿足BD＜CD，連接AD，作∠DAE＝60°，AE與△ABC的外角平分線BM交于點E．（1）求證：AD＝AE；（2）若點B關(guān)于直線AD的對稱點為F，連接CF．設∠BAD＝α．①求證：；②若BE+CF＝AB成立，求出α的值．4．如圖1，在四邊形中，邊AD∥BC，，點為對角線上一點，且．（1）求證：；（2）連結(jié)交于點，為上一點，連結(jié)并延長交于點，且．①連結(jié)，如圖2，試判斷的形狀，并說明理由；②連結(jié)，如圖3，求證：平分．5．如圖，AB=9cm，AC=3cm，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點B向點A運動，同時點Q在射線BD上以2cm/s的速度由點B沿射線BD的方向運動．它們運動的時間為t(s)．（1）如圖①，若AC⊥AB，BD⊥AB，當t=3時，說明ACP≌BPQ，并求∠CPQ的度數(shù)；（2）如圖②，∠CAB=∠DBA=，若ACP與BPQ全等，求出此時t的值，并直接寫出∠CPQ的度數(shù)；（3）如圖②，若將條件中“AB=9cm”改為“AB＝10cm”，其它條件不變，∠CAB=∠DBA=，是否存在t的值，使ACP與BPQ全等？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．6．如圖，D為等腰直角斜邊上的一個動點（D與B、C均不重合），連接，以為一邊作等腰直角，為斜邊，連接．（1）求證：；（2）以所在的直線為對稱軸，畫出的對稱圖形；（3）當D、E、F三點共線時，求度數(shù)．7．如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．(1)由圖1，證明：；(2)當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，請猜想出，，的等量關(guān)系并說明理由；(3)當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問，，又具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不必說明理由）．8．在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=80°，點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=50°，DE交線段AC于點E（1）若DC=2，求證：△ABD≌△DCE．（2）在點D運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以，請求出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．9．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點D，E分別在邊AB，AC上，則DBEC．（填＞、＜或＝）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中△ADE的繞點A旋轉(zhuǎn)，當點D在△ABC外部，點E在△ABC內(nèi)部時，求證：DB＝EC．（深入研究）（3）如圖③，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點C，E，D在同一條直線上，則∠CDB的度數(shù)為；線段CE，BD之間的數(shù)量關(guān)系為．（4）如圖④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點C、D、E在同一直線上，AM為△ADE中DE邊上的高，則∠CDB的度數(shù)為；線段AM，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為．10．已知：CD是經(jīng)過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進行證明．11．已知在中，，，在平面內(nèi)有一個點（點與點，不重合），以點為中心，把線段順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．（1）如圖，若點在邊上；①依題意補全圖形；②設，則________．（2）如圖，若點不在邊上，猜想線段，之間的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并證明．12．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．13．如圖，在等腰中，，點D為直線BC上一點，連接AD，以AD為腰在AD的右側(cè)作等腰，，，連接CE．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：；（2）當，①如圖2，求證：；②探究線段CE、AB、CD之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．14．如圖，在中，，，分別過點B，C向過點A的直線作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．（1）如圖①，過點A的直線與斜邊BC不相交時，求證：①；②．（2）如圖②，其他條件不變，過點A的直線與斜邊BC相交時，若，，試求EF的長．15．已知：如圖①，在中，，，直線經(jīng)過點C，且于點D，于點E．（1）求證：；（2）當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②位置時，、、之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明，16．△ABC中，AB＝AC，點D為射線BC上一個動點（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，過點E作BC的平行線，交直線AB于點F，連接BE．（1）如圖1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，則△BEF是三角形；（2）若∠EAD＝∠BAC≠60°：①如圖，當點D在線段BC上移動，判斷△BEF的形狀并證明；②當點D在線段BC的延長線上移動，△BEF是什么三角形，請直接寫出結(jié)論并畫出相應的圖形．17．如圖1，，，，、相交于點，連接．（1）求證：，并用含的式子表示的度數(shù)；（2）當時，取，的中點分別為點、，連接，，，如圖2，判斷的形狀，并加以證明．18．問題：如圖1，在等邊三角形△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，ED＝EC，回答下列問題：（1）與AE相等的線段是．（2）請證明（1）中得到的結(jié)論，證明思路如下：①小聰思路：如圖2，過E作EF//BC，交AC于點F，請你完成剩下解答過程；②小明思路：如圖3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，請你完成剩下解答過程．19．如圖①，線段，過點B、C分別作垂線，在其同側(cè)取，另一條垂線上任取一點D．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點C運動；同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線運動，當點P停止時，點Q也隨之停止運動．設點P的運動的時間為．（1）當，________，用含a的代數(shù)式表示的長為_______．（2）當時，①求證：．②求證：．（3）如圖②，將“過點B、C分別作垂線”改為“在線段的同側(cè)作”，其它條件不變．若與全等，直接寫出對應的a、t的值．20．綜合與實踐：初步探究：（1）如圖1，直線同側(cè)有兩定點D，E，點A，B，C是直線上的三個動點．在運動過程中，當∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝60°時，求∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系．深入探究：（2）當點A，B，C三個動點運動到如圖2所示的位置時，有∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°，求此時∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系；若∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝時，∠D和∠E又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（請直接寫出這兩個問題的答案）拓展應用：（3）在圖2中，如果∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°仍然存在，再添加條件BD＝EB，求證：AC＝AD＋CE．21．關(guān)于等腰直角三角形兩腰的運用：可以把兩腰分散到兩個三角形中用全等去思考，通常尋找或構(gòu)造兩腰為斜邊的兩個直角三角形全等，再由全等性質(zhì)讀出結(jié)論解決問題．（1）已知：如圖（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，則△ACD≌△CBE，全等的依據(jù)是．（2）已知：如圖（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC為等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面積．這道題，我們可構(gòu)造DE，DC為斜邊的兩個直角三角形；具體構(gòu)造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根據(jù)提示，通過思考運算，請直接寫出S△AED＝．（3）已知：如圖（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于點E，若BD＝2，求AE的長．

22．在中，，點是射線上的一個動點（不與點，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖1，當點在線段上，且時，那么______度．（2）設，．①如圖2，當點在線段上，時，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當點在線段的延長線上，時，請直接寫出此時與之間的量關(guān)系（不需證明）．23．將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：①CF=EF；②AF+EF=DE（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角a，且0°＜a＜60°，其他條件不變，如圖②．請你直接判斷①中的兩個結(jié)論是否成立；（3）若將圖①中△DBE的繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③．請你寫出此時AF、EF與DE之間的關(guān)系，并加以證明．24．在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連結(jié)CE．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，如果∠BAC=90°，則∠BCE為多少度？（2）設，．①如圖2，當點D在線段BC上移動時，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當點D在線段CB的延長線上，時，請將備用圖補充完整，并直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．25．（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．26．在△ABC中，AB=AC=10cm．（1）如圖1，AM是△ABC的中線，MD⊥AB于D點，ME⊥AC于E點，MD=3cm，則ME=cm．（2）如圖2，在（1）的條件下，連接DE交AM于點F，試猜想：①FDFE（填“>”、“=”或“＜”）；②AMDE（填位置關(guān)系）．（3）如圖3，BC=8cm，點D為AB的中點，點P在線段BC上由B向C運動，同時點Q在線段CA上以每秒2cm的速度由C向A運動，設點P的運動時間為t秒．問：運動時間t為多少時，△BDP與△PQC全等?27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．28．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是邊BC上的一點，BE⊥AD交AD的延長線于點E，聯(lián)結(jié)CE．（1）如圖，AD平分∠CAB，CF⊥CE交AD于點F，①求證：AF=BE；②直接寫出∠BCE的度數(shù)，∠BCE=______°；（2）如圖，CM//BE交