專題05 乘法公式的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年八上期末（解析版）

試卷第=page3030頁(yè)，共=sectionpages3131頁(yè)試卷第=page3131頁(yè)，共=sectionpages3131頁(yè)乘法公式的應(yīng)用1．我們將進(jìn)行變形，如：，ab＝等．根據(jù)以上變形解決下列問(wèn)題：（1）已知a2+b2＝10，，則ab＝．（2）已知，若x滿足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如圖，長(zhǎng)方形ABFD，DA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，連接CD，CE，若AC?BC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【答案】（1）4；（2）255；（3）10【分析】（1）將a2+b2＝10，（a+b）2＝18代入題干中的推導(dǎo)公式就可求得結(jié)果；（2）設(shè)25﹣x＝a，x﹣10＝b，則（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入計(jì)算即可；（3）設(shè)AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，則圖中陰影部分的面積為（a+b）（a+b）a2b2[（a+b）2﹣（a2+b2）]2ab＝ab＝10．【詳解】（1）∵a2+b2＝10，（a+b）2＝18，∴ab4，故答案為：4（2）設(shè)25﹣x＝a，x﹣10＝b，由（a+b）2＝a2+2ab+b2進(jìn)行變形得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴（25﹣x）2+（x﹣10）2＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）＝152﹣2×（﹣15）＝225+30＝255，（3）設(shè)AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，∵DA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB∴四邊形DABE為直角梯形則圖中陰影部分的面積為（a+b）（a+b）（a2+b2）[（a+b）2﹣（a2+b2）]2ab＝ab＝10故答案為：10【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的變式應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能數(shù)形結(jié)合應(yīng)用完全平方公式．2．如圖，有長(zhǎng)為m，寬為n的長(zhǎng)方形卡片，邊長(zhǎng)為m的正方形卡片B，邊長(zhǎng)為n的正方形卡片C，將卡片C按如圖1放置于卡片A上，其未疊合部分（陰影）面積為，將卡片A按如圖2放置于卡片B上，其未疊合部分（陰影）面積為．（1）S1=________，S2=________；（用含m、n的代數(shù)式表示）（2）若S1+S2=24，則圖3中陰影部分的面積________；（3）若mn=8，mn=12，求圖4中陰影部分的面積．【答案】（1），；（2）24；（3）50【分析】（1）如圖1，陰影面積卡面A的面積卡片的面積；如圖2，陰影面積卡片的面積卡片A的面積；（2）如圖3，陰影面積卡片面積卡片面積，而由已知，可解出，即可依此解答；（3）由于已知若，，有代數(shù)式，，所以在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)：，要轉(zhuǎn)化成，，才能用已知條件的數(shù)值代入．【詳解】解：由題意得：卡片A的面積，卡片的面積，卡片的面積，（1）由題意得：，，故答案為：，；（2）∵，，∴，∵，∴∴，故答案為：24；（3），，，圖4中陰影部分的面積∵，，，答：圖4中陰影部分的面積是50．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的運(yùn)用，（1）（2）常規(guī)性問(wèn)題，（3）是本題的難點(diǎn)，首先用分割法求出陰影面積，整塊面積減去直角三角形面積；其次是m2+n2+mn=（m-n）2+3mn的理解并運(yùn)算．3．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D2的方式拼成一個(gè)大正方形．（1）圖2中，中間空白正方形的邊長(zhǎng)等于．（2）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中空白正方形的面積：方法1；方法2．（3）比較（2）中的方法1和方法2，試寫(xiě)出，，這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：．（4）若，，請(qǐng)利用（3）中的結(jié)論，求的值．【答案】（1）a-b；（2），；（3）=；（4）6．【分析】（1）觀察圖形得出圖②中的空白部分的正方形的邊長(zhǎng)等于a-b；（2）方法1：求出空白正方形的邊長(zhǎng)，從而求其面積，方法2：運(yùn)用大正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積求得空白正方形面積；（3）根據(jù)兩種方法表示的空白正方形面積相等可求解，即（a+b）2=（a-b）2+4ab；（4）利用（3）中等量關(guān)系求解．【詳解】解：：（1）根據(jù)圖形可觀察出：圖2中，中間空白正方形的邊長(zhǎng)等于a-b，故答案為：a-b；（2）方法1：小正方的邊長(zhǎng)為a-b，面積可表示為：（a-b）2，方法2：大正方形的面積為：（a+b）2，四個(gè)長(zhǎng)方形的面積和為4ab，所以小正方形面積可表示為：（a+b）2-4ab；故答案為：，；（3）由題意可得：=；故答案為：=；（4）由（3）可得=，∵，，∴3=27-4ab，解得：ab=6．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的實(shí)際應(yīng)用，完全平方公式與正方形的面積公式和長(zhǎng)方形的面積公式經(jīng)常聯(lián)系在一起，要學(xué)會(huì)觀察．4．（1）請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（a+b）2、（a-b）2和ab之間數(shù)量關(guān)系式_______．（2）應(yīng)用上一題的關(guān)系式，計(jì)算：xy=-3，x-y=4，試求x+y的值．（3）如圖：線段AB=10，C點(diǎn)是AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊長(zhǎng)在AB的異側(cè)做正方形ACDE和正方形CBGF，連接AF；若兩個(gè)正方形的面積S1+S2=32，求陰影部分△ACF面積．【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）x+y=±2；（3）S△ACF=17．【分析】（1）利用平方差公式計(jì)算出（a+b）2-（a-b）2的結(jié)果即可；（2）把xy=-3，x-y=4，代入（1）式即可求解；（3）設(shè)AC=x，BC=y，則x2+y2=32，x+y=10，根據(jù)完全平方公式的變形求出xy的值，即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）（a+b）2-（a-b）2=；故答案為：（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）∵xy=-3，x-y=4，（x+y）2-（x-y）2=4xy，∴（x+y）2-42=4(-3)，即（x+y）2=4，∴x+y=±2；（3）解：設(shè)AC=x，BC=y，則x2+y2=32，x+y=10，∵2xy=(x+y)2-(x2+y2)=100-32=68，∴xy=34即S△ACF=AC×CF=xy=17．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何意義，關(guān)鍵是能用算式表示圖形面積并進(jìn)行拓展應(yīng)用．5．如圖①是1個(gè)直角三角形和2個(gè)小正方形，直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別是a、b、c，其中a、b是直角邊．正方形的邊長(zhǎng)分別是a、b．（1）將4個(gè)完全一樣的直角三角形和2個(gè)小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形（如圖②）．用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中的大正方形面積：方法一：；方法二：；（2）觀察圖②，試寫(xiě)出，，，這四個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；（3）請(qǐng)利用（2）中等量關(guān)系解決問(wèn)題：已知圖①中一個(gè)三角形面積是6，圖②的大正方形面積是49，求的值；（4）求的值．【答案】（1）；；（2）；（3）25；（4）100【分析】（1）利用兩種方法表示出大正方形面積，第一種用組成正方形的兩個(gè)小正方形+4個(gè)三角形面積，第二種用正方形面積公式邊長(zhǎng)的平方即可；（2）根據(jù)各自表示的面積寫(xiě)出四個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系即可；（3）利用面積求出，（a+b）2=49，把原式變形a2+b2=（a+b）2-2ab，整體代入計(jì)算即可得到結(jié)果．（4）將算式適當(dāng)變形，利用完全平方公式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）方法一：；方法二：（a+b）2；故答案為：；（a+b）2；（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；（3），（a+b）2=49，∴a2+b2=（a+b）2-2ab，=（a+b）2-4×，=49-4×6，=25；（4），=，，，=100．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．我們將完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2進(jìn)行變形，可以得到一些新的等式，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]等等．請(qǐng)利用這些變形后的等式解決下列問(wèn)題：（1）已知a2+b2＝15，（a+b）2＝3，求ab的值；（2）若x滿足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值；（3）如圖，四邊形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，連接CD，CE，若2AC?BC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【答案】（1）-6；（2）255；（3）5【分析】（1）將a2+b2=15，（a+b）2=3代入題干中的推導(dǎo)公式就可求得結(jié)果；（2）設(shè)25-x=a，x-10=b，則（25-x）2+（x-10）2=a2+b2=（a+b）2-2ab，再代入計(jì)算即可；（3）設(shè)AD=AC=a，BE=BC=b，則圖中陰影部分的面積為（a+b）（a+b）-a2-b2=[（a+b）2-（a2+b2）]=×2ab=ab=5．【詳解】解：（1）∵a2+b2=15，（a+b）2=3，∴ab=[（a+b）2﹣（a2+b2）]=×（3-15）=-6；（2）設(shè)25-x=a，x-10=b，由（a+b）2=a2+2ab+b2進(jìn)行變形得，a2+b2=（a+b）2-2ab，∴（25-x）2+（x-10）2=[（25-x）+（x-10）]2-2（25-x）（x-10）=152-2×（-15）=225+30=255；（3）設(shè)AD=AC=a，BE=BC=b，∵2AC?BC＝10，∴AC?BC＝5，則圖中陰影部分的面積為（a+b）（a+b）-（a2+b2）=[（a+b）2-（a2+b2）]=×2ab=ab=5．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的變式應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能數(shù)形結(jié)合應(yīng)用完全平方公式．7．圖a是由4個(gè)長(zhǎng)為m，寬為n的長(zhǎng)方形拼成的，圖b是由這四個(gè)長(zhǎng)方形拼成的正方形，中間的空隙，恰好是一個(gè)小正方形．（1）用m、n表示圖b中小正方形的邊長(zhǎng)為．（2）用兩種不同方法表示出圖b中陰影部分的面積；（3）觀察圖，利用（2）中的結(jié)論，寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系，代數(shù)式，，；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：已知，，求的值．【答案】（1）；（2）方法①：，方法②：；（3）；（4）29．【分析】（1）根據(jù)圖形即可得出圖中小正方形的邊長(zhǎng)為；（2）直接利用正方形的面積公式得到圖中陰影部分的面積為；也可以用大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積得到圖中陰影部分的面積為；（3）根據(jù)圖中陰影部分的面積是定值得到等量關(guān)系式；（4）利用（3）中的公式得到．【詳解】解：（1）圖中小正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為；（2）方法①：；方法②：；（3）因?yàn)閳D中陰影部分的面積不變，所以；（4）由（3）得：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，列代數(shù)式，可以根據(jù)題中的已知數(shù)量利用代數(shù)式表示其他相關(guān)的量．8．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖①的三種紙片，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖②的大正方形．（1）仔細(xì)觀察圖①、圖②，請(qǐng)你寫(xiě)出代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系是____．（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決下列問(wèn)題：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①3，②【分析】（1）分別用表示出圖①和圖②，從而即可得出等式；（2）①通過(guò)（1）中的結(jié)論變形即可求解；②設(shè)，通過(guò)等量代換及（1）中的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）．（2）①，．．，．②設(shè)，則，．，．．．．即．．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，數(shù)形結(jié)合及靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）（1）觀察圖2請(qǐng)你寫(xiě)出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5，xy=，則x-y=；（3）拓展應(yīng)用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）由圖知大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，分別計(jì)算代入即可得正確答案；（2）將相關(guān)數(shù)值代入第一問(wèn)的關(guān)系式，即可解得正確答案；（3）將式子變形，代入相關(guān)數(shù)值，即可得到答案．【詳解】解：（1）由圖知：（2）∵∴∵∴∴或故答案為：或（3）∵且∴【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式的應(yīng)用，根據(jù)公式解題是關(guān)鍵．10．閱讀材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m，n的值．解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，（m-n）2+（n-4）2=0，∴（m-n）2=0，（n-4）2=0，∴n=4，m=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，且滿足a2+b2-10a-12b+61=0，求c的取值范圍；（2）已知P=2x2+4y+13，Q=x2-y2+6x-1，比較P，Q的大?。敬鸢浮浚?）1＜c＜11；（2）P＞Q．【分析】（1）利用配方法求出a和b的值，再利用三角形三邊關(guān)系求出c的取值范圍即可；（2）用配方法得出P-Q的值大于0即可．【詳解】解：（1）∵a2+b2-10a-12b+61=0，∴a2-10a+25+b2-12b+36=0，∴（a-5）2+（b-6）2=0，∵（a-5）2≥0，（b-6）2≥0，∴a-5=0，b-6=0，解得：a=5，b=6，∵a，b，c，是△ABC的三邊長(zhǎng)，∴6-5＜c＜6+5，即：1＜c＜11；（2）由題知P-Q=2x2+4y+13-（x2-y2+6x-1）=x2-6x+9+y2+4y+4+1=（x-3）2+（y+2）2+1＞0，∴P＞Q．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解決實(shí)際問(wèn)題以及三角形三邊關(guān)系，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．11．發(fā)現(xiàn)與探索．小麗的思考：代數(shù)式（a﹣3）2+4無(wú)論a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，則代數(shù)式（a﹣3）2+4大于等于4．根據(jù)小麗的思考解決下列問(wèn)題：（1）說(shuō)明：代數(shù)式a2﹣12a+20的最小值為﹣16．（2）請(qǐng)仿照小麗的思考求代數(shù)式﹣a2+10a﹣8的最大值．【答案】（1）；（2）17【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，根據(jù)平方結(jié)果為非負(fù)數(shù)確定出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，根據(jù)平方結(jié)果為非負(fù)數(shù)確定出最大值即可．【詳解】解：（1）原式，無(wú)論取何值，，，則的最小值為；（2），即，原式，則的最大值為17．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．12．?dāng)?shù)學(xué)課上，我們知道可以用圖形的面積來(lái)解釋一些代數(shù)恒等式，如圖1可以解釋完全平方公式：．（1）如圖2（圖中各小長(zhǎng)方形大小均相等），請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積（不化簡(jiǎn)）：方法1：_________________；方法2∶_________________．（2）由（1）中兩種不同的方法，你能得到怎樣的等式?（3）①已知，，請(qǐng)利用（2）中的等式，求的值．②已知，，請(qǐng)利用（2）中的等式，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①；②1【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積=4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積=大正方形的面積-小正方形的面積即可解答；（2）根據(jù)（1）求得的結(jié)果，利用兩種方法求得的陰影面積相等即可解答；（3）①根據(jù)即可得到，由此求解即可；②根據(jù)可得，由此求解即可．【詳解】解：（）方法1：陰影部分面積為4個(gè)相同的小長(zhǎng)方形的面積之和，∴陰影部分面積=；方法2：陰影部分面積=大正方形的面積-小正方形面積∴陰影部分面積=．故答案為：，；（）∵（1）中兩種方法求得的陰影部分面積相等，∴；（）①∵，，，∴，∴；②，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據(jù)陰影部分的面積與大正方形的面積-小正方形的面積相等列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．乘法公式的探究及應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積．方法1：；方法2：．（2）觀察圖2，請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：，，ab之間的等量關(guān)系：；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：，，求ab的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①7；②16【分析】（1）方法1：利用整個(gè)大的圖形是正方形可得邊長(zhǎng)為可得面積，方法2：再利用大的正方形由兩個(gè)小的正方形與兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，可得面積；（2）利用圖形面積相等，可得公式；（3）①由，可得，再整體代入求值即可；②設(shè)，則，，再求解，從而整體代入可得答案.【詳解】解：（1）根據(jù)圖形可得圖2大正方形的面積表示為或故答案為：，；（2）由（1）題可得，故答案為：；（3）①由，可得∴當(dāng)，時(shí)，②設(shè)，則，則可求得由整體思想得，【點(diǎn)睛】本題考查的是利用圖形面積證明完全平方公式，完全平方公式的變形，利用完全平方公式的變形求解代數(shù)式的值，熟悉公式變形是解題的關(guān)鍵.14．例如：若，，求的值．解：因?yàn)椋?，即：，又因?yàn)?，所以根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：（1）若，，求的值；（2）填空：若，則______；（3）如圖所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為，，分別是、上的點(diǎn)，且，，分別以、作正方形和正方形，長(zhǎng)方形的面積是12，則的值為_(kāi)_____．【答案】（1）12；（2）6；（3）5【分析】（1）求出，利用完全平方公式展開(kāi)即可求出的值；（2）類比（1）先求出的和，再利用完全平方公式求解即可；（3）結(jié)合圖形，得出，，參照題目給出的方法求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，即，又∵，∴，∴（2）∵，∴，，∵，∴，答案為：6（3）∵，，∴∴∴∴或（舍去）故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，充分理解題意，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合思想是正確解答的關(guān)鍵．15．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形剪出兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為，的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個(gè)不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：______，方法2：________；（2）從中你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？_________；（3）運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①28；②．【分析】（1）方法1可采用兩個(gè)正方形的面積和，方法2可以用大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積；（2）由（1）中兩種方法表示的面積是相等的，從而得出結(jié)論；（3）①由（2）的結(jié)論，代入計(jì)算即可；②設(shè)，，則，，求即可．【詳解】解：（1）方法1，陰影部分的面積是兩個(gè)正方形的面積和，即，方法2，從邊長(zhǎng)為的大正方形面積減去兩個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，即，故答案為：，；（2）在（1）兩種方法表示面積相等可得，，故答案為：；（3）①，，又，；②設(shè)，，則，，，答：的值為．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，用不同方法表示同一部分的面積是得出關(guān)系式的關(guān)鍵．16．閱讀理解：我們一起來(lái)探究代數(shù)式x2+2x+5的值，探究一：當(dāng)x＝1時(shí)，x2+2x+5的值為；當(dāng)x＝2時(shí)，x2+2x+5的值為，可見(jiàn)，代數(shù)式的值因x的取值不同而變化．探究二：把代數(shù)式x2+2x+5進(jìn)行變形，如：x2+2x+5＝x2+2x+l+4＝（x+1）2+4，可以看出代數(shù)式x2+2x+的最小值為，這時(shí)相應(yīng)的x＝．根據(jù)上述探究，請(qǐng)解答：（1）求代數(shù)式﹣x2﹣8x+17的最大值，并寫(xiě)出相應(yīng)x的值．（2）把（1）中代數(shù)式記為A，代數(shù)式9y2+12y+37記為B，是否存在，x，y的值，使得A與B的值相等？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x?y的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】探究一：8，13；探究二：4，-1；（1）當(dāng)x=-4時(shí)，代數(shù)式-x2-8x+17有最大值是33；（2）【分析】探究一：把x=1和x=2分別代入代數(shù)式x2+2x+5中，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；探究二：先將代數(shù)式x2+2x+5運(yùn)用完全平方公式變形后得：（x+1）2+4，可得結(jié)論；（1）將代數(shù)式-x2-8x+17運(yùn)用完全平方公式變形后可得結(jié)論；（2）存在A=B，列式可得x和y值，相乘可得x?y的值．【詳解】解：探究一：當(dāng)x=1時(shí)，x2+2x+5=12+2+5=8；若x=2，x2+2x+5=22+2×2+5=13；故答案為：8，13；探究二：x2+2x+5=（x2+2x+1）+4=（x+1）2+4，∵（x+1）2是非負(fù)數(shù)，∴這個(gè)代數(shù)式x2+2x+5的最小值是4，此時(shí)x=-1．故答案為：4，-1；（1）∵-x2-8x+17=-（x+4）2+33，∴當(dāng)x=-4時(shí)，代數(shù)式-x2-8x+17有最大值是33；（2）∵A=-x2-8x+17，B=9y2+12y+37，當(dāng)A=B時(shí)，則B-A=0，∴（9y2+12y+37）-（-x2-8x+17）=0，9y2+12y+4+x2+8x+16=0，（3y+2）2+（x+4）2=0，∴3y+2=0，x+4=0，∴x=-4，y=，∴x?y=-4×（）=．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把給出的式子化成完全平方的形式進(jìn)行解答．17．閱讀材料題：我們知道a2≥0，所以代數(shù)式a2的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2來(lái)求一些多項(xiàng)式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值問(wèn)題．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值為﹣6．請(qǐng)應(yīng)用上述思想方法，解決下列問(wèn)題：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）代數(shù)式﹣x2﹣2x有最（填“大”或“小”）值為；（3）應(yīng)用：比較代數(shù)式：x2﹣1與2x﹣3的大?。海?）如圖，矩形花圃一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三面所圍成的提欄的總長(zhǎng)是40m，樓欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）﹣2，1；（2）大，1；（3）x2﹣1＞2x﹣3；（4）當(dāng)花圃的寬為10m，長(zhǎng)為20m時(shí)花圃面積最大，最大面積為200m2【分析】（1）將原式配方即可；（2）將原式配方即可判斷；（3）先做差，然后配方，判斷配方后的式子大于0即可；（4）設(shè)矩形花圃的寬為xm，則長(zhǎng)為（40-2x）m，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，再配方，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】解：（1）x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，故答案為：-2，1；（2）∵-x2-2x=-（x2+2x）=-（x2+2x+1-1）=-（x+1）2+1，又∵（x+1）2≥0，∴-（x+1）2≤0，∴-（x+1）2+1≤1，∴-x2-2x的最大值為1，故答案為：大，1；（3）x2-1-（2x-3）=x2-1-2x+3=x2-2x+2=（x-1）2+1，∵（x-1）2≥0，∴（x-1）2+1≥1＞0，∴x2-1＞2x-3；（4）設(shè)矩形花圃的寬為xm，則長(zhǎng)為（40-2x）m，∴矩形的面積S=（40-2x）x=-2x2+40x=-2（x2-20x）=-2（x-10）2+200，∵（x-10）2≥0，∴-（x-10）2≤0，∴-（x-10）2+200≤200，∴當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值200（m2），此時(shí)，40-2x=20（m），∴當(dāng)花圃的寬為10m，長(zhǎng)為20m時(shí)花圃面積最大，最大面積為200m2．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．18．問(wèn)題情境：閱讀：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，所以請(qǐng)仿照上例解決下面的問(wèn)題：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)（1）若滿足，求的值．類比探究（2）若滿足，求的值．拓展延伸（3）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，，，長(zhǎng)方形的面積為200，四邊形和都是正方形，是長(zhǎng)方形，求四邊形的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【答案】（1）21；（2）1009；（3）900【分析】（1）令a=3-x，b=x-2，整體代入后利用完全平方公式求解；（2）令a=2021-x，b=2020-x，再利用完全平方公式求代數(shù)式的值；（3）設(shè)a=x-20，b=x-10，由題意列出方程ab=200，再結(jié)合正方形和矩形的面積公式求四邊形MFNP的面積．【詳解】解：（1）設(shè)a=3-x，b=x-2，則ab=-10，a+b=1，∴（3-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=12-2×(-10)=21；（2）設(shè)a=2021-x，b=2020-x，則a-b=1，∴a2+b2=2019，∴（2021-x）（2020-x）=ab=-[（a-b）2-（a2+b2）]=-×（12-2019）=1009；（3）由題意得：EF=DG=x-20，ED=FG=x-10，∵四邊形MEDQ和四邊形NGDH是正方形，四邊形QDHP是長(zhǎng)方形，∴MF=EF+EM=EF+ED=（x-20）+（x-10），F(xiàn)N=FG+GN=FG+GD=（x-10）+（x-20），∴MF=FN，∴四邊形MFNP是正方形，設(shè)a=x-20，b=x-10，則，a-b=-10，∵長(zhǎng)方形EFGD的面積為200，∴ab=200，∴S正方形MFNP=（a+b）2=（a-b）2+4ab=（-10）2+4×200=900．【點(diǎn)睛】本題考查了整體思想和完全平方公式的應(yīng)用，在解題的時(shí)候關(guān)鍵是用換元的方法將給定的式子和所求的式子進(jìn)行替換，這樣會(huì)更加容易看出來(lái)已知條件和所求之間的關(guān)系．19．小明在學(xué)完《整式的乘除》后發(fā)現(xiàn)，許多的計(jì)算法則或公式均可由圖形變換過(guò)程中的面積關(guān)系來(lái)說(shuō)明。以下是他的探究過(guò)程，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整：探究一：將左圖中的大長(zhǎng)方形分割變換成右圖中的三個(gè)小長(zhǎng)方形．（1）左圖中大長(zhǎng)方形的面積可表示為：______．（2）右圖中三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和可表示為：______．（3）根據(jù)左右兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的恒等式是：______．探究二：如圖①所示是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀將其分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)大正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法用含、的代數(shù)式表示圖②中陰影部分（小正方形）的面積．方法①______．方法②______．（2）根據(jù)圖②中陰影部分面積的不同表示法，試寫(xiě)出，，這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系式：______．應(yīng)用：根據(jù)探究二中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，，則求的值．【答案】探究一：（1）；（2）；（3）；探究二：（1）；（2）；應(yīng)用：49【分析】探究一：（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積的計(jì)算方法即可得出答案；（2）分別表示出每一個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可；（3）由（1）（2）可得恒等式；探究二：（1）方法①陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，因此面積為，方法②陰影部分可以看作從邊長(zhǎng)為的正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積即可；（2）由方法①，方法②可得等式；應(yīng)用：類比得出：，再代入計(jì)算即可．【詳解】探究一：(1)圖1左圖是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形,因此面積為，故答案為：，（2）三個(gè)長(zhǎng)方形的面積和為，故答案為：，（3）由（1）（2）可得，故答案為;探究二：（1）方法①陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，因此面積為，方法②陰影部分可以看作從邊長(zhǎng)為的正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，即，故答案為：,（2）由方法①②可得，，故答案為：；應(yīng)用：類比可得,即，,答：當(dāng)時(shí)的值為49.【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同方法表示同一個(gè)圖形的面積是得出正確答案的關(guān)鍵．20．先閱讀下面材料，再解決問(wèn)題：在求多項(xiàng)式的值時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)“降次”的方法，把字母的次數(shù)從“高次”降為“低次”．一般有“逐步降次法”和“整體代入法”兩種做法．例如：已知，求多項(xiàng)式的值．方法一：∵，∴，∴原式．方法二：∵，∴，∴原式．（1）應(yīng)用：已知，求多項(xiàng)式的值（只需用一種方法即可）；（2）拓展：已知，求多項(xiàng)式的值（只需用一種方法即可）．【答案】（1）；（2）5【分析】（1）由題意可得把=0變形為，然后整體代入即可得出答案；（2）由題意可得把變形為，代入在利用“逐步降次法”即可得出答案；【詳解】解：（1）∵=0，∴，∴原式===（2）∵，∴，∴原式======5【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的值，理解“逐步降次法”和“整體代入法”并能熟練應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．21．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）觀察圖2，請(qǐng)你直接寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式（a＋b）2，（a－b）2，ab之間的等量關(guān)系為；（2）運(yùn)用你所得到的公式解答下列問(wèn)題：①若m、n為實(shí)數(shù)，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．②如圖3，S1、S2分別表示邊長(zhǎng)為a，b的正方形的面積，且A、B、C三點(diǎn)在一條直線上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）①±4；②8【分析】（1）根據(jù)圖2，用面積相等列出等量關(guān)系即可；（2）①由第一問(wèn)知：，結(jié)合已知條件，代入數(shù)值，求解即可；②由題意知：，，所以可以由，得到的值，即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：（1）（2）①由第一問(wèn)知：故所以即②因?yàn)樗砸驗(yàn)樗杂忠驗(yàn)?，且所以所以【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的實(shí)際應(yīng)用，掌握好數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．22．閱讀理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．參考上述過(guò)程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，則x2+y2＝，（x+y）2＝；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．【答案】（1）5，1；（2）124【分析】（1）根據(jù)x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，可求出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，進(jìn)而再求出（x+y）2的值，（2）把（m﹣p）看作一個(gè)整體，就轉(zhuǎn)化為（1），再利用（1）的方法求解即可．【詳解】解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，故答案為：5，1；（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．23．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4b、寬為a的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．（1）觀察圖2請(qǐng)你寫(xiě)出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是．（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．（3）變式應(yīng)用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值．【答案】（1）（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；（2）±4；（3）-8【分析】（1）由觀察圖形可得，（a-b）2+4ab=（a+b）2；（2）由（1）題結(jié)論（a-b）2+4ab=（a+b）2可得，（a-b）2=（a+b）2-4ab，將x+y=5，xy=代入，可求得（x-y）2的值，最后就可求出結(jié)果；（3）由（a+b）2=a2+2ab+b2得，ab=(a+b)2?(a2+b2)2，運(yùn)用整體代入法可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意得圖1中長(zhǎng)方形面積為4ab，圖2中陰影部分面積是（a﹣b）2，整體面積是（a+