滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練重難點(diǎn)07解直角三角形之“背靠背”模型(原卷版+解析)

重難點(diǎn)07解直角三角形之“背靠背”模型【知識(shí)梳理】【模型展示】【考點(diǎn)剖析】1．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A，B兩地之間有一座山，汽車原來(lái)從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長(zhǎng)68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）2．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）3．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，為了測(cè)量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對(duì)岸岸邊有一塊石頭A，在中，測(cè)得，，米，求河寬（即點(diǎn)A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）4．（2023·上海·一模）如圖，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時(shí)在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時(shí)的速度前往救援，問(wèn)巡邏艇能否在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部C的仰角是30°，測(cè)得底部B的俯角是60°，此時(shí)無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為__________米（結(jié)果保留根號(hào)）．2．（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是________．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）3．（2020·四川樂(lè)山·中考真題）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯的傾斜角為，在自動(dòng)扶梯下方地面處測(cè)得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動(dòng)扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號(hào)）三、解答題4．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長(zhǎng)度．5．（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．6．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測(cè)得和的度數(shù)（在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上兩點(diǎn)的距離為．問(wèn)題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程．7．（2020·湖南永州·中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時(shí)30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）（1）這艘漁船在航行過(guò)程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．8．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，A處與樓的水平距離為，若，求這棟樓高．9．（2020·湖北恩施·中考真題）如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在處測(cè)得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)處，在處測(cè)得小島位于其北偏東方向．求此時(shí)船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．10．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測(cè)得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．11．（2020·山東濰坊·中考真題）某校“綜合與實(shí)踐”小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度．如圖，橋是水平并且筆直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，求橋的長(zhǎng)度．12．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶——銅奔馬，又稱“馬踏飛燕”，于1969年10月出土于武威市的雷臺(tái)漢墓，1983年10月被國(guó)家旅游局確定為中國(guó)旅游標(biāo)志，在很多旅游城市的廣場(chǎng)上都有“馬踏飛燕”雕塑，某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量本城市廣場(chǎng)的“馬踏飛燕”雕塑（圖②）最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表：課題測(cè)量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測(cè)量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)到地面的高度為，在測(cè)點(diǎn)用儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，前進(jìn)一段距離到達(dá)測(cè)點(diǎn)，再用該儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，且點(diǎn)，，，，，均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一條直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長(zhǎng)度儀器（）的高度5米米請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）13．（2020·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到，，，，）14．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）成都“339”電視塔作為成都市地標(biāo)性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成都旅游打卡的網(wǎng)紅地．如圖，為測(cè)量電視塔觀景臺(tái)處的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂處測(cè)得塔處的仰角為45°，塔底部處的俯角為22°．已知建筑物的高約為61米，請(qǐng)計(jì)算觀景臺(tái)的高的值．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）15．（2021·四川阿壩·統(tǒng)考中考真題）熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）16．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求證：．問(wèn)題2：如圖②，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求的值．17．（2020·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)實(shí)踐與綜合課上，某興趣小組同學(xué)用航拍無(wú)人機(jī)對(duì)某居民小區(qū)的1、2號(hào)樓進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐，如圖為實(shí)踐時(shí)繪制的截面圖．無(wú)人機(jī)從地面點(diǎn)B垂直起飛到達(dá)點(diǎn)A處，測(cè)得1號(hào)樓頂部E的俯角為67°，測(cè)得2號(hào)樓頂部F的俯角為40°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)的高度為60米，已知1號(hào)樓的高度為20米，且EC和FD分別垂直地面于點(diǎn)C和D，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，求2號(hào)樓的高度．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）

重難點(diǎn)07解直角三角形之“背靠背”模型【知識(shí)梳理】【模型展示】【考點(diǎn)剖析】1．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A，B兩地之間有一座山，汽車原來(lái)從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長(zhǎng)68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【答案】14.0千米【分析】首先過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD＝x，即可表示出AC，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出x的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AD，BD的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD＝x．在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，∵AC+BC＝2x+x＝68，∴x＝，在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝，在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，AB＝20+20≈54，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道開通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走14.0千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）【答案】地到地之間高鐵線路的長(zhǎng)約為．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD及CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如解圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵地位于地北偏東方向，距離地，∴，∴，．∵地位于地南偏東方向，∴，∴，∴．答：地到地之間高鐵線路的長(zhǎng)約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形．3．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，為了測(cè)量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對(duì)岸岸邊有一塊石頭A，在中，測(cè)得，，米，求河寬（即點(diǎn)A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】河寬約為33.6米【分析】過(guò)A作AD⊥BC于D，并設(shè)AD=x米，則由已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到河的寬度．【詳解】解：如圖，過(guò)A作AD⊥BC于D，并設(shè)AD=x米，∵∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°，∴CD=AD=x，∵∠B=64°，∴BD=，∵BC=50米，∴，解之得：x≈33.6，答：河寬約33.6米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并結(jié)合方程思想求解是解題關(guān)鍵．4．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時(shí)在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時(shí)的速度前往救援，問(wèn)巡邏艇能否在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】巡邏艇能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的長(zhǎng)，可以過(guò)A作AD⊥BC于D，分別求出CD和BD的長(zhǎng)，就可轉(zhuǎn)化為運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形．【詳解】解答：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．由題意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵，，∴，，在Rt△ACH中，∵，∴，∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21，∵21÷25＜1，∴巡邏艇能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部C的仰角是30°，測(cè)得底部B的俯角是60°，此時(shí)無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為__________米（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【分析】由題意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分別解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD和BD的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，則在Rt△ADC中，米，在Rt△ADB中，米，∴米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握解直角三角形的知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是________．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）【答案】20.8【分析】證明△ABP是等腰三角形，過(guò)P作PD⊥AB，從而求得PD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過(guò)P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案為：20.8.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出垂線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．3．（2020·四川樂(lè)山·中考真題）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯的傾斜角為，在自動(dòng)扶梯下方地面處測(cè)得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動(dòng)扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函數(shù)即可得出答案．【詳解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，得出BC=AB=4是解題關(guān)鍵．三、解答題4．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）過(guò)C作于點(diǎn)D，解直角三角形即可；（2）由已知條件可知，求得，勾股定理求得，解即可求得的長(zhǎng)【詳解】（1）如圖，過(guò)C作于點(diǎn)D,即（2），，,在中，設(shè)，則在中，即:解得：（不符題意，舍）【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．5．（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】18(+1)m【分析】根據(jù)仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】如圖，依題意可得∠BCA=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CE=∵∠DBE=30°∴DE=BE×tan30°=18∴的高度為CE+ED=18(+1)m．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義．6．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測(cè)得和的度數(shù)（在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上兩點(diǎn)的距離為．問(wèn)題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程．【答案】【分析】設(shè)，再利用銳角三角函數(shù)用含的代數(shù)式表示再列方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)，在中，，

在中，，

，解得，．

答：寶塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2020·湖南永州·中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時(shí)30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）（1）這艘漁船在航行過(guò)程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．【答案】（1）沒(méi)有危險(xiǎn)，理由見解析；（2）79.50海里【分析】（1）過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)D，在中求出AD與50海里比較即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根據(jù)勾股定理求出AC.【詳解】解：（1）過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)D，∴，由題意可得，∴在中，，∴漁船在航行過(guò)程中沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)；（2）在中，，∵，∴，在中，，即A，C之間的距離為79.50海里.【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形，將已知的線段和角度放在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.8．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，A處與樓的水平距離為，若，求這棟樓高．【答案】270米【分析】根據(jù)正切的定義分別求出BD、DC的長(zhǎng)，求和即可.【詳解】解：在Rt△ABD中，tanα=，則BD=AD?tanα=90×0.27=24.3，在Rt△ACD中，tanβ=，則CD=AD?tanβ=90×2.73=245.7，∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，答：這棟樓高約為270米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，正切理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2020·湖北恩施·中考真題）如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在處測(cè)得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)處，在處測(cè)得小島位于其北偏東方向．求此時(shí)船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】此時(shí)船與小島的距離約為44海里【分析】過(guò)P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x值即可求解【詳解】如圖，過(guò)P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30o=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），答：此時(shí)船與小島的距離約為44海里．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．10．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測(cè)得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．【答案】、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BD的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．11．（2020·山東濰坊·中考真題）某?！熬C合與實(shí)踐”小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度．如圖，橋是水平并且筆直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，求橋的長(zhǎng)度．【答案】【分析】過(guò)C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，根據(jù)橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：如圖示：過(guò)C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，則有：，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)算，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶——銅奔馬，又稱“馬踏飛燕”，于1969年10月出土于武威市的雷臺(tái)漢墓，1983年10月被國(guó)家旅游局確定為中國(guó)旅游標(biāo)志，在很多旅游城市的廣場(chǎng)上都有“馬踏飛燕”雕塑，某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量本城市廣場(chǎng)的“馬踏飛燕”雕塑（圖②）最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表：課題測(cè)量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測(cè)量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)到地面的高度為，在測(cè)點(diǎn)用儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，前進(jìn)一段距離到達(dá)測(cè)點(diǎn)，再用該儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，且點(diǎn)，，，，，均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一條直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長(zhǎng)度儀器（）的高度5米米請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)交于，設(shè)利用銳角三角函數(shù)表示，再表示，再利用銳角三角函數(shù)列方程求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，由題意得：設(shè)由由經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度為【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形所的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2020·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到，，，，）【答案】新建管道的總長(zhǎng)度約為．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)方位角的定義求出，設(shè)，則，再在中，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得AC、CD的長(zhǎng)，然后在中，解直角三角形可得x的值，從而可得AC、BC的長(zhǎng)，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D由題意得：，設(shè)，則是等腰直角三角形在中，，即解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，在中，，即解得則答：新建管道的總長(zhǎng)度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、方位角的定義、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．14．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）成都“339”電視塔作為成都市地標(biāo)性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成都旅游打卡的網(wǎng)紅地．如圖，為測(cè)量電視塔觀景臺(tái)處的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂處測(cè)得塔處的仰角為45°，塔底部處的俯角為22°．已知建筑物的高約為61米，請(qǐng)計(jì)算觀景臺(tái)的高的值．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】觀景臺(tái)的高約為214米．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，由題意可得四邊形DCBM是矩形，由矩形的性質(zhì)可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再證明△ADM為等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得觀景臺(tái)的高的長(zhǎng)．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，由題意可得四邊形DCBM是矩形，∴BM=CD=61米，在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，tan∠BDM=，∴tan22°=，解得，DM=152.5米；∵∠ADM=45°，DM⊥AB，∴△ADM為等腰直角三角形，∴DM=AM=152.5米，∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）．答：觀景臺(tái)的高約為214米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)建直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2021·四川阿壩·統(tǒng)考中考真題）熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部