2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)本章總結(jié)學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-第七章復(fù)數(shù)本章總結(jié)eq\a\vs4\al(專題一復(fù)數(shù)的概念)[例1]已知復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m取何實(shí)數(shù)值時，復(fù)數(shù)z[分析]嫻熟駕馭復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)表示各類數(shù)的條件是嫻熟解答復(fù)數(shù)問題的前提．[解](1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－1＝0，,m2＋2m－3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝1，,m＝－3或m＝1，))所以m＝1，即當(dāng)m＝1時，復(fù)數(shù)z為零．(2)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－1＝0，,m2＋2m－3≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝1，,m≠－3且m≠1，))所以m＝0，即m＝0時，z為純虛數(shù)．(3)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－1＝2，,m2＋2m－3＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2或m＝－1，,m＝－4或m＝2，))所以m＝2，所以當(dāng)m＝2時，復(fù)數(shù)z為2＋5i.當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部含有字母時，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行分類探討.分別確定什么狀況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).當(dāng)x＋yi沒有說明x，y∈R時，也要分狀況探討.[變式訓(xùn)練1]已知復(fù)數(shù)z＝a2－a－6＋eq\f(a2＋2a－15,a2－4)i，分別求出滿意下列條件的實(shí)數(shù)a的值：(1)z是實(shí)數(shù)；(2)z是虛數(shù)；(3)z是0.解：(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠得a＝－5或a＝3，∴當(dāng)a＝－5或a＝3時，z為實(shí)數(shù)．(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠得a≠－5且a≠3且a≠±2，∴當(dāng)a≠－5且a≠3且a≠±2時，z是虛數(shù)．(3)由a2－a－6＝0，a2－4≠0且a2＋2a－15＝0，得a∴當(dāng)a＝3時，z＝0.eq\a\vs4\al(專題二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算)[例2](1)設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝()A．－2B．－2iC．2D．2i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意(z－2i)(2－i)＝5，則z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i[分析]復(fù)數(shù)的加減法是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減，而乘法類比多項式乘法，除法類比根式的分母有理化，要留意i2＝－1.[解析](1)因為z＝1＋i，所以eq\x\to(z)＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2－i,－i2)＝1－i，所以eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2，故選C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋eq\f(5,2－i)＝2i＋eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝2i＋2＋i＝2＋3i.故選A.[答案](1)C(2)A[變式訓(xùn)練2]已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－i2＋31＋i,2－i).(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：(1)z＝eq\f(－2i＋3＋3i,2－i)＝eq\f(3＋i,2－i)＝eq\f(3＋i2＋i,5)＝1＋i.(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,2＋a＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝4.))eq\a\vs4\al(專題三復(fù)數(shù)相等的充要條件)[例3]設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2[分析]復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的重要依據(jù)，是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化這一重要數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)．[解析]因為(1＋i)x＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi.又因為x，y∈R，所以x＝1，y＝x＝1.所以|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，故選B.[答案]B1對于兩個復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋dia，b，c，d∈R.規(guī)定a＋bi＝c＋di相等的充要條件是a＝c，b＝d.,2依據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義知，在a＝c，b＝d兩式中，假如有一個不成立，那么a＋bi≠c＋di.[變式訓(xùn)練3]已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，x＋(y－2)i＝eq\f(2,1＋i)，則x＋y＝2.解析：x＋(y－2)i＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y－2＝－1，))解得x＝1，y＝1，則x＋y＝2.eq\a\vs4\al(專題四數(shù)形結(jié)合思想)[例4]若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，則|z－2－2i|的最小值是()A．2B．3C．4D．5[分析]復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法，即通過幾何圖形來探討代數(shù)問題．嫻熟駕馭復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、以原點(diǎn)為起點(diǎn)的平面對量和復(fù)數(shù)三者之間的對應(yīng)關(guān)系，就能有效地利用數(shù)形轉(zhuǎn)換來解決實(shí)際問題．[解析]設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z＋2－2i|＝|x＋2＋(y－2)i|＝1表示圓心為A(－2,2)，半徑為1的圓，而|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|表示圓A上的點(diǎn)到B(2,2)的距離，如圖所示，明顯其最小值為|AB|－1＝4－1＝3.[答案]B復(fù)數(shù)既可用代數(shù)形式或三角形式表示，也可與向量、點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系，使復(fù)數(shù)的運(yùn)算具有了幾何意義.因此，在解決某些復(fù)數(shù)問題時，若能以形助數(shù)則可使解答直觀、簡捷.[變式訓(xùn)練4]已知復(fù)數(shù)z的模為1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．解：因為復(fù)數(shù)z的模為1，所以z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為