2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.5第2課時(shí)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-第2課時(shí)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問學(xué)問點(diǎn)1全稱量詞命題的否定全稱量詞命題p?p結(jié)論?x∈M，p(x)__?x∈M，?p(x)__全稱量詞命題的否定是存在量詞命題思索1：用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？提示：不唯一，如“全部的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“存在一個(gè)菱形不是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．學(xué)問點(diǎn)2存在量詞命題的否定存在量詞命題p?p結(jié)論?x∈M，p(x)__?x∈M，?p(x)__存在量詞命題的否定是全稱量詞命題思索2：一般命題的否定與含有一個(gè)量詞的命題的否定相同嗎？提示：(1)一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個(gè)命題；含有一個(gè)量詞的命題的否定，是在否定結(jié)論p(x)的同時(shí)，變更量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．(2)與一般命題的否定相同，含有一個(gè)量詞的命題的否定的關(guān)鍵也是對(duì)關(guān)鍵詞的否定．因此，對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定，應(yīng)依據(jù)命題所敘述對(duì)象的特征，挖掘其中的量詞并按要求變更量詞．基礎(chǔ)自測1．寫出下列命題的否定：(1)?n∈Z，n∈Q；(2)隨意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；(3)每個(gè)平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形．[解析](1)?n∈Z，n?Q；(2)存在一個(gè)奇數(shù)的平方不是奇數(shù)；(3)存在一個(gè)平行四邊形不是中心對(duì)稱圖形．2．寫出下列命題的否定：(1)有些三角形是直角三角形；(2)有些梯形是等腰梯形；(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的肯定值不是正數(shù)．[解析](1)隨意三角形都不是直角三角形；(2)全部的梯形都不是等腰梯形；(3)隨意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的肯定值都是正數(shù)．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一全稱量詞命題的否定例1寫出下列全稱量詞命題的否定：(1)任何一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊都平行；(2)?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有實(shí)數(shù)根；(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.[分析]把全稱量詞改為存在量詞，然后否定結(jié)論．[解析](1)存在一個(gè)平行四邊形，它的對(duì)邊不都平行．(2)?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0沒有實(shí)數(shù)根．(3)?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.[歸納提升]1.全稱量詞命題的否定的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)寫出全稱量詞命題的否定的關(guān)鍵是找出全稱量詞命題的全稱量詞和結(jié)論，把全稱量詞改為存在量詞，結(jié)論變?yōu)榉穸ǖ男问骄偷玫矫}的否定．(2)有些全稱命題省略了量詞，在這種狀況下，千萬不要將否定寫成“是”或“不是”．2．常見詞語的否定詞語詞語的否定等于不等于大于不大于(即小于或等于)小于不小于(即大于或等于)是不是都是不都是【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?寫出下列全稱量詞的否定：(1)?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)；(3)全部分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)；(4)隨意兩個(gè)等邊三角形都相像．[解析](1)該命題的否定：?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.(2)該命題的否定：存在一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，不等于這個(gè)數(shù)．(3)該命題的否定：存在一個(gè)分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)．(4)該命題的否定：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相像．題型二存在量詞命題的否定例2寫出下列存在量詞命題的否定，并推斷其真假．(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；(2)q：存在x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0；(3)r：有些分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)．[分析]把存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論．[解析](1)隨意x∈R,2x＋1<0，為假命題．(2)隨意x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0.因?yàn)閤2－x＋eq\f(1,4)＝(x－eq\f(1,2))2≥0，所以是真命題．(3)一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，是真命題．[歸納提升]1.存在量詞命題否定的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法：與全稱量詞命題的否定的寫法類似，要寫出存在量詞命題的否定，先確定它的存在量詞，再確定結(jié)論，然后把存在量詞改寫為全稱量詞，對(duì)結(jié)論作出否定就得到存在量詞命題的否定．(2)關(guān)注點(diǎn)：留意對(duì)不同的存在量詞的否定的寫法，例如，“存在”的否定是“隨意的”，“有一個(gè)”的否定是“全部的”或“隨意一個(gè)”等．2．對(duì)省略量詞的命題的否定對(duì)于一個(gè)含有量詞的命題，簡單知道它是全稱量詞命題或存在量詞命題，可以干脆寫出其否定，而對(duì)省略量詞的命題在寫命題的否定時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)命題中所敘述的對(duì)象的特征，挖掘其隱含的量詞，確定是全稱量詞命題還是存在量詞命題，先寫成全稱量詞命題或存在量詞命題的形式，再對(duì)其進(jìn)行否定．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?推斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)某些梯形的對(duì)角線相互平分；(2)?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)；(3)在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等；(4)存在k∈R，函數(shù)y＝kx＋b隨x值的增大而減?。甗解析](1)假命題．隨意一個(gè)梯形的對(duì)角線都不相互平分．(2)真命題．?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是有理數(shù)．(3)真命題．在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角不相等．(4)真命題．隨意k∈R，函數(shù)y＝kx＋b不隨x值的增大而減?。`區(qū)警示寫命題的否定時(shí)忽視隱含的量詞例3寫出下列命題的否定：(1)可以被5整除的數(shù)，末位是5；(2)能被3整除的數(shù)，也能被4整除．[錯(cuò)解](1)可以被5整除的數(shù)，末位不是5；(2)能被3整除的數(shù)，不能被4整除．[錯(cuò)因分析]對(duì)于(1)，原命題為假命題，錯(cuò)解中命題的否定也是假命題，故此命題的否定不正確，(2)的錯(cuò)誤與(1)相仿．事實(shí)上，(1)(2)均為省略了全稱量詞的全稱量詞命題，因此寫其否定時(shí)，要補(bǔ)全量詞，不能只否定結(jié)論，不變更量詞．[正解](1)省略了全稱量詞“任何一個(gè)”，命題的否定為：有些可以被5整除的數(shù)，末位不是5.(2)省略了全稱量詞“全部”，命題的否定為：存在一個(gè)能被3整除的數(shù)，不能被4整除．[方法點(diǎn)撥]由于全稱量詞往往省略不寫，因此在寫這類命題的否定時(shí)，必需找出其中省略的全稱量詞，寫成“?x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定寫成“?x∈M，?p(x)”的形式．要學(xué)會(huì)挖掘命題中隱含的量詞，留意把握每一個(gè)命題的實(shí)質(zhì)，寫出命題的否定后可以結(jié)合它們的真假性(一真一假)進(jìn)行驗(yàn)證．課堂檢測·固雙基1．命題“對(duì)于隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(D)A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．對(duì)隨意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0[解析]全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故解除C；由命題的否定只否定結(jié)論，不否定條件，可解除A，B．2．命題“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(D)A．?x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．?x∈R，x3－2x＋1＝0D．?x∈R，x3－2x＋1≠0[解析]存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故解除A；由命題的否定要否定結(jié)論，可解除C；由存在量詞“?”應(yīng)改為全稱量詞“?”，可解除B．3．寫出下列命題的否定：(1)?x∈R，|x|＋1－x≠0；(2)?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象經(jīng)過原點(diǎn)．[解析](1)命題的否定：?x∈R，|x|＋1－x＝0.(2)命題的否定：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)．4．寫出下列命題的否定，并推斷其真假．(1)p：每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(2)p：與同一條直線垂直的兩條直線平行；(3)p：有些實(shí)數(shù)的肯定值是正數(shù)；(4)p：某些平行四邊形是菱形．[解析](1)由于全稱量詞“每一個(gè)”的否定為“存在一個(gè)”，因此?p：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)，是真命題