高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第22講 2.2.4點到直線的距離

.2.4點到直線的距離TOC\o"1-3"\h\u題型1直線的交點個數(shù)問題 2題型2平面兩點之間的距離 6◆類型1求兩點間距離問題 6◆類型2求解點坐標問題 10◆類型3兩點間距離公式求最值問題 13題型3點到直線的距離 15◆類型1求點到直線的距離 15◆類型2直線上的點到定點距離最小問題 17◆類型3兩點到直線距離相等問題 18◆類型4直線到定點距離最大問題 24◆類型5點到直線距離公式的應用 27題型4兩條平行線之間的距離 31◆類型1兩條平行線之間的距離 31◆類型2與平行線距離相等的直線問題 34◆類型3平行線被第三條直線所截問題 35◆類型4兩平行線距離最大問題 38題型5點與點之間的對稱問題 42題型6點關(guān)于直線的對稱問題 42題型7直線關(guān)于點對稱問題 46題型8直線關(guān)于直線的對稱問題 50◆類型1兩條直線相交時 50◆類型2兩條直線平行時 52題型9反射光線問題 54題型10將軍飲馬求最值問題 58◆類型1和最小問題 58◆類型2差最大問題 65知識點一.兩點間的距離定義：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝（知識點二.點到直線的距離1.點到直線的距離公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.點到特殊直線的距離公式點P0(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d＝|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d＝|x0-b|.知識點三.兩條平行直線之間的距離1.兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.2.兩條平行線之間的距離公式兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))題型1直線的交點個數(shù)問題【例題1】（2022秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區(qū)第一中學?？计谥校┡袛嘞铝懈鲗χ本€的位置關(guān)系.若相交，求出交點坐標；若平行，求出兩線間的距離：(1)l1：2x+y+3=0(2)l1：x+y+2=0，【答案】(1)相交，交點坐標為(?1,?1)；(2)平行，兩線間的距離為24【分析】（1）求出直線l1，l（2）求出直線l1，l【詳解】（1）直線l1：2x+y+3=0的斜率k1=?2k1≠k2，因此直線由2x+y+3=0x?2y?1=0解得：所以直線l1，l2相交，交點坐標為（2）直線l1：x+y+2=0的斜率直線l2：2x+2y+3=0，即x顯然k3=k4,b3所以直線l1，l2平行，它們間的距離為【變式1-1】1.（2021秋·高二課時練習）若點A(2,?3)是直線a1x+b1yA．2x?3yC．2x?3y【答案】A【分析】根據(jù)點與直線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】因為A(2,?3)是直線a1x所以2a1?3所以兩點a1,b1和故兩點a1,b1和故選:A.【變式1-1】2.（2022·高二課時練習）曲線y=x與A．最多有兩個交點 B．兩個交點C．一個交點 D．無交點【答案】A【分析】聯(lián)立兩條直線的方程得到二次方程，再根據(jù)判別式分析即可【詳解】聯(lián)立兩條直線方程得：y=|x|y=kx+1得到|x|=kx+1，兩邊平方得：k2－1x2故選：A【變式1-1】3.（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學?？茧A段練習）直線3x?(kA．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠?9 C．k≠1或k【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.【詳解】因直線3x?(k+2)y即(k+9)(k?1)≠0，解得所以實數(shù)k的值為k≠1且k故選：D【變式1-1】4.（2023秋·高二課時練習）使三條直線4xA．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】根據(jù)題設，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點，分別求出對應m值，進而驗證是否滿足題設，即可得答案.【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若4x+y?4=0,mx若mx+y=0,2若4x+y?4=0,2x若三條直線交于一點，4x+y?4=0mx經(jīng)檢驗知：m∈{?1,?故選：B【變式1-1】5.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線l1:ax+y

【答案】a≠±1且【分析】由題意可分直線l1//l2、l2//l【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．①若l1//l2，則由②若l2//l3，則由③若l1//l3，則由當a=1時，l1,l2與l④若三條直線交于一點，由x+ay+1=0將l2,l3的交點解得a=1(舍去)，或a所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a【變式1-1】6.（2022·高二課時練習）關(guān)于x?y的二元一次方程組7x【答案】-35【解析】由x?y的二元一次方程組7x?by=3ax【詳解】因為x?y的二元一次方程組7x所以直線7x?by所以7a=?所以ab=?35故答案為：-35【變式1-1】7.（2022·高二校聯(lián)考課時練習）若關(guān)于x，y的方程組x+2【答案】a≠6/【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程a?6【詳解】由x+2y=4由關(guān)于x，y的方程組x+2可得方程a?6y故答案為：a題型2平面兩點之間的距離◆類型1求兩點間距離問題【例題2-1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點A7,4，BA．25 B．5C．4 D．7【答案】B【分析】由兩點間的距離公式求解即可.【詳解】由兩點間的距離公式得AB=故選：B.【變式2-1】1.（四川省巴中市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題）復平面內(nèi)復數(shù)z1=8+5i，【答案】5【分析】先求出兩點坐標，再用兩點間距離公式求解.【詳解】在復平面內(nèi)，復數(shù)z1=8+5i，對應的兩點的坐標分別為(8,5)，(4,2)，則兩點間的距離為(8?4)2故答案為：5.【變式2-1】2.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l1:3ax?y?2=0和直線l2【答案】13【分析】求出直線l1、l2所過定點的坐標，再利用平面內(nèi)兩點間的距離公式可求得【詳解】將直線l1的方程變形為3ax?y+2=0，由將直線l2的方程變形為a由2x+5y=0x所以，AB=故答案為：135【變式2-1】3.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2,?1)，則A與B坐標分別為________，AB【答案】A4,0，B0,?2【分析】設Ax,0，B0,【詳解】設Ax,0，因為AB中點P(2,?1)所以x2=2y2=?1所以A4,0，B所以AB=故答案為：A4,0，B0,?2；【變式2-1】4.（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知A5,?1，B1,1，C2,3A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)兩點間的距離公式計算出AB，AC，BC的長度即可判斷【詳解】∵A(5,?1)，B(1,1)∴|AB|AC|=5，∴|AB∴△ABC故選：A．【變式2-1】5.(多選)（2023春·江蘇南通·高一期末）對于兩點A(x1,yA．若點C是線段AB的中點，則ABB．在△ABC中，若∠CC．在△ABC中，D．在正方形ABCD中，有AB【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義A(x1,y【詳解】A中，若點C是線段AB的中點，則點C坐標為(x則2||AC||=2|xB中，因為ΔABC中，若∠C=900則||AC||=|x||AB故||AC||顯然||AC對于C，設C(x3因為|x同理|y所以AC+D中，因為ABCD為正方形，設正方形邊長為a，可取A(0,則||AB||=|0?0|+|a故選：ACD.◆類型2求解點坐標問題【例題2-2】（2023秋·高二課時練習）已知A(?1,2),B(0,4)A．?112,0 B．0,?112 【答案】D【分析】設Ca,0，因為【詳解】因為點C在x軸上，設點Ca,0，則所以a+1化簡可得：a=112故選：D.【變式2-2】1.（2023秋·高二課時練習）若A(?2,?3),B(1,1)，點P【答案】?【分析】因為點P(a,2)【詳解】因為A(?2,?3),B(1,1)所以AP=BP解得：a=?故答案為：?9【變式2-2】2.（2023·全國·高三專題練習）寫出一個同時滿足下列條件①②的點的坐標______.①該點的橫、縱坐標均為正整數(shù)；②該點到點A?2,?2的距離比到點B【答案】1,2（答案不唯一，1,2或2,1任寫一個即可）【分析】設該點為x0,y0，由已知條件根據(jù)兩點距離公式列式并化簡計算得x0【詳解】設該點為x0,y即x0即x0+且x0+y又x0∈N?，y0故答案為：1,2（答案不唯一，1,2或2,1任寫一個即可）【變式2-2】3.（2023秋·高二課時練習）在直線2x?y【答案】P(2,4)或P325,64【分析】利用點在直線上和兩點距離建立方程組求解點的坐標，求出斜率，代入點斜式求解直線方程.【詳解】設P(m,n)，由題意2所以P(2,4)或32當P(2,4)時，直線PM的斜率k因此直線PM方程為y?4=43當P325,因此直線PM方程為y?8=247【變式2-2】4.（多選）（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學校考模擬預測）已知直線l1:2x+y?6=0和點A(1,?1)，過點A作直線lA．x=1 B．C．3x+4y【答案】AC【分析】設點Bx0,6?2【詳解】因為點B在直線l1：2x+因為A(1,?1)，則AB=x0?1則B點坐標為(1,4)或(5,?4)，當B點坐標為(1,4)時，直線l2的方程為x當B點坐標為(5,?4)時，直線l2的方程為y+1?4+1故選：AC.【變式2-2】5.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知定點A(0,0),B(1,0)，若直線y=kx上總存在點P【答案】?1,1【分析】由題意設P(x,kx)，則由PA【詳解】因為點P在直線y=所以可設P(由PA=2PB由兩點間的距離公式可得x整理可得(k由Δ=16?8(k2+1)≥0即實數(shù)k的取值范圍為?1,1，故答案為：?1,1◆類型3兩點間距離公式求最值問題【例題2-3】（2022秋·河南濮陽·高二濮陽南樂一高校考階段練習）函數(shù)fx【答案】41【分析】根據(jù)兩點距離公式的幾何意義可得fx表示P(x,0)到點A(1,3),B(5,2)距離之和，作點A【詳解】fx=x根據(jù)兩點距離公式的幾何意義得，函數(shù)fx表示P(x如圖所示，作出點A關(guān)于x軸的對稱點A1連接A1B，交x軸于點P1可得PA+又由PA當且僅當點P與P1所以PA+PB=P故答案為：41【變式2-3】1.（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?bA．3 B．22+1 C．23【答案】D【分析】把目標式進行轉(zhuǎn)化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.【詳解】x2可以看作點Px,0到點作點A關(guān)于x軸的對稱點A′0,?1，顯然當最小值為B,A′故選：D.【變式2-3】2.（2022秋·甘肅嘉峪關(guān)·高二校考期中）函數(shù)fx【答案】5【分析】依題意可得fx=x+12+0?22+x?32+0?12，設A?1,2，B3,1【詳解】解：因為f=x設A?1,2，B3,1，Px,0，則fx表示點Px,0點P是x軸上的點，則點A關(guān)于x軸的對稱點為A′?1,?2，則所以PA+PB=PA故答案為：5題型3點到直線的距離【方法總結(jié)】應用點到直線的距離公式應注意的三個問題直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式.點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用.（3）直線方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立，但由于直線是特殊直線（與坐標軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合求解.◆類型1求點到直線的距離【例題3-1】（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）點2,?1到直線x?【答案】3【分析】根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由點到直線的距離公式，可得點2,?1到直線x?y+3=0故答案為：32【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習）點P52,?2【答案】5【分析】根據(jù)點到直線的距離公式直接求解即可.【詳解】點P52,?2到直線2故答案為：5.【變式3-1】2.（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期中）已知△ABC的三個頂點A?3,0，B2,1(1)求直線BC的方程；(2)求△ABC【答案】(1)x(2)7【分析】（1）首先求出BC的斜率，再由點斜式求出直線方程；（2）求出點A到直線BC的距離，再求出BC的長度，最后由面積公式計算可得.【詳解】（1）因為B2,1，C所以kBC=3?1?2?2=?（2）點A?3,0到直線BC的距離dBC=則S△【變式3-1】3.（2022秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標為A?2,?1、B4,1、(1)求AD所在的直線方程；(2)求平行四邊形ABCD的面積.【答案】(1)x(2)16【分析】（1）分析可知AD//BC，則kAD=k（2）求出直線BC的方程，可計算得出點A到直線BC的距離，并求出BC，再利用平行四邊形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因為四邊形ABCD為平行四邊形，則AD//BC，則所以，直線AD的方程為y+1=?x+2（2）解：直線BC的方程為y?1=?x?4，即x點A到直線BC的距離為d=所以，平行四邊形ABCD的面積為S?◆類型2直線上的點到定點距離最小問題【例題3-2】（2023秋·高二課時練習）在函數(shù)y=4x2【答案】41717【分析】設Pm,4m2，利用導數(shù)的幾何意義得到過點P的切線斜率k=8m，當過點P的切線平行于直線y=4x?5【詳解】設Pm又y′=8x，則過點P當過點P的切線平行于直線y=4x?5時，點P即8m=4，解得：m=它到直線y=4x?5故答案為：417【變式3-2】1.（2021春·廣西南寧·高二校考階段練習）直線2x【答案】5【分析】利用點到直線的距離公式即可得出．【詳解】直線l:2x+故答案為：5．【變式3-2】2.（2021秋·江西九江·高二?？茧A段練習）若點P(x,y)在直線xA．10 B．22 C．42【答案】B【分析】求出點O到直線的距離即得解.【詳解】∵點P(x,∴OP的最小值是點O到直線的距離|0+0?4|故選：B．◆類型3兩點到直線距離相等問題【例題3-3】（2023·全國·高三對口高考）過點P0,1且和A【答案】2x+【分析】當斜率不存在時，驗證不滿足條件；當若斜率存在時，設直線方程為kx?y+1=0【詳解】若斜率不存在時，過點P(0,1)的直線為x若斜率存在時，設過點P(0,1)的直線l:y根據(jù)題意，可得|3k?3+1|k2+1當k1=?2時，直線方程為當k2=0綜上可得，直線方程為2x+y故答案為：2x+【變式3-3】1.（2023·高三課時練習）已知點A?1,2,B【答案】x?y【分析】根據(jù)直線l過AB中點或與直線AB平行求得正確答案.【詳解】依題意，A,B到直線AB的中點為0,3，當l過0,3以及M?2,?3直線l的方程為y=直線AB的斜率為2?4?1?1當直線l過M?2,?3并與AB直線l的方程為y+3=1×綜上所述，直線l的方程為x?y?1=0故答案為：x?y【變式3-3】2.（2023春·湖南長沙·高二瀏陽一中?？奸_學考試）已知A(?2,0),B(4,a)A．2 B．92 C．2或?8 D．2或【答案】D【分析】分A(?2,0),B(4,【詳解】（1）若A(?2,0),B(4,則kAB=kl=（2）若A(?2,0),B(4,則A(?2,0),B(4,a)所以4?2a=0解得故選:D.【變式3-3】3.（多選）（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┮阎狝3,4,B?6,?3AA．?79 B．97 C．【答案】AD【分析】直接利用兩點距離公式列方程計算即可.【詳解】∵A3,4,∴3a+4+1a2故選：AD.【變式3-3】4.（2022秋·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中）已知A3,1，B?1,5兩點到直線l：ax+【答案】1或?4【分析】利用點到直線的距離公式列方程求解可得.【詳解】由題意得3a+1+1a所以3a+2=?a解得a=1或?4故答案為：1或?4.【變式3-3】5.（2021秋·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學校考階段練習）求解下列問題：(1)求過點P?2,0，且與點A(2)已知點A3,3、B5,2到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1:3x【答案】(1)x=?2或(2)x+2y【分析】（1）根據(jù)所求直線的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合A到直線的距離為1求得直線方程.（2）先求得直線l1與l2的交點，然后根據(jù)l與AB平行或過AB的中點求得直線【詳解】（1）當直線的斜率不存在時，直線方程為x=?2，點A當直線斜率存在時，設直線方程為y=即kx?y+2所以?k?2+2k所以直線方程為34x?綜上，所求直線方程為x=?2或3（2）解方程組3x?y當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，A，B到直線l所以直線l的斜率存在，①若A、B在直線l的同側(cè)，則l//AB，∴直線l的方程是：y?2=?12②若A、B分別在直線l的異側(cè)，則直線l過線段AB的中點4,5∴直線l的兩點式方程是y?2x?1綜上，直線l的方程是x+2y?5=0【變式3-3】6.（2020秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學?？计谥校┮阎cA(1,2),(1)若A,B兩點到直線l的距離都為52(2)若A,B兩點到直線l的距離都為m(m>0)【答案】(1)直線l的方程為y=?34x(2)當m<52時，有4條直線符合題意，當m【分析】（1）到A,B兩點距離相等的直線有在A,B同側(cè)和在A,B之間兩種情況：在A,B同側(cè)時即和直線AB平行，由斜率和距離求解直線l的方程即可；在（2）同（1）中分析，當A,B兩點到直線l的距離恰為AB長度的一半時，A,B之間的直線l恰有一條；當A,B兩點到直線l的距離小于AB長度的一半時，這樣的直線l有2條；當【詳解】（1）當A，B在直線l同側(cè)時，由于A,B兩點到直線即kl設直線l的方程為y=?34+2?b1+故直線l的方程為y=?34當A，B在直線l兩側(cè)時，因為AB=所以到A,B兩點距離都為此時，直線l經(jīng)過AB的中點M(3,12)，且故直線l的方程為y=化簡得y=綜上：直線l的方程為y=?34x+（2）由（1）知，當m=處于A，B兩點之間的直線l恰有1條，而處于A，B兩點同側(cè)，即平行于直線AB的直線l有2條，故共有3條；當m<處于A，B兩點之間的直線l有2條，平行于直線AB的直線l有2條，故共有4條；當m>平行于直線AB的直線l有2條，故共有2條.綜上：當m<52時，有4條直線符合題意，當m◆類型4直線到定點距離最大問題【例題3-4】（2022秋·河北秦皇島·高二校考期中）過點A(1，2)且與原點距離最大的直線方程是（

）A．x+2y?5=0C．x+3y?7=0【答案】A【分析】判斷哪條直線與直線OA垂直即得．【詳解】kOA=21=2，四個選項中的直線，只有直線x+2y故選：A．【變式3-4】1.（2022·江蘇·高二專題練習）已知直線l經(jīng)過直線2x+y﹣5＝0與x﹣2y＝0的交點P.(1)點A（5，0）到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點A（5，0）到直線l的距離的最大值，并求距離最大時的直線l的方程.【答案】(1)x＝2或4x﹣3y﹣5＝0(2)dmax＝10，此時直線l的方程為：3x﹣y﹣5＝0【分析】（1）因為經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為：（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）＝0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5＝0，所以10+5λ（2）由2x（1）因為經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為：（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）＝0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5＝0，所以10+5λ?5(2+所以直線l的方程為x＝2或4x﹣3y﹣5＝0.（2）由2x如圖，過P作任一直線l，設d為點A到直線l的距離，則d≤|PA|（當l⊥PA時等號成立）所以dmax＝|PA|=10【變式3-4】2.（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校校考期中）已知直線l1：ax+y+1=0過定點P，則點P到直線A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】本題首先求出P0,?1，然后發(fā)現(xiàn)直線l2：y=kx+1恒過定點Q?1,0，由圖可得點P到直線l【詳解】由題意知，直線l1：ax+y直線l2：y=k過P0,?1作l2的垂線段PH，垂足為那么必有PH≤PQ，當且僅當Q與從而PH的最大值為PQ=即點P到直線l2：y=k故選：D.

【變式3-4】3.（2022秋·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學?？茧A段練習）已知直線l經(jīng)過點P(1,2)(1)當原點O到直線l的距離最大時，求直線l的方程；(2)設直線l與坐標軸交于A,B兩點，且P為AB的中點，求直線【答案】(1)x(2)2【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，求出直線l的斜率，再結(jié)合直線l經(jīng)過點P(1,2)（2）根據(jù)已知條件，先求出點A，B，再結(jié)合直線的截距式方程，即可求解．【詳解】（1）解：當原點O到直線l的距離最大時，則當直線OP與直線l垂直時，原點O到直線l的距離最大，∵P(1,2)，∴k∴kl∵直線l經(jīng)過點P(1,2)∴y?2=?1故直線l的方程為x+2（2）解：∵直線l與坐標軸交于A，B兩點，且P(1,2)為AB∴不妨設A(2,0)，B故直線l的方程為x2+y◆類型5點到直線距離公式的應用【例題3-5】（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a>0,b<0A．[?2,?1) B．(?2,?1)C．(?2.?1] D．[?2,?1]【答案】A【分析】根據(jù)題意設直線l：ax+by=0，點A1,?3，利用點到直線的距離公式得點A到直線l的距離為d=a?3【詳解】根據(jù)題意，設直線l：ax+by=0那么點A1,?3到直線l的距離為：因為a>0,b<0，所以d=a當直線l的斜率不存在時，d=a?當OA⊥l時，所以1<d≤2，即因為3b?a故選：A.【變式3-5】1.（2023·全國·高三專題練習）若恰有三組不全為0的實數(shù)對(a,b)滿足關(guān)系式【答案】52或75【分析】化簡得到|a+b【詳解】由已知得t>0，整理得|看成有且僅有三條直線滿足A(1,1)和B(4,?3)到直線又AB=（1）當t=|AB|2=52，此時易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線（2）當t<|AB|2所以當其中一條直線過原點時，會作為增根被舍去．設點A到l的距離為d，①作為增根被舍去的直線l，過原點和A，B的中點M(52,?1)，其方程為②作為增根被舍去的直線l，過原點且與AB平行，其方程為4x+3y綜上，滿足題意的實數(shù)t為52或75故答案為：52或75【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是化簡得到|a+b+1|a2+【變式3-5】2.（2021·全國·高二期中）求適合下列條件的直線l的方程：（1）直線l在兩坐標軸上的截距相等，且P4,3到直線l的距離為3（2）直線l經(jīng)過點P2,?5且與點A3,?2和點B?1,6【答案】（1）答案見解析；（2）x+y+3=0【分析】（1）對直線l是否過原點進行分類討論，設出直線l的方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)的值，進而可得出直線l的方程；（2）對直線l的斜率是否存在進行分類討論，設出直線l的方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)的值，由此可得出直線l的方程.【詳解】（1）若直線l過原點，可設直線l的方程為y=由題意可得4k?3k若直線l不過原點，可設直線l的方程為xa+y由題意可得7?a2=32，解得綜上所述，直線l的方程為y=?12+342x或y（2）若直線l的斜率不存在，直線l的方程為x=2此時，點A、B到直線l的距離分別為1、3，不合乎題意；若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y+5=kx由已知條件可得3k+2?2k?5k2+1綜上所述，直線l的方程為?x?y?3=0或?17x【點睛】易錯點點睛：本題考查利用點到直線的距離求直線方程，需要注意以下兩點：（1）求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應對斜率存在與不存在加以討論；（2）在用截距式時，應先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論.【變式3-5】3.（2021秋·河南·高一校聯(lián)考期末）已知直線l經(jīng)過兩直線l1:3x?y（1）求直線l的方程；（2）若第一象限內(nèi)的點Pa,b到x軸的距離為2，到直線l的距離為2【答案】（1）2x【解析】（1）求出l1（2）由點到直線距離公式列出關(guān)于a,【詳解】（1）由3x?y+12=03由l與直線x?2y?3=0∴l(xiāng)方程為y?6=?2(x+2)（2）∵第一象限內(nèi)的點Pa,b到x軸的距離為2，所以b又P到直線l的距離為25，所以2a+2?222∴a+【變式3-5】4.（2016秋·四川綿陽·高二周測）在△ABC中，A(m,2)，B(-3,-1)，C(5,1)，若BC的中點M到AB的距離大于M到AC的距離，則實數(shù)m的取值范圍_______________．【答案】m＜1【詳解】試題分析：因為B(-3,-1)，、C(5,1)可得，中點M(1,0)，由A(m,2)，B(-3,-1)，可得kAB=3m+3，所以直線y+1=3m+3(x+3)，即直線AB的方程為3x?(m+3)y?m+6=0，又由A(m,2)，C(5,1)，可得考點：點到直線的距離公式．【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式、不等式的求解，其中解答中涉及到了直線的斜率公式、直線的點斜式方程的應用、點到直線的距離公式和不等式的求解等知識點的應用，試題運算繁瑣，需認知、細致的計算，屬于中檔試題，注重考查了學生的推理與運算能力．題型4兩條平行線之間的距離【方法總結(jié)】對兩條平行直線之間的距離公式的理解1.求兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，也可以利用公式.2.利用公式求平行線之間的距離時，兩條直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對應相等.3.當兩條直線都與x軸（或y軸）垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決.◆類型1兩條平行線之間的距離【例題4-1】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）已知直線?3x+4yA．1 B．2 C．12 【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)m的值，再將直線方程化為x、y對應系數(shù)一致，最后利用距離公式計算可得.【詳解】因為直線?3x+4y所以?3m=4×6，解得所以直線6x+my?14=0，即所以兩平行線之間的距離d=故選：B【變式4-1】1.（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）若平面內(nèi)兩條平行線l1：x+a?1y+2=0，l2A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【分析】根據(jù)直線平行，求得a的值，結(jié)合兩平行線的距離公式，即可求解.【詳解】因為兩直線l1：x+a?1y可得1×2=(a?1)×a且1×1≠2a，解得當a=2時，l1:x+可兩平行線間的距離為d=當a=?1時，l1:x?2可兩平行線間的距離為d=故選：A.【變式4-1】2.（2023秋·高一單元測試）若兩條平行直線l1:x?2y+m【答案】3【分析】由兩直線平行列方程求出n，再由兩平行線間的距離公式列方程可求出m的值，從而可求出結(jié)果.【詳解】因為直線l1:x所以21=n?2≠所以直線l2為2直線l1:x因為兩平行線間的距離為25所以2m?(?6)2因為m所以2m+6=20，得所以m+故答案為：3【變式4-1】3.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線l1:2x?3y(1)求a的值；(2)求兩平行線l1與l【答案】(1)1(2)6【分析】（1）由兩直線平行，可得23=a（2）先將直線l2【詳解】（1）因為直線l1:2x?3y所以23=（2）由（1）知l2的方程為x?3所以l1與l2之間的距離為【變式4-1】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若動點A，B分別在直線l1:x+y?7=0和直線【答案】3【分析】由題意線段AB的中點M的集合為與直線l1:x+y?7=0和直線l2【詳解】由題意線段AB的中點M的集合為與直線l1:x+y則M到原點距離最小值為原點到l的距離，設直線l:則|m解得m=?6所以l:根據(jù)點到直線的距離公式可得，M到原點的距離的最小值為62故答案為：32◆類型2與平行線距離相等的直線問題【例題4-2】（2021·高二課時練習）已知直線l與直線l1:2x【答案】2【分析】設直線l的方程為2x【詳解】設直線l的方程為2x?y+c=0(c故直線l的方程為2x故答案為：2【點睛】此題考查兩平行線間的距離公式的應用，屬于基礎題【變式4-2】（2023秋·高二課時練習）已知直線l到兩條平行直線2x+y【答案】2【分析】由平行直線系設直線l的方程，由平行線間的距離公式列式求解即可．【詳解】解：依題意設直線l的方程為2x+y則|m?1|5=|所以直線l的方程為2x故答案為：2◆類型3平行線被第三條直線所截問題【例題4-3】（2022秋·遼寧大連·高二育明高中校考階段練習）若直線m被兩平行線l1：x?y+1=0與l2A．π12 B．π6 C．π4【答案】A【分析】可設直線m的方程為y=kx，根據(jù)題設條件可得關(guān)于【詳解】因為平行直線截l1、l2的線段總是相等，故可設直線若直線m的斜率不存在，此時直線m的方程為：x=0此時直線m截l1、l2的線段長為若直線m的斜率存在，設直線m的方程為y=由y=kxx由y=kxx故直線m截l1、l2的線段長為解得k=2±因為tanπ12=tan故選：A.【變式4-3】1.（2021秋·天津濱海新·高二天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？茧A段練習）若斜率為2的直線m被直線l1：x+2y－3=0與l2：x+2y+1=0所截得的線段為AB，則線段AB的長為___________．【答案】4【分析】利用斜率之間的關(guān)系判斷直線m與直線l1，l2垂直，然后由兩條平行直線間的距離公式求解即可．【詳解】直線l1：x+2y－3=0與l2：x+2y+1=0得斜率為?1直線m的斜率為2，故直線m與直線l1，l2垂直，由兩條平行直線的距離公式可得|AB故答案為：45【變式4-3】2.（2023春·上海楊浦·高二校考期中）若直線m被兩平行線l1:3x?【答案】30°或90°【分析】根據(jù)兩平行線間的距離與2的比較可得直線m和兩平行線的夾角為60°，再根據(jù)傾斜角的關(guān)系求解即可．【詳解】設直線m與兩平行線l1,l2的交點分別為C,A，過兩平行線間的距離d=1?3?32所以直線m與兩平行線的夾角θ滿足sinθ=1因為兩平行線斜率為3，所以傾斜角為60°，所以直線m的傾斜角為30°或90°．故答案為：30°或90°．【變式4-3】3.（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高級中學?？茧A段練習）若直線m被兩平行線l1:x?y+1=0與【答案】30°/【分析】作出圖象，過直線m與其中一條直線的交點向另一直線作垂線，在直角三角形中求解即可.【詳解】如圖，直線m與兩平行線l1:x?y+1=0與l2:x?y+3=0分別交于由已知，AB=22，在Rt△ACB中，有sin∠ABC=故答案為：30°【變式4-3】4（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學?？计谥校┮阎本€l1:2x(1)求與l1與l2距離相同的點的軌跡；(2)過l1與l2交點作一條直線l，使它夾在兩平行線x?y?5=0與x【答案】(1)222(2)x+2y【分析】（1）設點Px,y（2）計算直線交點為?5,2，排除直線斜率不存在的情況，設直線方程為y=【詳解】（1）設點Px,y即22即22x+或22x+（2）2x+y+8=0x當直線l的斜率不存在時，線段長度為3，不滿足；故設直線方程為y=y=kx+5+2y=kx+5+2AB=5k解得k=?12故直線方程為：y=?12x+5+2，即◆類型4兩平行線距離最大問題【例題4-4】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知兩條直線l1:λ+2x+1?A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出l1,l2恒過的定點A,B，故l1【詳解】l1:λ解得x=1y=3，故ll2:k解得x=3y=2，故l故l1，l2距離的最大值為此時，?λ+21?λ=?解得k=1，故λ故選：C．【變式4-4】1.（2023秋·高二課時練習）若兩條平行直線分別過點A(6,2),【答案】3x+【分析】由題設易知兩條平行線距離最大，即兩平行線都與直線AB垂直，兩點式求直線AB斜率，進而應用點斜式寫出過A、B的直線即可.【詳解】要使題設兩條平行線距離最大，只需它們都與直線AB垂直，而kAB所以，過A的直線為y?2=?3(x?6)若B的直線為y+1=?3(x+3)故答案為：3x+【變式4-4】2.（2022秋·山西晉城·高二校考階段練習）已知兩直線l1與l2，直線l1經(jīng)過點0,3，直線l2過點(1)若l1與l(2)若l1與l【答案】(1)l1:x=0，l2(2)最大距離為12；l1:4x【分析】（1）分斜率不存在，斜率存在兩種情況討論，利用平行線的距離公式即得解；（2）若l1與l2之間的距離最大，則l1，l2均與A0,3【詳解】（1）當l1，l2斜率不存在時，l1:x=0，當l1，l2斜率存在時，設l1則3+4kk2+1=4此時，l1:7x綜上，l1:x=0，l2（2）若l1與l2之間的距離最大，則l1，l2均與A0,3，B4,0連線所以l1，l2的斜率均為此時l1:4x【變式4-4】3.（2021·高二課時練習）已知直線l1經(jīng)過點0,1，直線l2過點5,0，且(1)若l1與l(2)若l1與l2距離為【答案】(1)最大距離為26，l1:5(2)答案見解析【分析】（1）當直線l1、l2均與兩點的連線垂直時，l1（2）分兩類討論：①若l1、l2的斜率都存在，設其斜率為k，寫出兩條直線的方程，由點到直線的距離公式求出斜率k，得解；②若l1(1)解：當直線l1、l2均與兩點的連線垂直時，l1兩點連線的直線的斜率為0?15?0=?15，所以，直線l1此時，最大距離為0?52直線l1的方程為y=5x直線l2的方程為y=5x(2)解：①若l1、l2的斜率都存在，設其斜率為由斜截式得l1的方程y=kx由點斜式得l2的方程y=k則1+5kk2所以，直線l1的方程為y=12直線l2的方程為y=12②若l1、l2的斜率都不存在，則l1的方程為x=0，l2綜上所述，兩條直線的方程為l1:12x?5y+5=0，【變式4-4】4.（2022·高二課時練習）兩條互相平行的直線分別過點A6,2和B【答案】0,3103x【分析】利用兩直線平行垂直的性質(zhì)即可求解距離的最大值，根據(jù)點斜式即可求直線方程.【詳解】由題意知當兩條平行直線與直線AB垂直時，d取得最大值，為|AB|=(6+3)當d取最大值時，kAB=2?(?1)故所求直線的方程分別為y?2=?3x?6和y+1=?3x故答案為：0,310，3x題型5點與點之間的對稱問題【方法總結(jié)】【點關(guān)于點對稱】實質(zhì)：該點是兩對稱點連線段的中點方法：利用中點坐標公式說明：平面內(nèi)點關(guān)于對稱點坐標為平面內(nèi)點，關(guān)于點對稱【例題5】求點A（2，4）關(guān)于點B（3，5）對稱的點C的坐標.【答案】B【解析】是線段AC的中點，設點C（x，y），由中點坐標公式有，解得，故C（4，6）【變式5-1】已知點A(x,5)關(guān)于點C(1，y)的對稱點是B(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是________．【答案】eq\r(17)【解析】由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(x－2,2)，,y＝\f(5－3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)．題型6點關(guān)于直線的對稱問題【方法總結(jié)】實質(zhì)：軸（直線）是對稱點連線段的中垂線1.當直線斜率存在時：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般地：設點(x0，y0)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(x’，y’)，則2.當直線斜率不存在時：點關(guān)于的對稱點為（，）【例題6】（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點A與點B(2,1)關(guān)于直線xA．(?1,4) B．(4,5)C．(?3,?4) D．(?4,?3)【答案】C【分析】因點A與點B關(guān)于直線對稱，則AB中點在直線x+y+2=0【詳解】設Ax,y，因點A與點B關(guān)于直線對稱，則AB中點在直線x則x+2即點A坐標為(?3,?4).故選：C【變式6-1】1.（2022秋·高二課時練習）設點P2,5關(guān)于直線x+y=1的對稱點為Q，則點Q的坐標為_____________，過點【答案】?4,?1x【分析】先利用對稱的性質(zhì)得到關(guān)于Q的坐標的方程組，解之即可求得點Q的坐標；再利用直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設Q(a,b)即點Q的坐標為?4,?1，設與直線x+y?3=0將Q?4,?1代入該式，得?4+1+c=0所以所求直線方程為x?故答案為：?4,?1；x?【變式6-1】2.（2022秋·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）直線ax+y+3a?1=0恒過定點M【答案】?【分析】先通過觀察可得到定點M，再利用直線MN與直線2x+3y?6=0垂直，以及線段【詳解】直線ax+y+3當x+3=0，即x=?3時，故直線ax+y+3設點M關(guān)于直線2x+3y∴n∴n=67故答案為：?3【變式6-1】3.（2023秋·高二課時練習）若點A(a+2,b+2),B(【答案】42【分析】根據(jù)給定條件，利用軸對稱的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可作答.【詳解】依題意，直線AB的斜率為a?6?(b+2)b?4?(于是a?b?8b?所以a=4,故答案為：4；2【變式6-1】4.（2023秋·高二課時練習）將一張坐標紙折疊一次，使點(2,0)與點(2,4)重合，則與點(?4,1)重合的點的坐標是__________．【答案】(?4,3)【分析】根據(jù)給定條件，求出折痕所在直線的方程，再利用對稱的性質(zhì)求解作答.【詳解】依題意，點(2,0)與點(2,4)關(guān)于折痕所在直線對稱，則折痕所在直線的方程為y=2因此點(?4,1)關(guān)于直線y=2的對稱點為(?4,3)所以與點(?4,1)重合的點的坐標是(?4,3).故答案為：(?4,3)【變式6-1】5.（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知△ABC的一條內(nèi)角平分線CD的方程為2x+y?1=0【答案】?【分析】先求出點A關(guān)于直線2x+y?1=0的對稱點P的坐標，再根據(jù)點P在直線BC上，利用兩點式求得BC的方程，再把BC的方程和【詳解】由題意可知：A(1,2)關(guān)于直線2x+設對稱點為P(則由b?2a?1所以直線BC的斜率為k=所以直線BC（即PC）的方程為y+1=?92解方程組9x+2y+11=02故答案為：?13【變式6-1】6.（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學考試）已知直線n:5x+y+2=0，點A1,0關(guān)于直線x+y+3=0的對稱點為BA．5x+yC．5x+y【答案】A【分析】利用兩點關(guān)于直線x+y+3=0對稱可求得點B的坐標，設直線m的方程為5x+y+c=0【詳解】設點Ba,b，則a+12因為m//n，設直線m的方程為將點B的坐標代入直線m的方程可得5×?3?4+c所以，直線m的方程為5x故選：A.題型7直線關(guān)于點對稱問題【方法總結(jié)】實質(zhì)：兩直線平行法一：轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于點”的對稱問題（在l上找兩個特殊點（通常取直線與坐標軸的交點），求出各自關(guān)于A對稱的點，然后求出直線方程）法二：利用平行性質(zhì)解（求出一個對稱點，且斜率相等或設出平行直線系，利用點到直線距離相等）【例題7】（2023秋·高二課時練習）直線y=3x?4【答案】y【分析】根據(jù)點關(guān)于點對稱的坐標關(guān)系，即可將Ax,y關(guān)于點P【詳解】在對稱直線上任取一點Ax,y,設Ax,y關(guān)于點P(1,1)對稱的點為A′2?故答案為：y【變式7-1】1.（2023·高二單元測試）直線2x?y【答案】2【分析】由直線2x?y+3=0關(guān)于點【詳解】設對稱直線為l′則有2×5?3+C0解這個方程得C0=3（舍）或所以對稱直線l′的方程中2故答案為：2x【變式7-1】2.（2023·高二課時練習）已知點A的坐標為?4,4，直線l的方程為3x(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′(2)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′【答案】(1)2,6(2)3【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于線對稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點法分析運算即可.【詳解】（1）設A′m,n，由題意可得所以點A′的坐標為2,6（2）在直線l上任取一點Px,y，設Px,則x0+x由于P′?8?x,8?y在直線3x+y?2=0上，則3?8?x【變式7-1】3.（2022秋·四川成都·高二成都七中?？计谥校┮阎本€l?的方程為4x?y?6=0?，點(1)若直線l′與l?關(guān)于點P?對稱，求l(2)若點P′?與P?關(guān)于直線l?對稱，求P【答案】(1)4(2)(6,1)【分析】（1）由直線l′與直線l互相平行，且點P（2）由直線l垂直平分線段PP【詳解】（1）易知直線l′與直線l設l′的方程為4x?有|4(?2)?3?6|4即λ=28?，或λ故l′?的方程為4（2）設點?P′的坐標為(直線PP′⊥l，且而直線l的斜率為4，kP故有4×m?22?故P′?的坐標為(6,1)【變式7-1】4.（2022秋·福建福州·高二?？计谥校┮阎cP2,1，直線l：x?y?4=0，則點P到直線l的距離為______，直線【答案】322/3【分析】利用點到直線距離公式求點P到直線l的距離，設直線l上任一點P1x1,y1關(guān)于點【詳解】點P2,1，直線l：x則點P到直線l的距離為2?1?42設直線l關(guān)于點P2,1的對稱直線為l則直線l上任一點P1x1,y1關(guān)于點x+x1將x1,y1代入直線所以直線l關(guān)于點P對稱的直線方程為x?故答案為：322；題型8直線關(guān)于直線的對稱問題◆類型1兩條直線相交時【方法總結(jié)】方法：此問題可轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于直線”的對稱問題【例題8-1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學?？计谀┰O直線l1:x?2y?2=0與A．11x+2yC．5x+y【答案】A【分析】根據(jù)三條直線交于一點，再利用點關(guān)于直線的對稱點公式，求直線l2【詳解】聯(lián)立x?2y?2=0取直線l1:x?2y?2=0上一點0,?1，設點0,?1關(guān)于直線l:2直線l2的斜率k=?112，所以直線整理為：11x故選：A【變式8-1】1.（2022秋·高二?？颊n時練習）直線x?2y+1=0【答案】2【分析】在直線x?2y+1=0上任取一點(x1【詳解】設所求直線上任一點的坐標為(x1,y1則y1?y又點(y1?1,所以y1?1?2(x所以所求直線方程為2x故答案為：2x【變式8-1】2.（2023秋·高二課時練習）試求直線l1:x【答案】7x【分析】求出直線l1,l2的交點坐標，再在直線l1【詳解】由x?y?2=03x?y+3=0，解得x=?在直線l1上取點(0,?2)，設該點關(guān)于直線l2對稱點Q(a,點Q(?3,?1)在直線l上，因此直線l的斜率k所以直線l的方程為y?(?1)=?7[x?(?3)]【變式8-1】3.（2023·高二課時練習）求直線l1:3x?2y【答案】9【分析】聯(lián)立方程求兩條直線的交點P，取直線l1上一點A，求其關(guān)于直線l對稱的對稱點A′，則過P，【詳解】聯(lián)立兩直線方程3x?2y?6=02取直線l1：3x?2y?6=0上一點A(2,0)，設其關(guān)于直線則y0?0x0?2因為所求直線過P(4,3)，A′(即9x◆類型2兩條直線平行時【方法總結(jié)】對稱直線與已知直線平行【例題8-2】（2022·高二單元測試）已知直線l1:x?y+3=0，直線l:【答案】x?【分析】由于兩條直線平行，所以可設l2:x?y【詳解】由題意知l1//l2，設直線l2設點M關(guān)于直線l的對稱點為M'則b?3a×1=?1a+0將M'4,?1代入l2所以直線l2的方程為x故答案為：x【變式8-2】1.（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學校考期中）直線y=2x+1【答案】y【分析】因為兩直線平行，設所求直線方程為y=2x+b，由直線【詳解】設所求直線方程為y=2x+直線y=2x+1與直線y則直線y=2x+b與直線y=2x+3所以所求直線方程為y=2故答案為：y=2【變式8-2】2.（2022·高二單元測試）已知直線l:x?y?1=0（1）求直線l1關(guān)于直線l的對稱直線l（2）求直線l2關(guān)于直線l的對稱直線l【答案】（1）x?y?5=0【分析】（1）由于l1//l，所以l1′//l，可設l1′的方程為x?y（2）l2與l的交點坐標為A(0,?1)也在l2′上，另取l2上不同于A的一點B(1,1)，求出【詳解】（1）因為l1//l設直線l1′的方程為x?y+在直線l1上取點M(0,3)，設點M關(guān)于直線l的對稱點為則{b?3a即點M′的坐標為(4,?1)把點M′的坐標代入直線l1′的方程，得4?(?1)+所以直線l1′的方程為（2）由{2x?所以l2與l的交點坐標為A另取l2上不同于A的一點B設B(1,1)關(guān)于l的對稱點為B則{m+12即點B′的坐標為(2,0)所以過A(0,?1)與B′(2,0)的直線l即x?2題型9反射光線問題【例題9】（2021秋·陜西榆林·高一陜西省神木中學校考階段練習）已知入射光線經(jīng)過點A?3,4，被直線l:xA．?1 B．14 C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)點關(guān)于線的對稱，可求A′【詳解】設點A?3,4關(guān)于直線l:x?y+3=0對稱的點為A′反射線經(jīng)過點A′,B故選：C【變式9-1】1.（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級中學?？计谥校┕饩€沿著直線y=?2x+a?2射到直線x【答案】6或－2【分析】根據(jù)反射光線上的點關(guān)于直線x+【詳解】在直線y=?12由題知點A關(guān)于直線x+y=0的對稱點B則y0=?12x0?2故答案為：6或－2.【變式9-1】2.（2023秋·安徽六安·高二六安一中?？计谀┚€從P2,0出發(fā)，先后經(jīng)x=4，y=x兩直線反射后，仍返回到P點．則光線從【答案】2【分析】利用入射光線與反射光線的性質(zhì)，結(jié)合對稱可求答案.【詳解】顯然P關(guān)于直線x=4的對稱點F6,0，如圖，由反射光線性質(zhì)知設F關(guān)于直線y=x的對稱點Hx,y由反射光線性質(zhì)知EH所以△PDE各邊即為光線所走的路線，其周長等于線段PH的長度，PH=故答案為：210【變式9-1】3.（2022秋·湖南郴州·高二校考階段練習）已知入射光線經(jīng)過點M(?3，4)，被直線l：x?3=0反射，反射光線經(jīng)過點【答案】2【分析】根據(jù)對稱性可求得M關(guān)于直線l的對稱點P的坐標，再利用直線的兩點式方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，反射光線經(jīng)過點M(?3，4)關(guān)于直線l的對稱點P如圖所示：直線PN的方程即為反射光線所在的直線方程，又N(2，6)，P(9,4)可得根據(jù)直線的點斜式方程可得，反射光線所在直線方程為y?6=?整理得2x+7y故答案為：2x【變式9-1】4.（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知A?3,0，B3,0，C0,3，一束光線從點FA．12,52 B．32,【答案】C【分析】根據(jù)入射光線與反射光線的性質(zhì)可知GH方程，由GH與BC的交點可得D，求坐標即可.【詳解】根據(jù)入射光線與反射光線關(guān)系可知，分別作出F,E關(guān)于AC,連接GH，交BC于D，則D點即為所求，如圖，因為AC所在直線方程為y=x+3，F(xiàn)則y2=x?12由BC所在直線方程為y=?x+3，E所以直線GH方程為y=2，由y=?x故選：C【變式9-1】5.（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1:2a?2(1)求l1與l(2)一束光線從P2,3出發(fā)經(jīng)l1反射后平行于【答案】(1)9(2)4【分析】（1）由平行條件得出a的值，再由距離公式求解；（2）由P2,3關(guān)于l1的對稱點P′【詳解】（1）由l1∥l2可得：2當a=?1時，l1:?4x?y+2=0當a=2時，l1:2x?故l1與l2之間的距離為（2）設P2,3關(guān)于l1的對稱點為y0?3x0聯(lián)立2x?y?4=0y故入射光線所在的直線方程為y?3x?2題型10將軍飲馬求最值問題【方法總結(jié)】利用三角形邊角關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于等于第三邊。◆類型1和最小問題【例題10-1】（2022秋·高二課時練習）已知M?1,3、N2,1，點P在x軸上，且使PM+【答案】55【分析】點N關(guān)于x軸的對稱點為Q2,?1，分析可知當且僅當M、P、Q三點共線時，PM+PN取得最小值為MQ，求出直線MQ的方程，在直線MQ的方程中，令y【詳解】如下圖所示：點N關(guān)于x軸的對稱點為Q2,?1，由對稱性可知PN所以，PM+當且僅當M、P、Q三點共線時，等號成立，直線MQ的斜率為kMQ=3+1?1?2=?43聯(lián)立4x+3y?5=0y故當點P的坐標為54,0時，PM+故答案為：5；54【變式10-1】1.（2023·高二課時練習）已知點A（-3，5）和B（2，15），在直線l:3x?4【答案】P83【分析】求得A關(guān)于直線l的對稱點，結(jié)合兩點間的距離公式求得PA+【詳解】設A關(guān)于直線l的對稱點為Ca線段AC的中點為a?3所以3×a解得a=3,b=?3所以PA+PB的最小值為此時直線BC的方程為y+3=由y=?18x+513x【變式10-1】2.（2022·高二課時練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為B?2,0，若將軍從山腳下的點A13A．1453 B．5 C．1353 【答案】A【分析】利用點關(guān)于直線對稱點，找出最短路程.【詳解】先找出B關(guān)于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設點B?2,0關(guān)于直線x+2y=3的對稱點為Cx1,y1，在直線x+2y=3上取點P，連接PC，則故選：A．【變式10-1】3.（2022秋·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學統(tǒng)考期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求x2A．5 B．10 C．1+5 D．【答案】B【分析】將已知變形設出P0,1，Q1,2，則x2+1+x2?2x【詳解】x2=x設P0,1，Q1,2，則x2+1+x2?2x點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標為P′連接P′則PS+當且僅當P′，S，Q故