2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上冊(cè)開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的意義即可得解.【詳解】依題意，，則，所以的虛部為.故選：A2.下列四個(gè)命題中，是真命題的為（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使【正確答案】C分析】根據(jù)不等式性質(zhì)推證或舉例子說(shuō)明.【詳解】由于對(duì)任意，都有，因而有，故A為假命題．由于，當(dāng)x=0時(shí)，不成立，故B為假命題．由于，當(dāng)x=?1時(shí)，，故C為真命題．由于使成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3，故D是假命題．故選：C3.水稻是世界上最重要的糧食作物之一，也是我國(guó)以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國(guó)的“第五大發(fā)明”．育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國(guó)人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問(wèn)題作出了巨大貢獻(xiàn)．在應(yīng)用該技術(shù)的兩塊面積相等的試驗(yàn)田中，分別種植了甲、乙兩種水稻，觀測(cè)它們連續(xù)6年的產(chǎn)量（單位：）如表所示：甲、乙兩種水稻連續(xù)6年產(chǎn)量年品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲289029602950285028602890乙290029202900285029102920根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)小B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定【正確答案】B【分析】分別計(jì)算兩種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A不正確；對(duì)于B：甲種水稻產(chǎn)量分別為，中位數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量分別為：，中位數(shù)為，所以甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小，故B正確；對(duì)于C：甲種水稻產(chǎn)量的極差為：，乙種水稻產(chǎn)量的極差為：，甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差不相等，故C不正確；對(duì)于D：甲種水稻的產(chǎn)量的方差為：，乙種水稻的產(chǎn)量的方差為：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，乙種水稻的產(chǎn)量的方差小于甲種水稻的產(chǎn)量的方差，所以乙種水稻的產(chǎn)量比甲種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定，故D不正確，故選：B.4.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用投影向量公式計(jì)算出投影向量.【詳解】在上的投影向量為．故選：C5.設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則， B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【正確答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行、垂直的判定性質(zhì)逐項(xiàng)討論即可得答案．【詳解】對(duì)于A，若，可以在或內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則或相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則或異面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，當(dāng)時(shí)，，D正確．故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】用二倍角公式、商數(shù)關(guān)系結(jié)合已知求得，再由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋郧?，即，且，解得或（舍去），所?故選：B.7.由未來(lái)科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國(guó)科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來(lái)科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)邔?duì)話青少年活動(dòng)于2023年9月8日在全國(guó)各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會(huì)場(chǎng)與學(xué)生進(jìn)行對(duì)話活動(dòng)，要求每個(gè)會(huì)場(chǎng)至少派一名獲獎(jiǎng)?wù)撸棵@獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場(chǎng)，則不同的派出方法有（）A.60種 B.120種 C.150種 D.240種【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會(huì)場(chǎng)分類，利用分組分配列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，5名獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會(huì)場(chǎng)，有種方法，5名獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會(huì)場(chǎng)，有種方法，所以不同的派出方法有（種）.故選：C8.已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)為減函數(shù)，且f（x+2）為偶函數(shù)，則f（﹣1），f（4），f（）的大小為（）A.f（4）＜f（﹣1）＜f（）B.f（﹣1）＜f（4）＜f（）C.f（）＜f（4）＜f（﹣1）D.f（﹣1）＜f（）＜f（4）【正確答案】A【分析】為偶函數(shù)，可得，所以（4），，利用定義在上的函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：為偶函數(shù)，，（4），，，定義在上的函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，（4），故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象【正確答案】AD【分析】代入驗(yàn)證可判斷A；根據(jù)周期定義判斷的關(guān)系可判斷B；直接計(jì)算可判斷C；根據(jù)平移變換可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以是函?shù)的周期，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以在區(qū)間至少有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，即，D正確.故選：AD10.設(shè)拋物線，為其焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程是B.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4C.若，則的最小值為3D.以線段為直徑的圓與軸相切【正確答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，選項(xiàng)B，由拋物線概念即可判斷，選項(xiàng)C：P為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)取最小值；選項(xiàng)D：求出圓的半徑與圓心，比較圓心橫坐標(biāo)和半徑即可知是否與y軸相切﹒【詳解】A：拋物線的準(zhǔn)線為，故A正確；B：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)橫坐標(biāo)為2時(shí)拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)為，此點(diǎn)位于點(diǎn)的上面，故A在拋物線內(nèi)部，當(dāng)直線垂直準(zhǔn)線時(shí)取最小值，即為，故C正確；D：根據(jù)題意，可得拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，設(shè)的中點(diǎn)為，可得，由拋物線的定義，得，則，即點(diǎn)到軸的距離等于以為直徑的圓的半徑，因此，以為直徑的圓與軸相切，故D正確﹒故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.時(shí)，若有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.若直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且，則D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【正確答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)后公式及結(jié)合的取值情況可對(duì)A項(xiàng)判斷；，求出再結(jié)合函數(shù)極大小值即可對(duì)B項(xiàng)判斷；求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，從而求出對(duì)稱中心點(diǎn)即可對(duì)C項(xiàng)判斷；根據(jù)函數(shù)存在極值點(diǎn)再結(jié)合令，求出，即可對(duì)D項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A：求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不相等的實(shí)根，，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，令，得，，若有3個(gè)零點(diǎn)，則極大值，極小值，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于C：令二階導(dǎo)數(shù)，得，則三次函數(shù)的對(duì)稱中心是.當(dāng)直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且時(shí)，點(diǎn)一定是對(duì)稱中心，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于D：若存在極值點(diǎn)，則，，.令，得，因?yàn)?，于是，所以，化?jiǎn)得：，因?yàn)?，故，于是，?故選項(xiàng)D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．【正確答案】【分析】由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離可得圓心到直線的距離，,結(jié)合勾股定理，即可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)1,0且傾斜角為的直線為,其方程為,即，變形可得，圓的圓心為2,0，半徑,設(shè)直線與圓交于點(diǎn),圓心到直線的距離,則.故答案為.13.已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為_(kāi)_____．【正確答案】##0.5【分析】設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，求得，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題條件下，第2次抽到幾何題的概率為.故答案為.14.在中，在線段上，為的平分線且，，則的最小值為_(kāi)_______．【正確答案】24【分析】首先根據(jù)面積公式，得到，并化簡(jiǎn)為，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】則的面積為，則，所以，顯然，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故24四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由和的關(guān)系式消去得遞推式，由此構(gòu)造等比數(shù)列；（2）法一、由（1）求出數(shù)列通項(xiàng)，再分組求和；法二、由（1）求出數(shù)列通項(xiàng)，代入已知式，整理即得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得因①，當(dāng)時(shí)，②①-②得，，即，則，即，，又所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】法一、由（1）可得，即，法二、由（1）可知，即，又由題知：代入可得16.如圖，在邊長(zhǎng)為4正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)Q，可得四邊形EFPQ為平行四邊形，則，由直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）取EF中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，可得平面EFCB，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與平面BFP的法向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式求解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．【小問(wèn)2詳解】取EF中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時(shí)，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，，，由P為中點(diǎn)，故，則，，，設(shè)平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．17.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求導(dǎo)得到切線斜率，進(jìn)而求出直線即可；（2）求導(dǎo)，再參變分離，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，且，又，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為．小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立．當(dāng)且僅當(dāng)在上恒成立，則在上恒成立，令，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得，實(shí)數(shù)的取值范圍為18.在剛剛結(jié)束的巴黎奧運(yùn)會(huì)中，國(guó)球選手再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險(xiǎn)激烈的就是男單決賽，中國(guó)選手樊振東對(duì)戰(zhàn)日本選手張本智和．比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時(shí)張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，樊振東發(fā)球時(shí)他自己得分的概率為0.6，張本智和發(fā)球時(shí)樊振東得分的概率為0.5，每次發(fā)球的結(jié)果相互獨(dú)立，令人遺?的是該局比賽結(jié)果，樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概率；（2）在本場(chǎng)比賽中，張本智和先以領(lǐng)先．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲勝的概率為，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)兩人又進(jìn)行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學(xué)期望【正確答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算即可.（2）求出的所有可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】在比分為后張本智和先發(fā)球的情況下，樊正東以落敗的情況分三種：第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗，概率為，第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗，概率為，第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗，概率為，所以所求事件的概率為：．【小問(wèn)2詳解】隨機(jī)變量的可能取值為，，，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望為.19.如圖，已知橢圓的離心率為，與軸正半軸交于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)不與軸垂直的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；（3）以點(diǎn)E0,2為圓心，為半徑圓與直線、分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)和點(diǎn)，求與面積之比的取值范圍．【正確答案】（1）