2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例練習(xí)新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例[限時50分鐘，滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是解析加速過程，路程對時間的導(dǎo)數(shù)漸漸變大，圖象下凸；減速過程，路程對時間的導(dǎo)數(shù)漸漸變小，圖象上凸，故選A.答案A2．一種產(chǎn)品，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400,80000，x＞400))，設(shè)總利潤y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2，0≤x≤400,80000－100x，x＞400))，則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是A．100 B．150C．200 D．300解析當(dāng)0≤x≤400時，當(dāng)x＝300時，y有最大值；當(dāng)x＞400時，y＝80000－100x無最大值．故選D.答案D3．把長為12厘米的細(xì)鐵絲鋸成兩斷，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面積之和的最小值是A.eq\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析設(shè)一個三角形的邊長為xcm，則另一個三角形的邊長為(4－x)cm，兩個三角形的面積和為S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)x2－2eq\r(3)x＋4eq\r(3).令S′＝eq\r(3)x－2eq\r(3)＝0，則x＝2，所以Smin＝2eq\r(3).答案D4．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊須要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)A．32，16 B．30，15C．40，20 D．36，18解析要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長最短．設(shè)場地寬為x米，則長為eq\f(512,x)米，因此新墻總長L＝2x＋eq\f(512,x)(x＞0)，則L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此時長為eq\f(512,16)＝32(米)，可使L最短．答案A5．某箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)＝x2·eq\f(60－x,2)(0＜x＜60)，則當(dāng)箱子的容積最大時，箱子底面邊長為A．30 B．40C．50 D．以上都不對解析V(x)＝－eq\f(1,2)x3＋30x2，∴V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)，∴當(dāng)0＜x＜40時，V′(x)＞0.當(dāng)40＜x＜60時，V′(x)＜0，∴V(x)在(0，40)單調(diào)遞增，在(40，60)單調(diào)遞減，∴x＝40是V(x)的極大值點，也是最大值點．故選B.答案B6．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y1＝17x2，生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)A．6千臺 B．7千臺C．8千臺 D．9千臺解析產(chǎn)品利潤為y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝36x－6x2.令y′＝0得：x＝0或x＝6(x＝0舍去)．當(dāng)0＜x＜6時，y′＞0，當(dāng)x＞6時，y′＜0，即x＝6時，y取最大值．∴當(dāng)生產(chǎn)6千臺時，利潤最大．答案A二、填空題(每小題5分，共15分)7．一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1000元時，公寓會全部租出去，當(dāng)月租金每增加50元，就會多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費100元修理費，則租金定為________元時可獲得最大收入．解析設(shè)月租金定為x元，收入為y元，則y＝(50－eq\f(x－1000,50))(x－100)＝eq\f(－x2＋3600x－350000,50)(x＝50k，0≤k≤50，k∈N)易知當(dāng)x＝1800時，y取最大值．答案18008．已知矩形的兩個頂點A，D位于x軸上，另兩個頂點B，C位于拋物線y＝4－x2在x軸上方部分，則這個矩形的面積最大時的邊長分別為________．解析由題意，設(shè)矩形邊長AD＝2x，則AB＝4－x2，∴矩形面積為S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0＜x＜2)．∴S′＝8－6x2.令S′＝0，解之得x1＝eq\f(2,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(2,3)eq\r(3)(舍去)．當(dāng)0＜x＜eq\f(2,3)eq\r(3)時，S′＞0；當(dāng)eq\f(2,3)eq\r(3)＜x＜2時，S′＜0.∴當(dāng)x＝eq\f(2,3)eq\r(3)時，S取得最大值為eq\f(32\r(3),9)，即矩形的邊長分別是eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)時，矩形的面積最大．答案eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)9．一列火車的鍋爐每小時消耗的費用與火車行駛的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為每小時20km時，每小時消耗煤的價值為40元，至于其他費用每小時要200元．要使火車從甲城開往乙城時的總費用最省，則火車行駛的速度應(yīng)為解析設(shè)速度為xkm/h，甲、乙之間的距離為akm，則總費用為y＝f(x)＝(kx3＋200)eq\f(a,x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(200,x)))(x＞0)．∵40＝k·203＝8000k，∴k＝eq\f(1,200)，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,200)＋\f(200,x)))(x＞0)，f′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,100)－\f(200,x2)))＝eq\f(a（x3－20000）,100x2)，令f′(x)＝0，則x＝10eq\r(3,20).∵f(x)只有一個極值點，∴此點也為最值點，∴當(dāng)火車行駛速度為10eq\r(3,20)km/h時，費用最少．答案10eq\r(3,20)km/h三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋eq\r(x))x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，全部橋墩都視為點，且不考慮其他因素．記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？解析(1)設(shè)須要新建n個橋墩，(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋(2＋eq\r(x))m＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256，0＜x≤m.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\s\up6(\f(3,2))－512)．令f′(x)＝0，得xeq\s\up6(\f(3,2))＝512，所以x＝64.當(dāng)0<x<64時，f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間(0，64)上為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時，f′(x)>0，故f(x)在區(qū)間(64，640)上為增函數(shù)．所以f(x)在x＝64處取得最小值，此時，n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個橋墩才能使y最?。?1．(12分)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為：y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米．(1)當(dāng)汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解析(1)當(dāng)x＝40時，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,40)＝2.5(小時)，要耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)×403－\f(3,80)×40＋8))×2.5＝17.5(升)，即當(dāng)汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．(2)當(dāng)速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3－\f(3,80)x＋8))·eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0＜x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0＜x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80，當(dāng)x∈(0，80)時，h′(x)＜0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80，120)時，h′(x)＞0，h(x)是增函數(shù)．∴當(dāng)x＝80時，h(x)取到微小值h(80)＝11.25.∵h(yuǎn)(x)在(0，120]上只有一個極值，∴它是最小值．答：當(dāng)汽車以80千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．12．(13分)某商場銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．解析(1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x